Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Частотная и временная оси, связанные с прямоугольными функциями 1 Мы можем принять этот результат со спокойной душой, потому что, если положить К=И, мы увидим, что пиковое значение Х(т) в (3-49) при т = О получается равным Ю что,согласуется с выражением (3-44). Определим физические размерности, связанные со значениями индексов и и и. До сих пор в наших рассуждениях индекс и был просто целым числом, позволяющим нам различать отдельные отсчеты последовательности х(п). Если индекс и представляет моменты времени, мы можем задать интервал времени, разделяющий соседние отсчеты х(п), чтобы определить масштаб оси времени для х(п) и масштаб частотной оси для Х(т). Рассмотрим прямоугольную функцию во временной области, показанную на рисунке 3.34 (а). Эта функция содержит Мотсчетов, полученных с интервалом Г, секунд, при этом полный интервал накопления составляет №, секунд.
Отсчет х(п) для некоторого значения п берется в момент времени пг, секунд. Например, значение отсчета с индексом п = 9, х(9) = О, появляется в момент времени 91, секунд. 113 Глава 3. Диск етное и еоб азование Ф ье к(9) еремя = 91 секунд е (а) к ° и и к к-к-к-к- ° - Ф- 9 секунд к к \ Значение Х(т) / к+++ич-и+к.еч-ч ° 'к+яка — — -ю (Ь) ° и., и 1 т къ о и, ф к (2к(е = мк радиан(с) 11 5 [и = 2к радиан) и 12 1 )и Гц (мк )И) (и 1М 2 Гц ( е "Гк) [к) -1к)2 Гц ( .И(2=- 1) [- и) т= 7 частота = 71 1И Гц (частота = Угок )и радиан(с) [нормироеанный угол = Уе )и радиан) Рис.
3.34. Размерности временной и частотной осей ДПФ: (а) временная ось использует индекс времени и; ([)) различные представления частотной осн ДПФ Частотная ось Х(т) может быть представлена несколькими разными способами. Три популярных способа маркировки частотной Оси ДПФ показаны на рисунке 3.34 ((у) и перечислены в таблице 3. Е Рассмотрим каждое представление в отдельности. Таблица 3.1. Характеристики различных представлений частотной оси ДПФ Диапазон изменения Период повторения Х(гп) частоты Гл1 /И ОТ -19/2 ДО 1,/г 19/И Частота в Гц т, гл1, аг /Иили 2л1 /И Частота в радианах Глаг /Инлн 2лап1 /И гл/и 2лт/И Нормированный угол в радианах от -л до л 3.
13.4. 1. Частотная ось ДПФ а Герцах (Гц) Если мы хотим связать Х(т) с периодом дискретизации по времени Г„или с частотой/; = 1/Г„то частота будет принимать значения т/№, = т/', /И. Таким — И(к 1, ~ с Лс) ...и, °,, Представление Частотная Разрешающая частотной оси переменная способность ДПФ Х(гп) от-~ /2до та/2 нли От -л1 ДОЛГ 119 3.13, ПФ п ямо гольных нкций образом, каждый отсчет Х(т) соответствует частоте т~; /Х Гц.
В этом случае разрешение по частоте составляет/, /Ж. Период повторения ДПФ равен/,. Гц, как показано на рисунке 3.34 (Ь). Если мы в (3-47) подставим частоту т/з/Мвместо т/У, мы получим выражение для ДПФ симметричной прямоугольной функции при К < Х, в котором частоты выражены через частоту дискретизации/, в Гц. Это выражение имеет вид Х(тО = Гяп(лтК1,/Ж)/яп(лт/з/Ж)~ . (3-51) Для прямоугольной функции при К = Унормированная по амплитуде аппроксимация функции яп(х)/х в (3-50) может быть выражена через частоту дискретизацииуз в Гц как Х(т/;) = (яп(лт/;)/яп(лт1;) ) .
(3-52) 3. 13.4.2 Частотная осы ДПФ в радианах в секунду Мы можем измерять частоту отсчетов спектра Х(т) в радианах/с, выразив частоту дискретизации во временной области в радианах/с как ш,=2лГк В этом случае каждому отсчету Х(т) соответствует круговая частота ш, /У = 2лт~', /Х радиан/с. ГГри этом разрешение по частоте составляет шз /У = 2л/з /Мрадиан/с, а период повторения ДПФ равен ш, = 2л~; радиан/с, как показано на рисунке 3.34 (Ь) в скобках. Поскольку ш, = 2л/„л/; = ш, /2.
Если мы подставим в (3-51) ш, /2 вместо л/„мы получим выражение для ДПФ симметричной прямоугольной функции при К ( Х как функцию частоты дискретизации ш, в раднанах/с; Х(тш,) = яп(лтКшз /2М)/яп(лтш, /2)У) . (3-53) Для прямоугольной функции при К = Мнормированная по амплитуде аппроксимация яп(х)/х в (3-50) может быть выражена как функция частоты дискретизации ш, в радиан/с как Х(лкв,) = 2яп(тш, /2)/тш, . (3-54) 3. 13.4.3 Частотная осв ДЛФ при использовании нормированной угловой переменной Многие авторы упрощают запись выражений, используя нормированную переменную для круговой частоты ш, = 2л/з. Под нормированием мы понимаем то, что частота дискретизации /, полагается равной 1, вследствие чего нормированная круговая частота ш, принимает значение 2л. Следовательно, частотная ось Х(т) теперь размечена значениями нормированного угла ш, и каждому отсчету Х(т) соответствует угол тш/7у'радиан.
При использовании этого соглашения разрешение по частоте равно ш/Ж радиан, а период повторения ДПФ составляет ш = 2л радиан, как показывает выражение в квадратных скобках на рисунке 3.34 (Ь). К сожалению, использование этих трех представлений частотной оси ДПФ иногда ставит новичков в тупик.
При изучении литературы читатель может переводить одно представление в другое с помощью рисунка 3.34 и таблицы 3.1. 3.13.5. Альтернативная форма ДПФ прямоугольной функции, состоящей из одних единиц. Использование нормированной формы частотной оси, показанной в последней строке таблицы 3.1, приводит к другой часто используемой форме ДПФ прямоугольной функции, все отсчеты которой равны 1, показанной на рисунке 3.31.
Если мы примем дискретную переменную в частотной области в форме а) 2лт/1Х', то )гт = Же) /2. Подставляя Же) /2 вместо лт в (3-48), мы получаем Выражение (3-55), соответствующее третьей форме выражения (3-34), иногда встречается в литературе и также имеет модуль, изображенный на рисунках 3.32 (Ъ) и 3.32 (с). Мы рассмотрели так.много разных форм ДПФ различных прямоугольных функций, что здесь уместно свести их все в одну общую таблицу 3.2. 3.13.6. Обратное ДПФ обобщенной прямоугольной функции Теперь подумаем о вычислении обратного ДПФ прямоугольной функции в частотной области.
Имея прямоугольную функцию Х(т), найдем соответствующую функцию во временной области х(п). Мы можем определить обобщенную форму прямоугольной функции в частотной области так, как мы зто делали на рисунке 3.24, получив результат, показанный на рисунке 3.35. К )в- 1 ° ° ~ ° ° ° ° ~ ° ° ° ~ ° Х(т) Л о к т т=-т, +(К-1) М2 т=-т„ - )У) 2+1 Рис. 3.35. Обобщенная прямоугольная функция в частотной области длительность в К отсчетов на интервале в )У отсчетов при К< И Обратное ДПФ прямоугольной функции Х(п)), показанной на рисунке 3.35 имеет вид №2 х(и) = (1/Л)) ~~~, Х(т) егвк 1 /и (3-56) т= — (Ку2) е1 Те же алгебраические преобразования, которые мы использовали в (3-43), можно применить к (3-56), что приводит нас к х(п) = е зд2 кРУ кв — <к-1)/2) (1/Лг) )яп(2льК/)У)/яп(лп/й))) (3-57) Форма ядра Дирихле для прямоугольной функции, все отсчеты которой равны 1 (Тяп 4): Глава 3.
Диск етное и еоб азоаание Ф ье Х(те),) = яп(ЛЬ /2)/яп(а)т /2) (3 55) 3. 13. ДПФ п ямо гольных нкцнй 121 для обратного ДПФ прямоугольной функции, показанной иа рисунке 3.35. Все, что мы говорили о (3-43), в равной степени применимо и к (3-57), за исключением масштабирующего множителя 1гУ и изменения знака показателя экспоненты. Воспользуемся уравнением (3-57), чтобы вычислить 64-точечиое обратное ДПФ прямоугольной функции, содержащей 64 отсчета, которая показана иа рисунке 3.36 (а).
Обратное ДПФ последовательности, показанной иа рисунке 3.36 (а), дает иам последовательность х(п), действительная и мнимая части которой, х„о) (и) их, (и), показаны на рисунках 3.36 (Ь) и 3.36 (с) соответственно. Положив в этом примере У = 64 и К = 1 1, мы получили возможность легко сравнить функции, полученные в результате обратного ДПФ и показанные иа рисунке 3.36, с функциями, полученными в результате прямого Д ПФ и показанными иа рисунке 3.26. Замечаете подобие действительных частей, Х„, ((и) и хгао)(л), иа рисунках 3.26 (Ъ) и 3.36 (Ъ)? Обратите также внимание иа противоположность знаков мнимых частей иа рисунках 3.26 (с) и 3.36 (с). 11 Х(аг) »у ау» а»ау ол~ аг» -28 -24 -20 -16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 Ог (а) 0.2 г»»1 (гг) ,» озгг О.ГО оз г у ° ' 8 и .
а 8 » Ц 4»»»У»У»»»а»»44+)4» 4+4+44 165~~ .туугг84 г 6+ю- -20 -16 -12 У» -4 0 4»а 12 16 20 О (Ы 0.05 о -0 05 и, »о(п) о .оз 0 02 (с) » у, г,г »у » у, и »» » 8 20 ааа и ° а » у ° "м а -го -24 у -М «у»4+4ь) . о угг у уу а ° а ° а » а а уа у' у Рис. 3.36. ОбратноеДПФ обобщенной прямоугольной функции: (а) исходная функ- цияХ(т); (Ь) действительная частьх, )(п); (с) мнимая частьхкл (и) Модуль и аргумент х(п) показаны иа рисунках 3.37 (а) и 3.37 (Ъ). Обратите внимание иа разность пиковых значений главных лепестков иа рисунках 3.27 (а) и 337 (а).
Пиковое значение иа рисунке 337 (а) равно К/Х = 1 1гг64 или 0.172. Обратите также внимание иа то, что знаки фазовых углов иа рисунках 3.27 (Ъ) и 3.37 (Ь) противоположны. Графики иа рисунках 3.26, 3.27, 3.36 и 3.37 дают хороший пример фундаментальной дуальиости прямого и обратного ДПФ. сч )О )ГЪ С)Ъ 66 «О ОЪ Ю Рч Е з Е 'й Я Е с й ~с Е Е Е ~с Е з СЧ 3 СФ 1! Е Е Е с Е Е 6 Е Е 'й !1 ~с Е Е с 'й 0 Е ~с , 'Г Ф~: Е-'« ,' Ф; ~Ф -$ а/~ ~4 ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
