Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Мы можем видеть, что выходные отсчеты ДПФ являются отсчетами непрерывного преобразования Фурье, показанного на рисунке 3.20 (Ъ). Если мы добавим в конец исходной входной последовательности 16 нулей (дополним ее нулями) и вычислим 32-точечное ДПФ, мы получим результат, приведенный в правой части рисунка 3.21 (Ъ), из которого видно, что мы уменьшили интервал дискретизации в частотной области в 2 раза. Теперь ДПФ чаще дискретизует непрерывное преобразование Фурье.
Добавив е(це 32 нуля и беря 64-точечное ДПФ, мы получаем результат, показанный в правой части рисунка 3.21 (с). Результат 64-точечного ДПФ теперь начинает проявлять истинную форму непрерывного спектра сигнала. Добавив еще 64 нуля и вычислив 128-точечное ДПФ, мы получаем результат, показанный в правой части рисунка 3.21 (()). Способность ДПФ дискретизировать спектр в частотной области теперь очевидна, но заметьте, что индексы бина, соответствующего центру главного лепестка для всех случаев, показанных на рцсунке 3.21, разные. Модуль ДПФ В»одно» сигнал » » » » 05 (а) 0» О Г 2 3 4 5 6 7 В В Ю и 72 ГЗ Н 75 »» +» » «.~Ю- н 0» 0 Г 2 3 Модуль ДПФ Входной сигнал »» 05 »» » (О) о И+Н+Н»+НН-Н»»» ь» ь»» .Вь- 3 а з 5 О гг 75 гв н г4 и зо Вр » » ,и » +» 6» Г + +» В + и аа о» О Г 2 3 4 5 В 7 5 6 ГО и 42 ВХОДНОЙ СИЛГВЛ 'и» Модуль ДПФ В » » н- 35 40 45 50 55 60 Ври » » 2»„г »» » а »»» 0» ФФ»+Н»+++0+++ 4+0+»+++ о г 4 6 в го гг н Ф гв го 22 г4 Входной сигнал ° » г Мнгу ДПФ »азг » » » » (с) о»- ггг вр » 2 ь»» 73»» 3 » ь» аь О»аан»ннгн»енннанн»ень ин» вЂ” 66 О 4 В 42 ГВ 20 24 2В 32 36 40 44 46 Рис.
3 . 2 1 . Дискретизация в частотной области при вычислении ДПФ: (а) 1 6 входных отсчетов и И = 16„((з) 16 входных отсчетов, 16 добавленных нулей и И = 32; (с) 16 входных отсчетов, 48 добавленных нулей и И = 64; (с() 16 входных отсчетов, 112 добавленных нулей и И = 128 Г- (с) 0»ага»ФВМ О 5 Ю Н20 2530 »» »» 'Л... ГлаваЗ.Диск етноеп еоб азованиеФ ье 3.11. Раз ешающая способностьДПФ 101 Значит ли это, что мы должны переопределять частотную ось ДПФ при использовании дополнения нулями? На самом деле, нет. Если мы дополняем нулями А ненулевых отсчетов и получаем всего Уотсчетов во временной области для У-точечного ДПФ, средние частоты бинов ДПФ дополненной последовательности связаны с исходной частотой дискретизации давно знакомым нам выражением (3-5), или Таким образом, в примере, иллюстрируемом рисунком 3.21 (а), мы используем (3-32), чтобы показать, что, хотя индекс бина ДПФ дополненной нулями последовательности, соответствующего максимуму главного лепестка, изменяется с ростом У, частота этого бина остается неизменной.
Следующая таблица показы-' вает, чтр при этом происходит: Частота максимума главного лепестка по отноше ию к г = )чз рисунка Максимум главного А = И = лепестка соответствует т = 16 16 31 /16 16 32 61 /32 = 31 /16 16 64 121 /64=31 /16 16 128 241 /128 = 31 /18 12 24 Выиграем ли мы что-нибудь, еще дополнив последовательность нулями и вычислив ДПФ еще большего размера? Выиграем, но мало, потому что 128-точечное ДПФ дискретизует непрерывный спектр достаточно подробно на рисунке 3.21 (д).
Брать отсчеты чаще с помощью ДПФ большего размера бесполезно, т. к. это не улучшит наше понимание частотной структуры спектра. Суть здесь в том, что добавление нулей к входной последовательности улучшает разрешение' по частоте, но существует практический предел того, что мы можем достичь с его помощью. В нашем примере 128-точечное ДПФ выявляет подробную структуру спектра. Здесь мы столкнулись с законом убывающей отдачи.
Выполнение 256- или 512-точечногоо ДПФ в нашем случае дало бы мало новой информации'. Для этой конкретной последовательности нет смысла существенно уменьшать интер- ! В отечественной литературе под разрешающей способностью по частоте понимают минимальную разность частот гармоник, при которой в спектре зти гармоники различаются как отдельные составляющие. В этом смысле разрешающая способность по частоте определяется только длительностью дискретизированной выборки сигнала. Дополнение нулями позволяет лишь уменьшить интервал дискретизации по частоте и г подробнее рассмотреть спектр сигнала. — (прим. перев.) Обратите внимание нато, что размер ДПФ (Х) в наших примерах равен целой степени 2 (64, 128, 256, 512).
Это объясняется тем, что для выполнения ДПФ мы на самом деле используем специальных алгоритм, известный как быстрое преобразование Фурье (БПФ). Как мы увидим в главе 4, типовая реализация БПФ требует, чтобы убыло целой степенью двойки. 3.21 (а) 3.21 (Ы 3.21 (с) 3.21 (о) центральн я частота т-го бина = т~,/)т'. (3-32) 1Ог Глава 3. Диск етное и еоб азоаание Ф ье вал дискретизации непрерывного спектра по частоте.
Конечно, и 128-точечное ДПФ в данном случае не является незыблемым пределом. В зависимости от количества отсчетов в некоторой произвольной входной последовательности и частоты дискретизации на практике могло бы потребоваться дополнение каким угодно количеством нулей для получения требуемого разрешения по частоте. Относительно дополнения нулями следует сделать два последних замечания.
Первое, выражения для модуля ДПФ (3-17) и (3-17') неприменимы в случае дополнения нулями. Если мы дополняем нулями А ненулевых отсчетов сииусоиды, частота которой с" падает с частотой бина, в результате чего получаем общее количество Хвходных отсчетов и выполняем Ж-точечное ДПФ, то для вычисления величины отсчетов ДПФ мы должны в (3-17) и (3-17') заменить Хна Х. И второе, если мы хотим выполнить дополнение нулями и взвешивание окном, мы не должны накладывать окно на всю последовательность, включая и добавленные нули. Окно должно накладываться только на исходные ненулевые отсчеты, иначе нулевые отсчеты приведут к тому, что часть окна будет фактически обнулена и искажена, что приведет к ошибочным результатам.
(В разделе 4.5 даются дополнительные практические указания по выполнению ДПФ с использованием алгоритма БПФ при анализе сигналов реального мира.) Чтобы немного отвлечься, сейчас подходящий момент для определения дискретно-временного преобразования Фурье (ДВПФ), которое читатель может встретить в литературе. ДВПФ представляет собой непрерывное преобразование Фурье дискретной А-точечной последовательности, и некоторые авторы используют ДВПФ для описания многих понятий цифровой обработки сигналов, о которых мы говорили в этой главе. Мы не можем выполнить ДВ11Ф на компьютере, потому что оно обладает бесконечным разрешением по частоте, но мы можем аппроксимировать его с помощью У-точечного ДПФ Л-точечной последовательности при Х > А.
Фактически речь идет о том, что мы делали на рисунке 3.21, когда дополняли нулями исходную последовательность из 16-отсчетов. (Когда Х = А, аппроксимация ДВПФ совпадает с ДПФ.) Чтобы увидеть связь между ДВПФ и Д ПФ, вспомним, что модуль ДВП Ф (т. е. модуль непрерывного преобразования Фурье) последовательности из 16 ненулевых отсчетов, показанной на рисунке 3.21 (а), представляет собой функцию вида з(п(х)/х, обозначенную серыми линиями на рисунке 3.21. Наши ДПФ аппроксимируют (дискретизируют) эту функцию. При увеличении количества нулей, которыми дополняются исходные 16 ненулевых отсчетов, просто выполняется интерполяция дискретизированной посредством ДПФ версии ДВП Ф с уменьшающимся шагом дискретизации по частоте.
Запомните, пожалуйста, что дополнение нулями не улучшает нашу способность различать два близко расположенных по частоте сигнала. (Например, главные лепестки спектров, изображенных на рисунке 3.21, не меняются по ширине, выраженной в Герцах, при увеличении количества добавляемых нулей.) Чтобы улучшить спектральное разрешение двух сигналов, необходимо анализировать больше ненулевых отсчетов. Правило, по которому мы должны жить, заключается в следующем; чтобы реализовать разрешающую способность по частоте на уровне Г„„Гц, мы должны накопить отсчеты сигнала на интервале времени 1/Е„, секунд.
Применения дополнения нулями во временной области мы обсудим в разделе 13.15, дополнения нулями в частотной области в разделе 13.28 и вернемся к ДВПФ в разделе 3.! 7. 103 3.12. Коэ ициент л чшенияДПФ 3.12. Коэффициент улучшения ДПФ С ДПФ связаны два коэффициента улучшения. Те, кто использует ДПФ для обнаружения сигнала в шуме, часто говорят о коэффициенте улучшения ДПФ потому, что Д П Ф может выделить сигнал на фоне шума. Это возможно благодаря усилению сигнала, связанному с вычислением внутренней корреляции, которое имеет место при вычислении Ж-точечного ДПФ. Кроме этого естественного улучшения отношения сигнал/шум можно получить дополнительное интегральное улучшение при усреднении результатов ДПФ.
Рассмотрим сначала внутренний коэффициент улучшения. 3.12.1. Коэффициент улучшения отдельного ДПФ Понятие коэффициента улучшения ДПФ очевидно, если мы рассматриваем отдельный бин ДПФ как узкополосный фильтр. Поскольку частотная характеристика бина ДПФ имеет внд функции з1п(х)/х, значение этого бина определяется главным образом энергией сигнала, попадающей в его главный лепесток. Бин ДПФ можно рассматривать как полосовой фильтр, центр полосы пропускания которого находится на частоте т/, /У. Из (3-17) мы знаем, что максимально возможное значение отсчетов ДПФ возрастает при увеличении длины преобразования Ж. Кроме того, при увеличении Х главный лепесток бина становится уже. Таким образом, бин ДПФ можно рассматривать как полосовой фильтр, коэффициент передачи которого можно увеличить, а ширину полосы пропускания уменьшить, увеличивая значение )ч'.
Уменьшение ширины полосы пропускания полезно при обнаружении энергии сигнала, потому что в дололнение к уменьшению энергии шума, попадающей в пределы его полосы пропускания, улучшается и разрешающая способность по частоте. Мы можем продемонстрировать это, рассмотрев ДПФ тона (синусоиды постоянной частоты), смешанного со случайным шумом. На рисунке 3.22 (а) в логарифмическом масштабе показаны первые 32 отсчета 64-точечного ДП Ф, при этом частота тона совпадает с центром бина т = 20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
