Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 17
Текст из файла (страница 17)
64-точечное ДПФ: (а) входная последовательность из 3.4 периодов и аналитическая синусоида с т = 4; (Ь) модуль ДПФ Мы используем функцию (3-25), график которой приведен на рисунке 3.9 (а), чтобы определить уровень утечки, возникающей при ДПФ.
Мы можем рассматривать кривую на рисунке 3.9 (а), состоящую из главного лепестка и периодически повторяющихся пиков и впадин, которые называют боковыми лепестками, как непрерывный положительный спектр действительной косинусоидальной последовательности, состоящей из )т'отсчетов и содержащей а полных периодов. Результатом ДПФ являются дискретные отсчеты, которые лежат на кривой, изображенной на рисунке 3.9; т. е. результат ДПФ будет представлять собой дискретизированную версию этого непрерывного спектра.
(На рисунке 3.9 (Ь) мы приводим амплитудно-частотную характеристику ДПФ при подаче действительного входного сигнала как функцию частоты в Гц.) Когда входная последовательность ДПФ имеет ровно к полных периодов (т. е, центральная частота ее спектра точно совпадает с бином т - )т), утечка не возникает, как на рисунке 3.9, потому что, когда значение аргумента в знаменателе (3-25) отлично от О и кратно л, синус этого аргумента равен нулю. 1 ов ов 04 о.г (а) О -ог -04 -ОВ -ов -1 Входная частота = 3.4 периода лз = 4 частота анализа хи %хи за: ' хи а я 86 ГлаваЗ.Диск етноеп еоб азованиеФ ье ретная последовательность отсчетов ДПФ, еделяемая выражением и всп(к(кк- - сто сл) г ,(К-сп) Непрерывный положительный спектр дискретной косинтсоидьс (а) ° ~~и Ск в ° Частота (сл) к-1 кь! к+з К+5 Ли ~~г Частота ксвси (Гм) (ЬЗ)(в)И (К-!)(вСИ (К+!)( IИ (К+З)кв(И (Кь5)Са)И Рис.
3.9. Положительная частотная характеристика ДПФ, обусловленная )ч-точечной входной последовательностью, содержащей К периодов действительной косинусоиды: (а) амплитудно-частотная характеристика как функция индекса бина лп (Ь) амплитудно-частотная характеристика как функция частоты в Гц Мы можем показать на примере, что происходит, когда частота входного сигнала не совпадает с центром бина. Предположим, что действительная синусоида с частотой 8 кГц, амплитуда которой равна единице, дискретизирована с частотой /, = 32000 отсчетов/с.
Если мы вычислим 32-точечное ДПФ этой последовательности, то разрешение по частоте, или интервал между бинами, составит ~; /)т( = 32000/32 Гц = 1.0 кГц. Мы можем предсказать АЧХ ДПФ, поместив центр спектра входной синусоиды на частоту 8 кГц, как показано на рисунке 3.10 (а). Точки изображают модули отсчетов ДПФ. Здесь следует запомнить важный факт: результат ДПФ представляет собой дискретизированную версию непрерывного спектра, показанного на рисунке 3.10 (а). Эти дискретные отсчеты в частотной области, расположенные на частотах сл~;/Ж и есть точки на рисунке 3.10 (а).
Поскольку частота входного сигнала точно совпадает с частотой бина ДПФ, результат ДПФ содержит только одно ненулевое значение. Другими словами, когда выборка из А(отсчетов содержит целое количество периодов входного сигнала, отсчеты ДПФ ложатся точно на максимум непрерыв- 3.8. Утечка ДЛФ 87 ного спектра и точно на точки, в которых этот спектр равен нулю. Из (3-25) мы знаем, что пиковое значение амплитуды выходного отсчета равно 32/2 = 16. (Если входная действительная синусоида имела амплитуду, равную 2, пиковое значение кривой спектра будет равно 2 ° 32/2, или 32.) На рисунке 3.10 (Ъ) показана утечка ДПФ, возникающая при частоте входного сигнала 8.5 кГц, и здесь мы видим, что в результате дискретизации в частотной области модули всех бинов ДПФ отличны от О. Входной сигнал с частотой 8.75 кГц даст результат ДПФ с утечкой, показанный на рисунке 3.10 (с).
Если мы сидим за компьютером и изучаем утечку, строя графики модуля ДПФ, мы, конечно, получим точки, изображенные на рисунке 3.10, но не увидим непрерывные спектральные кривые. Вкадная наскока = 8.0 КГц я ° я + (а) — — — а — — ы 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Часкока (кгц) Вкодная наскока = 6.5 КГц (ы я я 3 4 5 6 7 8 9 1О 11 12 13 Частота (КГц) ° 14.05 Вкодная настота = 8.75 КГц 5 15 (с) ° ° ° - ° ° ' .я.. 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Частота (кгц) Рис. 3.10.
Частотные отклики ДПФ: (а) частота входного сигнала ДПФ = 8.0 кГц; (Ь) частота входного сигнала ДПФ = 8.5 кГц; (с) частота входного сигнала ДПФ = 8.75 КНг Здесь внимательный читатель должен был бы подумать: «Если непрерывный спектр, который мы дискретизуем, симметричен, то почему результат ДПФ на рисунке 3.8 (Ь) такой асимметричный7» На рисунке 3.8 (Ъ) модули бинов справа от третьего бина уменьшаются быстрее, чем модули бинов слева от третьего бина. «И, кроме того, вычисление значения непрерывного спектра Х(() для аргумента, равного ОА, дает относительное значение амплитуды 0.75.
Умножая на этот коэффициент пиковое значение спектра 32, мы должны были бы иметь модуль третьего бина, равный примерно 32 ° 0.75 = 24. но на рисунке 3.8 (Ь) этот модуль несколько больше 25. Что здесь происходит?» Мы можем ответить на этот вопрос, вспомнив, что на самом деле представляет собой рисунок 3.8 (Ь). Изучая результат ДПФ, мы обычно интересуемся бинами от т - 0 до т - (Х/2 — 1). Следовательно, при наших ЗА периодах на интервал выборки на рисунке 3.8 (Ь), 88 Глава 3. иск егноеп еоб азованиеФ ье показаны только первые 32 бина.
Результат ДПФ периодичен в частотной области, как показано на рисунке 3.11. (Мы поговорим об этой периодичности в разделе 3.17.) Изучая результат ДПФ для все более и более высоких частот, мы как бы ходим по кругу, и спектр повторяется бесконечно. * 22 *ЭЭ б бб б б Рис. 3.11. Циклическое представление копий спектра при вычислении ДПФ сигна- ла, имеющего 3.4 периода на интервале наблюдения Более обычный путь изображения результата ДПФ состоит в том, что спектр на рисунке 3.11 разворачивают и получают спектр, показанный на рисунке 3.12. На рисунке 3.12 показаны некоторые из копий спектра для сигнала, имеющего 3.4 периода на интервале наблюдения. Что же касается проблемы асимметрии ДПФ, заметим, что в случае нашего сигнала утечка возникает во 2-м, в З-м, в 1-м, в 0-м бинах и продолжается в — 1-м, — 2-м и т.
д. бинах. Вспомним, что 63-й бин — это то же, что и — 1-й, 62-й бин — это тоже, что и — 2-й, и т, д. Эта эквивалентность бинов позволяет нам рассматривать бины ДПФ так, как если бы они продолжались в область отрицательных частот, как показано на рисунке 3.13 (а). Результат состоит в том, что утечка заворачивается вокруг бина т = О, а также вокруг бина и = Ж.
Это не удивительно, потому что частота т = Π— это и есть частота и = Дэ. Заворот утечки относительно частоты т = О и несет ответственность за асимметрию ДПФ относительно бина т = 3 на рисунке 3.8 (Ъ). Вспомним обсуждение симметрии ДПФ действительной последовательности х(п), когда отсчеты ДПФ от т = О до т = (Ж/2 — 1) симметричны бинам с т > (Лг,22), где Ж вЂ” размер ДПФ. т-й отсчет ДПФ будет иметь тот же модуль, что и (эээ-т)-й отсчет, т.
е. ~ Х(т) ) = ~ Х(Ж вЂ” и) ~ . Это значит, что заворот утечки возникает также и вокруг бина и = М/2. Это можно показать, взяв входной сигнал, имеющий 28.6 (32 — 3.4) периодов на интервале накопления, спектр которого показан на рисунке 3.13 (Ъ). Отметим сходство рисунков 3.13 (а) и 3.13 (Ъ). Таким образом, ДПФ демонстрирует заворот утечки относительно бинов т = О и т = ДГэ22. Минимальная асимметрия, вызванная утечкой, будет в районе Ю/4-го бина, как показано на рисунке 3.14 (а), на котором приведен полный спектр входного сигнала, содержащего 16.4 периода на интервале наблюдения. Рисунок 3.14 (Ъ) содержит первые 32 бина спектра этого сигнала в увеличенном масштабе. 3.8.
Утечка ДПФ 89 Входной сигнал также проявляется на частоте 64 - 3.4 = 60.6 и 64 4 3.4 = 67 А периода на интервал Входной сигнал также проявляется на частоте 0- 3.4 н -3.4 периода на интервал входной сигнал имеет частоту 3.4 периода на интервал В псм направлнгии спектра мютсряются В агсм направлении спек рм псмсряютс» ° ° ° ° ° ° а ° ° ° ° ° ° ° ° и а ° ° ° ° ° ° ° ° в -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 52 64 56 58 60 62 64 66 бб 70 72 74 76 ГП (мастаке) Рис. 3.12. Размножение спектра для сигнала, имеющего 3.4 периода на интервале наблюдения Модуль ДПФ (при входном сигнале 3.4 периода/интервал) (а) а аа а а ива ° па а аа авааааа 4 б 8 10 12 !4 (Частста) 50 52 54 56 58 60 82 0 2 (-14) (-12) (-10) (-8) (-6) (-4) (-2) Модуль ДПФ (при входном сигнале 26.8 периода/интервал) гп = Р//2 =32 а (Ь) а аа ° ааааа а аааааа 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 (Частств) Рис.
3.13. Модуль ДПФ: (а) для сигнала, имеющего 3.4 периода на интервале наблюдения; (Ь) для сигнала, имеющего 28.8 периодов на интервале наблюдения Читать об утечке спектра можно целый день. Однако наилучший способ оценить ее влияние — сесть за компьютер и использовать программу ДПФ в форме быстрого преобразования Фурье (БПФ) для обработки ваших собственных тестовых сигналов, подобных показанным на рисунках 3.7 и 3.8. При этом вы сможете экспериментировать с разными комбинациями частот входных сигналов и разными размерами ДПФ.
Глава 3. иск егное и еоб азоаание Ф ье 90 Модуль ДПФ (при входном си 16.4 периода/интервал) 25 го (а) 1О в и в( 5 в и и в "в„ ° ва Ов вв ввхв ввгмэгмм мммвв ив в и а 4 6 гг 16 го 24 гб зг зб 46 44 46 52 56 бо (Чвоатв( модуль дпе (при входном си(нале 16.4 периода/интервал) и 25 20 (ь) то ° а ° ° в ° иава ° вв а ии О и.и,и и и е и е и и и 1 ' в О 2 4 б 6 1а12141616202224262взо (чмтатв) т=М4=16 Рис. 3.14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
