Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 16
Текст из файла (страница 16)
(Здесь мы не будем доказывать эту теорему, т. к. доказательство имеется практически в любом учебнике по ЦОС.) Если мы берем отсчеты х(п), начиная с некоторого п, равного целому 1', а не с и = О, ДПФ этой сдвинутой последовательности будет Хэы1„,7(т) Х ЬО 7 (т) = е1247тлттть7Х(т), (3-19) 3.6.1. Пример ДПФ йе2 Предположим, что мы начали брать отсчеты сигнала из примера №1 на 17 = 3 отсчета позже.
На рисунке 3.5 показан исходный входной сигнал: х,л(Г) = зтп(2л10007) 4- 0.531п(2л20001 Ф Зл74). Легко увидеть, что график на рисунке 3.5 является продолжением графика на рисунке 3.2 (а). Новая последовательность х(п) содержит отсчеты, показанные на рисунке 3.5 жирными черными точками. В примере 1 ДПФ вычислялссь пс этим вельми стсчетвм Б к м(1) -1 5 -3 -2 -1 О 1 2 3 4 5 6 7 л -Ф В примере 2 ДПФ вычисляется пс этим восьми стсчетем Рис. 3.5.
Сравнение моментов взятия отсчетов в примерах ДПФ 1чв1 и 1чс2 Значения этих отсчетов следующие: Выражение (3-19) показывает, что, если начало взятия отсчетов х(п) смещаетСя ВПраВО На 11 ОтСЧЕтОВ, тО СПЕКтр Х45,~7Ф1 (И) СОСтОИт ИЗ КОМПЛЕКСНЫХ ОтСЧЕтОВ Х(т), умноженных на фазовый множитель, что приводит просто к сдвигу фазы на 2лЬп/градная, или на Збб(т7777Уградусов. Если же начало взятия отсчетов х(л) СдВИГаЕтСя На тт ОтСЧЕтОВ ВЛЕВО, СПЕКтр ХэмГтеЭ (т) ПОЛуЧаЕтСя уМНОжЕНИЕМ Х(т) на е 12™уч. Проиллюстрируем (3-19) примером.
3.6. Тес ма о сдвиге х(1) = 0.3535, х(3) = -1.3535, х(5) = 0.3535, х(7) = 0.6464. (3-20) Выполнив ДПФ последовательности (3-20), получаем следующие значения Хз)яузе,) (т) Хал)яее(т) = (3-21) Значения из (3-21) показаны точками на рисунке 3.6. Обратите внимание на то, что рисунок 3.6 (а) идентичен рисунку 3.4 (а). Соотношение (3-19) говорит нам, что модули Хзы; „) (т) равны модулям Х(т). Не следует ожидать изменения модуля ДПФ исходного периодического сигнала хи(г) просто потому, что мы дискретизуем его на другом интервале времени. Фазы же ДПФ меняются в зависимости от момента, с которого мы начинаем брать отсчеты хы(г). Пример 2: Действительная часть Х .
(т) 3 к к 2 (с) 1 ок о Пример 2: Фаза Х,к рл) в градусах к к 4 г 2 — и 1 ) 3 4 5 5 к к -4 и -45 Пример 2: Мнимая часть Х . (лз) Рис. 316. РезультатДпф примера ы22: (а) модульхииум,~(т); (ь) фазах лвме(т); (с) действительная частьх лате,~(т); (т)) мнимая частьх лез «(т) х(0) = 1.0607, х(2) = -1.0607, х(4) = -0.3535, х(6) = 0.3535, Пример 2: Модуль Х,к (т) 4 к к з (а) г к к 1 О 1 2 3 4 5 б 7 (кгц) к к 4 (кгц) вг Посмотрев на компонент Х,ь,/„4 (т) с т = 1, например, мы можем проверить правильность значений фаз, показанных на рисунке 3.6 (Ц. Используя (3-19) и вспомнив, что в примере №1 Х(1) имел модуль 4 и фазу — 90' (или — и/2 радиан), а к - 3 и Х = 8, получаем Хй/м4(1) = еР~ьп/НХ(1) - е)ЬВ г/8 ° 4е 1л/2 = 4е1(бл/8 — 4л) = 4е1л/4 (3-22) Таким образом, Х,Ы/„4(1) имеет модуль, равный 4, и фазовый угол, равный л/4, или +45', что и требовалось для обоснования использования (3-19).
3.7. Обра~ное ДПФ Хотя главной темой этой главы является ДПФ, сейчас уместно ввести обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ). Обычно мы считаем, что ДПФ преобразует данные временной области в представление в частотной области. Но мы можем обратить этот процесс и получить исходный сигнал во временной области, выполнив ОДПФ отсчетов Х(т) в частотной области. Стандартные выражения для ОДПФ имеют вид: н-1 Х(П) = (1/Ж)~~'„, Х(т) Е/2лтп/Н (3-23) -о и — 1 х(п) = (1/М),~, Х(т) (соэ(2лтп/Х) +/э1п(2лтп/йГ)1.
(3 23') в=О илн Вспомним наше утверждение из раздела 3.1 о том, что дискретный сигнал во временной области можно рассматривать как сумму синусоид с разными аналитическими частотами и что результат ДПФ, Х(т), представляет собой набор Ж комплексных отсчетов, которые отражают амплитуды и фазы этих синусоид. Формулы (3-23) и (3-23') представляют собой математические выражения этого утверждения.
Читателю очень важно понять это. Если мы выполняем ОДПФ, подставляя результаты ДПФ из примера №1 в (3-23), мы возвращаемся из частотной области обратно во временную и получаем исходные действительные отсчеты х(п) из (3-11'), имеющие значения Обратите внимание на то, что выражение (3-23) отличается от ДПФ (3-2) только масштабирующим множителем 1/Жи знаком показателя степени. Кроме модуля результатов, все характеристики, которые мы до сих пор рассматривали для ДПФ, также присущи и ОДПФ. х(0) = 0.3535+ 10,0 х(2) = 0.6464+ 10,0 х(4) = 0.3535+10,0 х(6) = -1.3535+10,0 Глава 3. Дискретное и еоб азование Ф ье х(1) = 0.3535+ 10.0 х(3) = 1.0607+ 10.0 х(5) = -1,0607+ 10.0 х(7) = -0,3535+ 10.0 3.8.
Утечка ПФ 83 3.8. Утечка ДПФ А теперь держитесь за стул покрепче. Именно сейчас ДПФ становится действительно интересным. Два предыдущих примера дали корректные результаты потому, что входные последовательности х(п) представляли собой специально подобранные синусоиды. Оказывается, ДПФ дискретизированных сигналов реального мира дает в частотной области результаты, которые могут сбивать с толку. Особенность ДПФ, известная как утечка, приводит к тому, что результаты ДПФ представляют собой только аппроксимацию истинного спектра исходного непрерывного сигнала.
Хотя существуют способы минимизации утечки, мы не можем устранить ее полностью. Таким образом, нам необходимо точно понять, как она влияет на результат ДПФ'. Начнем с начала. ДПФ применяется к конечным множествам Атотсчетов, полученным дискретизацией сигнала с частотой )„с целью получить АГ-точечное преобразование, дискретные отсчеты которого ассоциируются с отдельными аналитическими частотами) „й,(т), где (и) = т~,/Ж (3-24) при щ= О, 1, 2, ..., М вЂ” 1. Выражение (3-24), которое мы использовали в примере №1, может выглядеть совершенно безобидно, хотя на самом деле оно таит в себе проблему.
ДПФ дает правильный результат только тогда, когда входная последовательность данных содержит энергию точно на аналитической частоте (3-24), на частоте, кратной фундаментальной частоте/,/У. Если входной сигнал содержит компонент с некоторой промежуточной частотой, лежащей между аналитическими частотами т/, /У, скажем 1.5/, /АГ, то этот входной сигнал проявится в некоторой степени на всех Ж частотах анализа! (Мы обычно говорим, что энергия входного сигнала проявляется на всех выходных бинах ДПФ, и мы скоро увидим, почему фраза «выходные бины» подходит для этого случая.) Попробуем понять значение этой проблемы на следующем примере. Предположим, что мы вычисляем 64-точечное ДПФ последовательности, показанной точками на рисунке 3.7 (а). Последовательность представляет собой синусоидальный сигнал, имеющий ровно 3 периода, содержащихся в АГ = 64 отсчетах.
На рисунке 3.7 (Ь) показана первая половина ДПФ входной последовательности, которая показывает, что последовательность имеет нулевое среднее значение (Х(0) = О) и не содержит никаких компонентов ни на каких частотах, кроме частоты, соответствующей т = 3. Пока ничего удивительного. На рисунке 3.7 (а) показана для примера аналитическая синусоида с т = 4, наложенная на входную последовательность, которая напоминает нам, что аналитические синусоиды всегда имеют целое количество периодов на всем интервале в б4 отсчета. Сумма произведений отсчетов входной последовательности на отсчеты синусоиды и = 4 равна О.
(Другими словами, мы можем сказать, что корреляция входной последовательности с аналитической синусоидой и = 4 равна О.) Сумма произведений этой конкретной входной последовательности, содержащей три перио- ! Явление утечки имеет место не только для ДПФ, но н для обычного интегрального преобразования Фурье — 1'прим, перев.).
84 да сигнала, на отсчеты любой аналитической синусоиды, кроме синусоиды с т = 3, равна О. В качестве продолжения нашего примера утечки на рисунке 3.8 (а) точками показана входная последовательность, имеющая 3.4 периода на У = 64 отсчетах. Речь идет о входной последовательности, которая не имеет целого количества периодов на интервале в 64 отсчета, входная энергия «протекает» во все другие выходные бины ДПФ, как показано на рисунке 3.8 (Ь). Входная частота = 3 периода от = 4 частота анализа та , аа а, ' ° в в в, .в.в в,а в в а а в а а в в,' а а ' ° а а а , Время а ° в а ° а ° а а ° вав Модуль ДПФ а 35 зо 25 20 15 (ь) Ов.в.а+а.в ° а.ав.в.ив«вава.а.аа.в. ° в«.ввв.в.а.аа-аа» о г 4 в втотг14»зтвгоггг4гвгвзо (Частота1 Рис.
3.7. 64-точечное ДПФ: (а) входная последовательность нз трех периодов и аналитическая синусоида с пт = 4; (Ь) модуль ДПФ Бин т = 4, например, не равен нулю, потому что сумма произведений отсчетов входной последовательности на отсчеты анализирующей синусоиды с т = 4 уже не равна О. В этом и состоит утечка спектра — она приводит к тому, что спектр входного сигнала, частота которого не равна точно центральной частоте одного из бинов, «растекается» по всем остальным бинам.
Более того, утечка — неизбежный эффект при выполнении ДПФ реальных последовательностей конечной длины. Теперь, как сказал бы английский философ Дуглас Адамс: «Не паникуйте». Чтобы узнать, как предсказывать и минимизировать неприятное влияние утечки, взглянем на ее причину. Чтобы понять влияние утечки, нам необходимо определить амплитудно-частотную характеристику ДПФ при подаче на его вход произвольной реальной синусоиды. Подробно этот вопрос обсуждается в разделах 3.14 и 3.15, а сейчас достаточно сказать, что для действительного косинусоидального входного сигнала, имеющего тт периодов на М отсчетах, амплитудно-частотная 1 о.в О.В 0.4 о.г (а) 0 -0.2 -04 -ов -ов -1 )лаваЗ.Диск етноеп еоб азованиеФ ье 3.8. Утечка ПФ характеристика бина У-точечного ДПФ в зависимости от индекса бина и аппрок- симируется фукцией япс Х(т) = (У/2) ° [яп[зт(4 — т)]/[л(А — т)1) (3-25) и' а( и я Время я ха зо Модуль ДПФ го (ь) то а В ею и 0 и н и н н.и.и н я и и и и и и„а я зМ о г 4 в в то тг та 10 тв го гг г4 гв гв зо 1частзта1 Рис,3.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
