Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Мы могли бы брать отсчеты непрерывного спектра более Точно так же, как мы вычислили пиковое значение ядра Дирихле в (3-44) с помощью правила Лопнтзля, мы можем показать, что пиковое значение Х,(т) вида (3-64) равно 3. 14. Частотный отклик ДПФ на комплексный входной сигнал 127 Эта кривая представляет непрерывное преоврааование ( вдпэ рактеристика и етг пан н н К ~ ~ 5 г 4 ~ ~+~ О к.5 " ьз кн к+т ьз К к+5 Рис. 3.41. Модуль реакции ДПФ на комплексную синусоиду, имеющую )с полных периодов на интервале в И отсчетов, вида х (и) = е . „/И !грп <тв дпф актеристика О ь5 ЫОД5 Рис. 3.42.
Модуль И-точечного ДПФ комплексной синусоиды, имеющей )с+0.25 периодов на И отсчетах последовательности хс(п), демонстрирующий утечку спектра Аналогично тому, как для ДПФ прямоугольных функций мы построили несколько выражений, собранных в таблице 3.2, можно выразить амплитуду отсчетов ДПФ комплексной синусоиды разными способами и получить таблицу 3.3. Здесь вдумчивый читатель может заметить, что реакция ДПФ на комплексную синусоиду, имеющую кт периодов на интервале накопления, на рисунке 3.41 выглядит подозрительно похожей на реакцию ДПФ на прямоугольную функцию, все отсчеты которой равны единице, приведенную на рисунке 3.32 (с).
Причина, по которой формы этих двух кривых на рисунках так похожи, состоит в том, что эти кривые одинаковы. Если бы наша входная последовательность была комплексной синусоидой, имеющей т5 = 0 периодов, т. е. представляла бы собой последовательность одинаковых отсчетов, то отношение синусов в (3-64) было бы равно часто, т. е. получать более точную аппроксимацию, дополнив исходную последовательность х,(п) нулями и'вычисляя ДПФ большей длины.
Мы проделывали зто на рисунке 3.21. Рисунок 3.41 показывает, почему, когда частота входной последовательности точно совпадает с центром бина и = К выходные отсчеты ДПФ равны нулю для всех бинов за исключением бина т = 4. Если бы частота нашей входной последовательности была такой, что на том же интервале умещалось бы 15+0.2з периодов, ДПФ дискретизировало бы непрерывный спектр так, как показано на рисунке ЗА2, где все выходные отсчеты ДП Ф отличны от О. Это иллюстрация утечки спектра, описанной в разделе 3.8. Е Е Е 6 ~с з э Е Ф С,( 6 Е Е Ф 6 ~с Е Е ° а Д 6 Е ~с Е Е 0 Е ~с съ Ю й с (о о о (у 5 сд Ф 2 ы л Я Ф 5 5 с~ л о о л 5 о Я л д х О Ф с х о а д е 5 5 5 Ф И Ф (д с а о д е Ф ((1 а л ~~ Д 61 5 ФЛ 5 (б а о д 1 !' ~; Е щ Ф) Я д М Е Я 'й о \5 д В (6 о о х ~,.
Ф:,е Ф ', 51~~х ,'1 51с(а Д 1' Ф ~Р ~(р(ОФ (Д (6 а (™ ссв С О С~ 5 од СС С 5 5 ДИ о. й о( в (д т х В(о а Ф ада х (- о О д О О О ддо '1са Ф а о а Бсто авх а с в ~ ~О с~ О„О д ОС 5 .(6.(5 О о с а до аод ИФО са О а о.о о х в 4 ~у о е с св а х х а 5 1- 5 О 5 (д о ~ а х о а О а д а И д с (5 в (6 с $Е ~со в Ф а ох д д а о вс д'5 5 а о о о О И ох 5 о 3й О с ~ О о а 5 5 а 5 )5 Ф о а О О 5 Ф с( с— с ф йо о х О еУ а (д О В 1 (д а 5 ~ О (д О а х с л а (в ло 5 Яу сс- О ОФ Б о < а а л е3 а ф 5 О 5 5 а Ф 1 (6 5 а 1- а О х о а (6 6 ав (6 О с (у(- ~са ИО с а о асд д 5 аоа ИДИ 55 с а Оод 1( 15 о с(' х а Д 5 1- 5 О 5 5 а.
Ф 61 (д 5 а О х о а д а ~~ Свв 6( ~ 5 з дод с, 61 Ф а ад О ~ сов 61 5 о о х а ад 5 О Ох С авх Б 5 Л с оо о~" ~ О о а( 3. 15. Реакция ДПФ на действительный косин соидальный сигнал 129 яп(л(0 — т))/яп(л(0 — т)/Л1] = яп(лт)/1 — яп(лтПЧ)3 = = яп(лт)/(яп(лт/У)) ', 3.15. Реакция ДПФ на действительный косинусоидальный сигнал Теперь, когда мы знаем, как выглядит ДПФ комплексной синусондальной последовательности, легко определить ДПФ действительной косинусоидальной последовательности. Допустим, мы хотим получить ДПФ действительной дискретной косинусоиды, подобной показанной на рисунке ЗАО (а) и выражаемой в виде лг(п) = соз(2лпИ/М~, (3-71) где я — целое количество полных периодов, умещающихся в У отсчетах.
Вспомнив тождество Эйлера соз(ф) = (еФ+ е Ф)/2, мы можем представить требуемое ДПФ Х„(т) как Н-1 1Ч вЂ” 1 Х„(т) = ~ х (п)е дялпт/и = )' соз(2лпИ/И~е 12лпт/11 = п=О п=О Н-1 — (е12лпп/У+ е — 12лпп/ю)/2, е — 12лпт/и = Н-1 й' — 1 = (1/2) )' е1плп(Ь-т)/Н+ (1/2) )' е Рлп(Ь+т)/lп1 (3-72) п=.О п.=О К счастью, мы только что закончили вывод замкнутой формулы для суммы вида (3-72), так что мы можем записать Х„(т) в замкнутом виде Х„(т) = е1(л(Ь ) — (Ь вЂ” и)/1О ° ( 1/2) яц1Л(й — т)] /З1П[Л(й-т)/1л1 + + е1рлЯ- т) -лЯ+т)/1'О ° ° ( 1/2) яп(л(л+т)) /яп(л(й+т)/Л1) .
ДПФ действительной косииусоиды (3-73) Модули двух отношений синусов показаны в виде функций япс на рисунке 3.43. Здесь, как и раньше, ДПФ дает дискретизированную версию непрерывного спектра входной косинусоиды, и т. к. й = т, только один бин ДПФ отличен от нуля. Поскольку входная последовательность ДПФ действительна, Х„(т) содержит компоненты как на положительных, так и на отрицательных частотах. Первое слагаемое в (3-73) описывает часть спектра, соответствующую положительной частоте на рисунке ЗАЗ, а второе слагаемое описывает компоненты Х„(т), соответствующие отрицательным частотам. что идентично форме ядра Дирихле для последовательности, состоящей из одних единиц, в (3-48).
Форма отклика ДПФ Х,(т) представляет собой функцию япс ядра Дирихле. 13О Глава 3. иск етное и еоб аэование Ф ье ,(лт)! дпе рактеристика И 2 И н г ) Эта кривак, включал ее часть , ! в области отрицательных частот, преаставпиет непрерывное преобравованиа атрьа от х[п! = сов(гкласк! ~-и а — 'и и( -и и' ° и+В О Ь4„2 Н-г„, В Вь! ага+за+4 ! ' ! ! ' ! -Ь4 Ьза-2 „а -в+2„-4+4 Рис. 3.43.
Модуль (у-точечного ДПФ действительной косинусоидальной последовательности х (и) = соз(2гтлтс/й), й полных периодов которой укладываются на интервале в И отсчетов 3.16. Реакция отдельного бина ДПФ на действительный косинусоидальный сигнал Теперь, когда мы разобрались с реакцией Х-точечного ДПФ на действительную косинусоиду, мы завершаем эту главу, рассматривая реакцию отдельного бина ДПФ. Мы можем рассматривать отдельный бин ДП Ф как своего рода поло- совой фильтр и это полезное представление используется, например, для описания гребешковых потерь (раздел 3.10), при проектировании банков фильтров в частотной области, а также при реализации метода частотного мультиплексирования в телефонии, известного как трансмультиплексирование 115~.
Чтобы определить частотную характеристику отдельного бина, рассмотрим случай, когда на вход ДПФ подается действительная косинусоидальная последовательность х„(л), и будем фиксировать модуль единственного бина т = !(. Пусть частота входной косинусоидальной последовательности изменяется от частоты, при которой на интервале накопления укладывается Й<т периодов косинусоиды, до частоты, при которой на интервале накопления укладывается тс >и периодов косинусоиды. Если мы при этом измеряем значение бина т = тг, мы увидим, что его модуль должен изменяться в соответствии с непрерывным спектром входной косинусоиды, показанным на рисунке 3.45 серой линией.
Если изменить частоту анализируемого косинусоидального сигнала так, что она не будет соответствовать центру !1-го бина и станет соответствовать, например, я+0.25, то мы снова увидим утечку спектра, как показано на рисунке 3.44. (Мы использовали это представление о ДПФ действительной последовательности, чтобы показать утечку спектра, в разделе 3.8.) Приведенные в таблице 3.4 различные математические выражения для реакции ДПФ в области положительных частот на входную действительную косинусоидальную последовательность представляют собой просто выражения из таблицы 3.3 с дополнительным множителем 1/2.
2~! 4~ 6 Е Я Е Е 6 :с Е Е с я 0 ~с Е Д Е с а 6, Е ~с Е Е 6 Е ~с Е ° с Я Е Е а 'й с Е ~( И ~И 5 5 о '~ »5 'Ф со а 5 с со 1 »о 2 л а с а Ф д 5 л й с оо ~5 Ф Ф а а а о л х с а 55 ~- с о с ~- о о х а а х Ф 5 а с о, Ф 'С 5 о а о * С >5 5 д о о ас о ц') х О й о е С Ф с~ о а Я Ф Ф Д5 й 5 а л о а5 во Ф 2 5 5 а о а о с с Е О Ф а ~- о о йа а о с т ~ хо ;о.т »5 л 5 ао .с Ф 5 Ф 5 о' о '5 о Ф ( а о 1 еИ 5 О 5 Ф а х Ф а Д 5 а 5 „д р Ф в й 5 а о )5 до Ф ай а~ 4й )5 ь ~5 2 .с й с о Ф х Ф 5а й 5 О Ф ао а * о еЬ с й сс о с с 5 О х Ф ас а 5 Ф а й 5 а 5 5 5 5 д Ф о ~ д й ~И О 5 Х о х Ф 5 5 Б О.
Ф 5 $- 5 о »5 о о а х й »5 Ф с 2 ~ Ф й 5» й Ь Ф а й с" сс а с 5 5 о х 1 а о Ф а о а х о Ф ь 5 с й й Ф Л 5 й о а )5 5 » а д 5 Х о Ц~ л й о Ф х да С 5 а 5 5 5 а с Ф о д Ф 5 й О. 5 О 5 ~ о )5 о 5 а е о Э, Х 5 й Ьа~ Ф ао а 5 О а 1: ~5 с~ о й о 5 ал х О, дф ~ С 5) 55~, 5 д,'~ а Ф й у дй ~ 5И)', О 5 д, Хо' 132 ГлаваЗ.Диск егноеп еоб азованиеФ ье «+О.гв -ваге Рис. 3.44. Модуль )ч'-точечного ДПФ, демонстрирующий утечку спектра действитель- ной косинусоиды х,(л), которая на )ч' отсчетах имеет 1+0.25 периода На рисунке ЗА5 (а) показано значение бина т = )г, когда частота входного сигнала х„(п) равна к = т — 2.5 периодов на интервал накопления.
Повышая частоту х„(п) до )г = т — 1.5 периодов на интервал накопления, мы получаем значение бина т = )г, показанное на рисунке 3.45 (Ь). Продолжая повышать частоту х,(п), при 4 = т мы получаем значение бина т = )г, показанное на рисунке ЗА5 (с). Изменяя частоту входного сигнала, мы можем заметить, что модуль бина т = )г должен изменяться по тому же закону, что и непрерывный спектр косинусоидальной последовательности, показанной на рисунке ЗА5(о)) черной линией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
