Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Ъ«Д )) Е с )5 г . л х , в д Л ); «Ф е 2 ! ,'.66 О 5 Л, 5 О Б )В, ъд« к 5, ллх а Ъ« 5 О У о'~ ' с ) о щ л о а Д 6Ъ СЧ х о Б,, щ,)00 х с ) ',Ео Ц х 5 ъа Ф Ъ« 5 О. с 5 5 в )5 О л о л о )5 р Е Ф ао ( х Ф Б о о 5 Е о су х~ й х Ф Ф СЪ )5 о а о в о с Ъ«5 Ф Фс~ Ф о "а 5 5 во Ф о д .6 д с о о о о о лс о Ф с 5 е" С л чв Ф О. )5 о а сч о Ф о с ). ъ«5 .а Ф сС о о "а 5 Я~ 5 5 о СС д х л 5 с о о )- лс о Ф й х са с с х~ ъа с л чв Ф о 6) 0 -а «У с ъ«Е )5 Ф Ъ« о « х Л 5 о о ) ло о с йх ас С 5 еЫ с х с л Р х в в с о Ф Ф )5 о 066 х ав хО с Вод о Ф ал Ф хйй Бфх а ОУ 0 л 5 Д ОСС ~С 5 аа с Ф 5 5 5 л~ вв 5 о ~в д а х с о О 5 л СС о ~ ~ о с а о с Ф )5 У о в д в у а 5 Ф Ф Ф О л х хв о ъа с~ аъ 5 5 л в„, '05 о д о л Ф У о лв о а Ф а У ав с о Е х св с~ М $а ~ Фл 5 с с л л х Ф Ш) овв Ф Ф )5 Оо5 д 0.5 дох Фос В 6) 0 ~ 5 ал ъ: Ф а а У„о О „5 Х о ах 3 л о а$ 5 а 55 в а) д 3 Вх )5 Д 5 л Ф о а л Ъ« О о й ~с о х у У 5 О а л ~в аъ 5 Л а о" ав Ф о Ф 5 0 о м 6Ъ д У лй в Ф 'о о д Лс О.
о Ф лв о а Ф У ав с о е д Ф с~в о Фас Фвд с 5 2х~ Ф в да О ВФ са 'а з 005 д ах ход Фв о ФФ О" 5 ай~. 5, Ф ~Фа У М ао о ОЛ5 х о а« ( 1 «ч з з з ~с о д л Ф в л О. 0 )5 О О Ф ах о р о л д л Ф Ф ъ« Фа у о О 5— ча ) О х Ф~; Ф л О 5", 6' х '" ', ХО 5~' д 5 „а а~' лиц' о о! '5 х а, о с а оф з~ Лв 0)' Оол~) С ~ 5„ е Ф~ слв с~а) с~) 3. 13.
ДПФ и яме гольных нкций 123 02 й(0)) ° «„оотг « О 15 0.1 0 05 « «« «« ° * « „„«« е «« «« « е )"': .гв -24 -го гв -12 -в ч о 4 в а гв го г4 гв .««10) о " ««, в~ и Рис. 3.37. Обратное ДПФ обобщенной прямоугольной функции: (а) модуль |х(л) ); (Ь) фаза х(п) в радианах 3.13.7. Обратное ДПФ симметричной прямоугольной функции Обратное ДП Ф обобщенной прямоугольной функции, приведенной на рисунке 3.36, не часто встречается в цифровой обработке сигналов. Но при обсуждении вопросов, связанных с цифровыми фильтрами, мы будем иметь дело с обратным ДПФ симметричных прямоугольных функций. С обратным ДПФ такой функции мы сталкиваемся при изучении проектирования цифровых КИХ-фильтров нижних частот методом окон. Расчет фильтра этим методом начинается с определения симметричной функции Н(т) в частотной области, такой же, как на рисунке 3.38. Затем для вычисления коэффициентов КИХ ФНЧ вычисляется обратное ДПФ этой последовательности.
(Коэффициенты КИХ-фильтра во временной области обычно обозначаются как Ь(п) вместо х(п), так что в оставшейся части книги, посвященной обратному ДПФ, мы будем использовать обозначение Ь(п).) В случае функции Н(т) в частотной области, имеющей вид, приведенный на рисунке 3.38, пакет из К отсчетов, равных единице, начинается при т = — т, = — (К-1)/2. Подставляя (К вЂ” 1)/2 вместо т, в (3-57) получаем Ь(п) еу(2ае/н)((к 1)72 (к 872) ( 1/Ы) [в(п(ппК/~)/в(п(лп/))1 = е1(2 е~н)(е) ° (1/М) ° [яп(ппК/Х)/яп(лп/Л1)~ . (3 58) и 1 а ° ° а ° ° а ° а аа е ° И(гл) е- ° - ° -а-а- ° -а-а- ° -е-ВаА т т = <к-1У2 Н12 а ° а ° ° ° ° а ° Ь а О - Н/2 4 1 « -,„« -(к-1 Уг Рис. 3.38.
Прямоугольная функция в частотной области шириной Котсчетов, определенная на (ч' отсчетах 1т Н(и) ваввваааав ° оь~ 0 ° в вв ° абвввв вва вава +5444Ч4+Ы+ввввввва ввааавваа в аба аа(М -28 -24 -20 -16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16 20 24 28 32и (8) 02 О 1(и) ввв 0.172 в а 0.15 0.1 0.05 О -0.05а 04 О, (и) 03 (с) 0 2 01 0 а авва в в ° вваввввв аваававабва ввавв аввввабаавваававвавв в4а- 28' 24' 20' 16 12' 8 4' 0 4 8 12 16 20 24 28 и (11(и)( 0.172 0.1 О. (д) 0 0 в ° ввв вв в ав 28 .24 .20 .16 .12 .8 .4 0 4 8 12 16 20 24 28 и о 4+6 в вввавв а «ва ° а Оввва444)44ввв '44+444 ' в ° ° вба48(444В аава44-)444в8вава 4444 ав ввв ° ааааа -а .4 А Рис.
3.39. Обратное ДПФ прямоугольной функции, центр которой находится в точке т = О: (а) исхоДнаЯ фУнкЦиЯ Н(т)' (Ы )77 ((п); (с) )7(70 (и); (б) моДУль )7(п): (е) фаза )7(п) в радианах И, т. к. е'" = 1, (3-58) превращается в Ь(п) = (1/(5() ° [яп(лпК/Ю)/яп(лп/)5()) .
(3-59) Выражение (3-59) говорит нам, что обратное ДПФ симметричной прямоугольной функции, показанной на рисунке 3.38, тоже является действительной функцией, и это мы можем показать на примере. Мы выполним 64-точечное обратное ДПФ последовательности, показанной на рисунке 3.39 (а). Здесь функция О(и) представляет собой ) ( отсчетов, равных единице и центрированных относительно индекса и = О.
В атом случае обратное Д ПФ дает последовательность Ь(п), действительная и мнимая части которой приведены на рисунках 3.39 (Ь) и 3.39 (с) 4 11 (и) 3 2 1 (е) О -1 -2 3 вв ГлаваЗ.Диск етноеп еоб азованиеФ ье а ° -8 8 „, ° в а 16 12 ава '4 0 4 вава 12 16 26 28 3() Э. 14. Частотный откликД)7Ф на комплексный входной сигнал 125 3.14. Частотный отклик ДПФ на комплексный входной сигнал В этом разделе мы определим частотный отклик У-точечного ДПФ, когда входная последовательность представляет собой дискретную комплексную синусоиду, обозначенную как хс(п). Под частотным откликом мы имеем ввиду выходные отсчеты ДПФ при преобразовании комплексной синусоидальной последовательности. Мы начнем с графика входной последовательности х,(л), приведенного на рисунке 3.40. Эта последовательность имеет форму х,(п) = е12™?Н, (3-60) где?с — количество полных циклов на интервале в Жотсчетов.
На рисунке ЗАО показана хс(п) для случая )1 = 2. Если мы обозначим выходную последовательность ДПФ как Х (т) и полставим паш сигнал х (и) в формулу ДПФ (3-2), то получим и — 1 и-1 Х (т) = с х (п)е -1злпт,'1У = > е12тпк/и'е -12лпт1м с б с ,л п=О М-1 (3-61) ,12лп(1с — сп)?У и=-О Если мы положим Ч = К, п = р и о =- — 2п(к — т)/)Ч, выражение (3-61) превращается в К вЂ” 1 Хс(т) = ~~~ е — 1РЯ р=о (3-62) Почему мы сделали подстановки в (3-61) с целью получить (3-62)? Потому, что мы уже работали с выражением (3-62), когда оно имело номер (3-39).
Результат в замкнутой форме был представлен выражением (3-41), которое мь1 повторяем здесь в виде К-1 Хс(т) — — ~~', е — ЛО = е 1О(х 1)?з 'з(и(дК/2)/з(и(с?/2). (3 63) р=о Возвращая переменные из (3-61), мы получаем окончательный результат: Хс(т) = е13л(1с-сп)-л(1с сп),'У1 . 'яп~л(тс -т)~ мигал(А' тУГУ 1 ДПФ комплексной синусоиды: (3-64) соответственно. Как и предсказывает (3-47), й„„1 (и) отлична от нуля, а Ь,п„(п) равна нулю. Модуль и фаза последовательности Цп) показаны на рисунках 3.39'(с1) и 3.39 (е).
(Здесь мы тоже сделали функции на рисунке 3.39 более удобными для сравнения с прямым ДПФ на рисунке 3.29.) На самом деле нам нужна действительная часть Ь(п). Значения Ь„„,~(п) используются как коэффициенты фильтра при проектировании КИХ-фильтров нижних частот, которые мы будем рассматривать в разделе 5.3. 126 Глава 3. иск етное и еоб азоввние Ф ье (а) О мя (л) ~ Мнимая часть к,(л) 1 вя ° вюв ° ° ° я м1 я Ю (Ь) О Я+++++++В+++++4-+в+++++++В++++++4-В -1 Ю Время (л) я як ввв Рис. 3.40. комплекснаЯ последовательность хс(л) = е12ллх/и во вРеменной области, имеющая два полных периода (к = 2) на интервале в И отсчетов: (а) действительная часть к (л); (Ь) мнимая часть х (и) Как и ядро Дирихле в (3-43), Х,(т) в (3-64) представляет собой комплексное выражение, в котором отношение синусов есть амплитуда Х,(т), а экспоненциальный сомножитель дает фазовый угол Х,(т).
В данный момент в (3-64) нас интересует только отношение синусов. Его модуль показан на рисунке 3.41. Заметьте, что, т. к. хг(п) является комплексным, в Х,(т) отсутствуют компоненты с отрицательными частотами. Сосредоточимся на серой кривой на рисунке 3.41. Эта кривая представляет собой непрерывное преобразование Фурье комплексной последовательности х, (п) и может рассматриваться как непрерывный спектр последовательности хз(п)'. Под непрерывным спектром мы понимаем спектр, который определен для всех значений частоты, а не только для частот анализа У-точечного ДПФ, кратных у', /И. Форма этого спектра с главным' н боковыми лепестками является прямым и неизбежным следствием анализа последовательности ограниченной ллптельности, подобной последовательности хк(п) на рисунке ЗАО.
Мы можем получить этот непрерывный спектр аналитически, взяв непрерывное преобразование Фурье нашей дискретной последовательности х,(п), которое некоторые авторы называют дискретно-временным преобразованием Фурье (ДВПФ), по мы не можем практически вычислить непрерывный спектр на компьютере. Поэтому ДВПФ определено только для бесконечно длинных последовательностей, а его частотная переменная непрерывна при бесконечно малом разрешении по частоте. Но мы можем, однако, использовать ДПФ для вычисления аппроксимации непрерывного спектра последовательности х„(п). Результатом ДПФ, представленным точками на рисунке 3.41, является дискретизированная версия непрерывного спектра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
