Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 23
Текст из файла (страница 23)
»»++».т»инт»»+Ф (ь) О»„ »»„Х 00) »»»' о Рио. 3.27. ДПФ обобщенной прямоугольной функции; (а) модуль [Х(т) [; Оз) фаза а радианах Чтобы глубже понять природу ДПФ прямоугольных функций, обсудим е(це несколько примеров менее общих прямоугольных функций, которые в цифровой обработке сигналов встречаются чаще, чем х(п) с рисунка 3.24. 3.13.2. ДПФ симметричной прямоугольной функции Выражение (3-43) сложновато, т.
к. исходная функция х(п) задана в самом общем виде. На практике частные случаи прямоугольных функций приводят к более простым версиям (3-43). Рассмотрим симметричную прямоугольную функцию х(п), показанную на рисунке 3.28. Как показано на этом рисунке, нам необходимо вычислить Д ПФ прямоугольной функции, центр которой совпадает с индексом и = О. Такую задачу приходится решать на практике доврльно часто.
В этом случае последовательность из К единичных отсчетов начинается с индекса п = — и = -(К-1)/2. Соответственно, подстановка (К вЂ” 1)/2 вместо по в (3-43) дает о Х(т) = е)(2лт/Щ(К вЂ” 1)12 — (К вЂ” 1)/2), [яп(лтК/М)/яп(ллг/М)] = = еу(2"и/)У)(()) ° [яп(л тК/)()) /я п(лт/Ж) [ . (3-46) Поскольку е)О = 1, (3-46) превращается в Симметричная форма ядра Дирихле: (3-47) 3.13.
ДПФ и яме гольных нкций 113 — — — — К вЂ” зь- „° ° ° ° ° х(и) и-и- ° - ° -и-и-и-и- ° - ° -> — к-и-и-и-и-и-и-и-и О Л и и = (К-1)(2 НI2 Н(2+1 п о (К 1)12 Рис. 3.28. Прямоугольная функция х(п), содержащая К отсчетов с центром в точке п=О Формула (3-47) показывает, что ДПФ симметричной прямоугольной функции является действительной функцией, т. е.
комплексная экспонента в (3-47) отсутствует, так что в этом частном случае ДПФ не имеет мнимой части нли фазового множителя. Как мы установили в разделе 3.2, если х(п) — действительная и четная функция, т. е. х(п) = х( — п), то Х„„((т) отлична от О, а Х,, (и) всегда равна О. Мы покажем это, вычислив 64-точечное ДПФ последовательности, показанной на рисунке 3.29 (а). х(п) в этом случае содержит 11 единичных отсчетов, центр которых приходится на индексе и = О.
ДПФ этой последовательности дает последовательность Х(т), действительная и мнимая части которой показаны на рисунках 3.29 (Ь) и 3.29 (с) соответственно. Как и предсказывало выражение (3-47), Х„„( (т) отлична от О, а Х; „(т) равна О. Графики модуля н фазы Х(гл) приведены на рисунках 3.29(с() и 3.29(е). Обратите внимание на то, что модули, показанные на рисунках 3.27 (а) и 3.29(1(), идентичны. Это подтверждает очень важную теорему о сдвиге, т. е. модуль (Х(т) ! зависит только от количества ненулевых отсчетов в х(п), К, и не зависит от их позиции по отношению к п = О.
Сдвиг К единичных отсчетов при центрировании их относительно индекса и = О влияет только на фазу отсчетов Х(т) и не влияет на их модуль. Говоря о фазовых углах, здесь интересно будет отметить, что, хотя Х;~,„(т) на рисунке 3.29 (с) равна О, фазовый угол Х(т) отличен от нуля.
В этом случае фазовые углы отсчетов Х(т) на рисунке 3.29 (е) принимают значения ч-л, 0 или — л радиан. При необходимости мы легко можем восстановить Х„„((п1) по (Х(п1)) и фазовому углу Х (т), поставив в соответствие углам +л и — л радиан множитель Ф -1. Отсчеты Х„,((т) равны отсчетам (Х(т)), взятым со знаком, который меняется на противоположный при переходе из одного бокового лепестка в другой'.
Чтобы яснее представить себе, что ДПФ прямоугольной последовательности является дискретизированной версией ядра Дирихле, увеличим количество ненулевых отсчетов последовательности х(п). На рисунке 3.30 (а) показана 64-точечная последовательность х(п), содержащая пакет из 31 единичного отсчета с центром в точке и = О. Модуль Х(гп) приведен на рисунке 3.30 (Ь). Расширяя прямоугольную функцию х(п), т.
е. увеличивая К, мы сделали ядро Дирихле Х(гп) уже. Это следует из (3-45), не так ли? Частота первого нуля ядра обратно пропорциональна К, следовательно, по мере увеличения К мы сжимаем (Х(т) ! в направлении к т = О. В этом примере Лг = 64 и К = 31. Из (3-45) следует, что положительная частота первого нуля Х(т) равна 64/31, т. е.
расположена немного правее отсчета с т=2 на рисунке 3.30 (Ь). Заметьте также, что пиковое значение )Х(т) ! = К = 31, как и должно быть согласно (3-44). 1 Конкретная картина распределения значений +л и — л на рисунке 3.29 (е) определяется программой, которую использовали для получения этого рисунка Другие программы могут показать другую картину, но пока ненулевые значения фазовых углов равны +л и — л, результат будет правильным. 114 Глава 3. иск егное и еоб азоаание Ф ье 1 т к(п) »»в»аюю ав О.о ~ 0 аюаюв ааааа» ° «аююп юн +(Не«Н+(.> а ° ааа н»юю»а «нн» а»4~ -28 -г4 -го -16 -1г -8 .4 о 4 8 12 16 га 24 28 зг и (а) 1г 10 8 6 (ь) 4 2 о :',1 ге»1(п') 11 » -20 -8 ° ° а -28 .24 -16 -П ".,' 1 О 4 05 04 о.з (с) а2 О1~ о Хюпао(пп) пава «»а» вава»н ав а анана ва а»«ю вюа» наю »»»а ааю»4В го пи -20 ио-ц -8 .4 о 4 8 1г Оз го 24 гз )Х(и)) ° «» 11 8 ° а 6 4 а а ю в ° аа ° -28 ои -го -16 -ц -8 -4 о 4 8 1г 16 го и гз (О) 4 т хлоп) 3 ю» »вью» аю вюв ю 1 ~ ~ ~ ( ~ 4 8, 12 16 20 24 28 О юю»а»8444344»юа»»6НЧЧЧ+юа а ава»а»Н8ЕН)» »8«448ЕН~Ю »»а++~~ -1 28 24 20 16 12 8 .4 0 ~ ~ )~ и -2 -3 -» ююа аа ° ю (е) 1 ~ к(п) (е) 0.5 0 »а»ааааа» а ° а ю ааа а ааа ° вю»юаа ° ° вава» ф 3 ! $ 24 28 32 °аааа $1 3 $ $ -28 -24 -20 -16 -12 -8 -4 О 4 8 12 16 20 )Х(01)) 30 З1 25 (ь) 20 ° а 15 1О 5 °, » 0 ...;«858 ° 888»588 .6» 45«»45 ам,,оп'~8+'«88'181"885 888 ° 888 858-Ю- -25 -24 -20 -16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16 20 24 28 Рис.
3.30. ДПФ симметричной прямоугольной функции, содержащей 31 единичный отсчет: (а) исходная последовательность х(л); (Ь) модуль Х(гп) Рис. 3.29. ДПФ прямоугольной функции, центр которой приходится на и = 0: (а) исходная последовательность х(п); (Ь) Х, )(т); (с) Х (т); (б) модуль Х(т); (е) фазовый угол Х(т) в радианах 3. 13. ПФ и мо льных нкций 3.
13.3. ДПФ прямоугольной функции, все отсчеты которой равны 1 Как и раньше, мы вычисляем ДПФ частного случая последовательности х(п), в результате чего приходим к еще одной упрощенной форме выражения (3-43). В литературе мы часто встречаем прямоугольную функцию, для которой К = Ж; т. е. Иотсчетов х(и) отличны от нуля, как показит на рисунке 3.31. В этом случае пакет из И единичных отсчетов начинается'при и - — и = — (И вЂ” 1)/2. Мы получим выражение для ДПФ функции, показанной на рисунке 3.31, подставив К = Ии и, = (И вЂ” 1)/2 в (3-43), что дает Х(т) -еу(2лт/и)[Р~ 1)/2 Р4 1)/2) ° ° [зт(лтИ/И) /зт(лт/И) ')- = еl(2лт/И)(О) ° [яп(лт)/з)п(лт/И)[, нлн Форма ядра Дирихле для функции, все отсчеты которой равны 1 (Тнп 1): Х(т) = [з)п(лт)/з)п(лт/И)~ (3-48) К=И 1 аааааааккаааааааккааакаааакаааакх(и) и (И-1)/2 -и = -(И-1)/2 о Рис.
3.31. Прямоугольная функция, содержащая И единичных отсчетов 1 Кстати, название «Ядро Днрнхле типа 1» ддя (3-48) не является общепринятым. Мы использовали слова «тнпа 1» просто для того, чтобы отличать (3-48) от других математических выражений, с которыми мы вскоре встретимся. Формула (3-48) соответствует одной из форм выражения (3-34), которую мы упоминали в начале раздела 3.13'. Рисунок 3.32 показывает смысл выражения (3-48). Модуль ДПФ последовательности х(и), состоящей из единичных отсчетов и показанной на рисунке 3.32 (а), показан на рисунках 3.32 (Ь) и 3.32 (с). Обратите внимание на то, что если бы переменная т была непрерывной, (3-48) описывало бы графики, нарисованные серыми линиями на рисунках 3.32 (Ь) и 3.32 (с).
Если же т может принимать только целые значения, то (3-48) описывает точки на этих рисунках. Ядро Дирихле Х(т) на рисунке 3.32 (Ь) теперь имеет наименьшую возможную ширину. Первый ноль на положительной оси частот возникает на отсчете т = 64/64 = 1 на рисунке 3.32 (Ь), а пиковое значение )Х(т) ! = И= 64. Когда все отсчеты х(и) равны 1, )Х(т))-О для всех значений т м О. Функция сйпс в (3-48) имеет важнейшее значение, как мы увидим в конце этой главы, она определяет общую частотную характеристику ДПФ при подаче на его вход синусоидальной последовательности, кроме того, она представляет собой АЧХ одного бина. ГлаваЗ.Диск егноеп еоб азованиеФ ье Форма ядр» Дирихле для функции, все отсчеты которой равны 1 (Тип 2): Х(т) = 8(п(лт)/(лт/Х) = 1т' яп(лт)/(лт)' (3-49) х(п) 1аааааааваюавваааааавввюювваваааааввввюаааюааюва вюаююююввю (а) 0.5 о -28 -24 -20 -16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 (Х(м)( 50 4О (ь) зо 20 1О с';",л; 0 аюаюаааваюввваааааююввввюваавваавв1юююввовввюааааюввв ввавваааааавввч1ю 1 -гв -24 -го -16 -12 -8 .4 о 4 8 12 16 го г4 гз то 6О 5О 40 () зо го 1О о в, 64 -5 -4 -з -2 -1 о 1 г з 4 5 Рис.
3.32. Функция, все отсчеты которой равны 1; (а) прямоугольная функция с)т'= 64 единичными отсчетами; ((з) модуль ДПФ функции, состоящей только иэ единичных отсчетов; (с) укрупненный вид модуля ДПФ функции, состоящей только нз единичных отсчетов Форма (3-48) позволяет нам продвинуться на один шаг вперед и определить выражение для содержащей только единичные отсчеты ДПФ последовательности, которая наиболее часто встречается в литературе. Чтобы сделать это, нам необходимо использовать принцип аппроксимации, применяемый в тригонометрии, о котором, возможно, вы уже слышали раньше. Согласно этому принципу при малых а значение яп(а) примерно равно а, т.
е. яп(а) = а. Это соотношение приходит на помощь, котла мы рассматриваем круговой сектор радиуса 1, показанный на рисунке 3.33 (а). Этот сектор определяется длиной дуги а, измеренной в радианах, и ее хордой Ь. Если мы начертим внутри сектора прямоугольный треугольник, то мы можем сказать, что а = яп(а). При уменьшении а длинные стороны нашего треугольника становятся почти параллельными, длина хорды Ь приближается к длине дуги а, а длина отрезка а приближается к длине Ь. Итак, как показано на рисунке 3.33 (Ь), при малом а = Ь = а = яп(а).
Мы используем приближенное равенство 5(п(а) = а, рассматривая знаменатель выражения (3-48). Когда значение лт/л(мало, яп(лт/)т) примерно равен гтт/йг. Следовательно, при больших Л(мы можем утверждать, что 3. 13.ДПФп ямо гольных нкций 117 (а) (Ь) Рис. 333. Соотношение угла а, длины отрезка а = езп(а) и хорды Ь; (а) при большом угле а; (Ь) при малом угле а Было показано, что если в (3-48) %превышает, скажем, 10, (3-49) достаточно точно описывает значения отсчетов ДПФ'. (3-49) часто нормализуют, разделив на Ж, так что мы можем'выразить нормализованное ДПФ прямоугольной функции, содержащей только единичные отсчеты, в виде Форма ядра Дирнхле для функЦии, все отсчеты которой равны 1 (Тнп 3): (3-50) Х(т) = з(п(лт)/лт Соотношение (3-50), принимая вторую форму (3-34), которая часто встречается в литературе, также дает модуль ДПФ, показанный на рисунках 3.32 (Ь) и (с). 3.13.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
