Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(Другая процедура — цифровая фильтрация.) ДПФ позволяет анализировать, преобразовывать и синтезировать сигналы такими способами, которые невозможны при непрерывной (аналоговой) обработке. Хотя сегодня ДПФ используется практически во всех областях инженерной деятельности, мы увидим, что сфера его применения продолжает расширяться по мере того, как расширяется понимание его полезности. По атой причине основательное понимание ДПФ необходимо всем, кто работает в области цифровой обработки сигналов.
ДПФ вЂ” это математическая процедура, используемая для определения гармонического, или частотного, состава дискретных сигналов. Хотя для нас дискретный сигнал представляет собой набор значений, полученных в результате периодической дискретизации непрерывного сигнала во временной области, мы увидим, что ДПФ полезно для анализа любых дискретных последовательностей, независимо от того, что на самом деле эти последовательности представляют. Истоком ДПФ, конечно же, является непрерывное преобразование Фурье Х(/), которое определяется как (3-1) где х(г) — некоторый непрерывный сигнал во временной области.' В области обработки непрерывных сигналов (3-1) используется для преобразования аналитического выражения для непрерывной временной функции х(г) в непрерывную функцию ХЯ в частотной области.
Последующее вычисление значений выражения Х(/) дает нам возможность определить частотный состав любого сигнала, используемого на практике, и открывает широкий спектр воз- 1 В английском языке фамилия Фурье пишется г сапеги произносится примерно как 1опг уеаг (англ, «четыре года«). В институте мы называли (3.1) преобразованием 1опг уеаг, потому что для решения одной домашней аадачи нужно было примерно четыре года.
64 Глава 3. Диск етное и еоб азоеание Ф ье можностей для анализа и обработки сигналов в физике и технике. Несомненно, преобразование Фурье — наиболее значительный и широко распространенный математический механизм для анализа физических систем. (Это мнение лучше сформулировано в знаменитой цитате лорда Кельвина: «Теорема Фурье — не только один из наиболее красивых результатов современного анализа, можно сказать, что она предоставляет нам необходимый инструмент для рассмотрения почти каждого трудного вопроса в современной физике». Кстати, история оригинальной работы Фурье по гармоническому анализу, относящейся к проблеме теплопроводности, поистине захватывающая. Тем, кто интересуется этим вопросом, неплохо было бы начать с Щ и ~21.) С приходом в нашу жизнь цифровых компьютеров усилия пионеров цифровой обработки привели к разработке ДПФ, которое определяется как дискретная последовательность Х(т) в частотной области, Формула ДПФ (экспоиеициальная— Х(т) = ~.', х(п)е ~~в"'"1н.
(3-2) форма): В нашем обсуждении формулы (3-2) х(п) представляет собой дискретную последовательность значений, полученных дискретизацией во временной области непрерывной переменной х(г). Символ "е" в (3-2), конечно же, обозначает основание натуральных логарифмов, а1' = ~1 ( — 1). 3.1. Смысл формулы ДПФ Уравнение (3-2) имеет замысловатый и не слишком воодушевляющий вид, но не стоит отчаиваться. К концу этой главы формула (3-2) станет для вас одним из самых доступных и мощных инструментов в цифровой обработке сигналов.
Начнем с того, что запишем формулу (3-2) другим способом и внимательно рассмотрим ее. Из тождества Эйлера е тф = сов(ф) — 1з1п(ф) следует, что (3-2) эквивалентно следующему выражению: Формула ДПФ (тригонометрическая Х(т) = Хх(пасов(2™0У) 1зш(2лптУЧ1 (3-3) форма): Мы разделили комплексную экспоненту в (3-2) на действительную и мнимую части, где Х(т) — т-й компонент ДПФ, т. е. Х(0), Х(1), Х(2), Х(3) и т. д., т — индекс ДПФ в частотной области, т =О, 1,2,3,...,)ч' — 1, х(п) — последовательность входных отстчетов х(0), х(1), х(2), х(3) и т. д., п — временной индекс входных отсчетов и = О, 1, 2, 3,..., йà — 1, 1 = ~I(-1) )ч' — количество отсчетов входной последовательности и количество частот- ных отсчетов результата ДПФ. Хотя (3-3) выглядит более сложно, чем (3-2), его легче понять.
(Если вы чувст- вуете себя не слишком уверенно по отношению к 1 — ~/( — 1), не стоит отчаиваться. З.у. Смысл о м лыдПФ Это просто удобная абстракция,'которая помогает нам сравнивать фазовые соотношения между различными синусоидальными компонентами сигнала. В главе 8 оператор у обсуждается несколько подробнее.)' В стандартной записи ДПФ индексы входных значений (и) и выходных отсчетов ДПФ (т) всегда принимают значения от 0 до йУ вЂ” 1.
Это значит, что при наличии УзУ входных отсчетов во временной области ДПФ определяет спектральный состав входного сигнала в Жравномерно распределенных точках частотной оси. Значение лУ является важным параметром, т. к. оно определяет необходимое количество входных отсчетов, разрешающую способность результата по частоте, а также время, необходимое для вычисления йУ-точечного ДПФ. Полезно рассмотреть структуру выражения (З-З), записав слагаемые суммы по отдельности. Например, при У - 4 и и, и т принимают значения от 0 до 3, а (3-3) превращается в 3 Х(т) = ~~„', х(п)~соз(2лпт/4) — у яп(2лпт/4)) . (3-4а) п=п Запишем все слагаемые первого отсчета ДПФ, которому соответствует т = О, Х(0) =х(0)соз(2л 0 О/4) — ух(0)яп(2л 0 О/4) + х(1)соз(2зг ° 1 ° О/4) — ух(1)яп(2л 1 О/4) (3-4Ы ьх(2)соз(2л 2 О/4) — ух(2)яп(2л 2 О/4) + х(3)соз(2л 3 О/4) — ух(3)яп(2л .3 О/4) Для второго выходного отсчета ДПФ, соответствующего т = 1, (3-4а) принимает вид Х(1) =х(0)сов(2л 0 ° 1/4) — ух(0)яп(2л.О ° 1/4) ч- х(1)соз(2л ° 1 ° 1/4) — ух(1)яп(2л ° 1 ° 1/4) + х(2)соз(2л.2 ° 1/4) -ух(2)яп(2л ~2 ° 1/4) (3 4с) + х(3)соз(2л 3 ° 1/4) — ух(3)яп(2л .3 ° 1/4) Для третьего выходного отсчета, соответствующего т = 2, (3-4а) превращается в Х(2) = х(0)соз(2л 0~2/4) — ух(0)зш(2л 0 2/4) + х(1)соз(2л 1 ° 2/4) — ух(1)яп(2л ° 1 2/4) +х(2)соз(2л 2 ° 2/4) -ух(2)яп(2л 2 2/4) (3 4о) -ьх(3)соз(2л 3 ° 2/4) — ух(3)яп(2л 3 2/4) Наконец, для четвертого, и последнего, выходного отсчета, которому соответствует индекс т = 3, (3-4а) превращается в Имейте ввиду, что для представления оператора 1У ( — 1) математики часто используют букву у вместо у.
66 Глава 3. иск етноеп еоб зоаание Ф ье Х(2) =х(0)сох(2л 0 3/4) -1х(0)яп(2л 0 .3/4) +х(1)соз(2л 1 3/4) — ух(1)яп(2л 1'3/4) + х(2)соз(2л '2 '3/4) — 1х(2)яп(2л 2 3/4) +х(3)соз(2л 3 3/4) — ух(3)яп(2л 3 3/4) (3-4е) Символ умножения "*" в (3-4) используется просто для разделения сомножителей в синусных и косинусных слагаемых.
Структура выражений (3-4Ь) — (3-4е) теперь понятна, и мы ясно видим, почему в (3-3) удобнее использовать символ суммирования. Каждый выходной отсчет ДПФ Х(т) представляет собой сумму почленных произведений входной последовательности отсчетов сигнала на последовательность отсчетов комплексной синусоиды (гармоники) вида соз(ф) — 1зш(ф). Точные значения частоты разных синусоид зависят как от частоты дискретизации ~;, с которой был дискретизирован исходный сигнал, так и от количества отсчетов Ж.
Например, если мы дискретизуем непрерывный сигнал с частотой 500 отсчетов в секунду, а затем выполняем 16-точечное ДПФ дискретизированных данных, основная частота синусоид будет равна/; /14 = 500/16 или 31.25 Гц. Другие частоты, соответствующие Х(т), кратны основной частоте, т. е. Х(0) = 1-й частотный отсчет, частота анализа которого = 0 31.25 = 0 Гц, Х(1) = 2-й частотный отсчет с частотой анализа = 1 ° 31.25 = 3125Гц, Х(2) = 3-й частотный отсчет с частотой анализа = 2 ° 31.25 = 625 Гц, Х(3) = 4-й частотный отсчет с частотой анализа = 3 ° 31.25 = 93.75 Нг, Х(15) = 16-й частотный отсчет с частотой анализа = 15 ° 31.25 = 468.75 Гц.
заразных частот анализа ДПФ определяются выражением Х(т) =Х„,Ят) +1Х;„(т) =Х „асугломХ~(т), (3-6) то амплитуда Х(т) вычисляется как Х , (т) = ~Х(т) ~ = Х 1(т) + Х, (т) (3-7) 1,„,1„, (т) = (т),)/Ы. (3-5) Таким образом, в этом примере отсчет ДПФ Х(0) сообщает нам амплитуду компонента входного сигнала, имеющего частоту 0 Гц (постоянной составляющей), отсчет Х(1) задает амплитуду компонента с частотой 31.25 Гц, Х(2) — амплитуду компонента с частотой 62.5 Гц и т. д. Более того, как мы увидим дальше на примере, отсчеты ДПФ определяют также фазовые соотношения между частотными составляющими входного сигнала. Довольно часто нас интересует как амплитуда, так и мощность (амплитуда в квадрате) каждого отсчета Х(т), и для их вычисления, как показано на рисунке 3.1, применимы стандартные соотношения в прямоугольном треугольнике. Бели мы представим произвольный отсчет ДПФ Х(т) как сумму действительной и мнимой частей: 3.1.
Смысл о м лыДПФ 4 Мнимая ось О) Хаааа очка представляет ясное число Х~аа~(ло а!Хмав (т). ~(т) действительная ось Рис. 3.1. Тригонометрические соотношения для отдельного комплексного значения Х(т) По определению, фазовый угол Х(т), Х (т), вычисляется как Хр(т) = гал (Х; (т)/Х аа(т)~ . (3-8) Мощность отсчетов Х(т), которая называется спектром мощности, представляют собой амплитуду, возведенную в квадрат: Хр~(т) = Х (т) - Х )(т) е Х (т) (3-9) 3.1.1. Пример ДПФ Но1 Смысл выражений (3-2) и (3-3) станет более ясным на примере, так что давайте подробно, по шагам, рассмотрим простую ситуацию.
Допустим, мы хотим дискретизировать непрерывный сигнал, содержащий компоненты с частотами 1 кГц и 2 кГц следующего вида: х,а(г) = яп(2л ° 1000 г) + 0.5яп(2л 2000 г еЗл/4), (3-10) а затем выполнить 8-точечное ДПФ этого сигнала. Чтобы сделать входной сигнал несколько более интересным, мы сдвинули компонент с частотой 2 кГц по фазе на 135' (Зл/4 радиан) по отношению к компоненту с частотой 1 кГц.
При частоте дискретизации ~, мы берем отсчеты входного сигнала каждые 1//, - г, секунд. Поскольку )к) = 8, нам нужно взять 8 входных отсчетов, над которыми необходимо выполнить ДПФ. Таким образом, 8-элементная последовательность х(л) равна хы(г), отсчеты которого берутся в моменты времени лг;. х(л) =хы(пГ,) = яп(2л' 1000.пг,) + 05яп(2л.2000 лг, +Зл/4). (3-11) Если мы выберем частоту дискретизации/; = 8000 отсчетов в секунду, то, согласно (3-5), результат ДПФ будет показывать амплитуды составляющих, содержащихся в х(п), с частотами анализа т/,/М, или 0 кГц, 1 кГц, 2 кГц,..., 7 кГц.
При /; = 8000 отсчетов/с наши восемь отсчетов х(п) равны: (3-1Г) х(0) = 0.3535, х(2) = 0.6464, х(4) = 0.3535, х(б) = -1.3535, х( Ц = 0.3535, х(3) = 1.О607, х(5) = -1.0607, х(7) = -0.3535. Глава 3. Диск етное и еоб азование Ф ье -/(0.3535 О. 0) -/(0.3535 ° 0.707) < — это слагаемое с л=1 -/(О. 6464 1. 0) <- это слагаемое с л=г -/(1.0607 О. 707) — /(0.3535 0.0) -/(-1.0607 — О. 707) — /(-1.3535 —,1. О) -1(-0.3535 — О. 707) <- это слагаемое с л=7 0.3535 +/О. О + 0.250 -/0.250 + 0.0 -/О. 6464 — О. 750 -/О.
750 — 0.3535 -/О.о + О. 750 — /О. 750 + О.О -/1.3535 — о.гбо -/о.гбо 0.0 -/4.0 = 4 ~ -90'. <- это слагаемое с л=о Х(1) = 0.3535 1.0 + 0.3535 О. 707 + 0.6464 О. О + 1.0607 -0.707 + 0.3535 ° — 1.0 — 1. 0607 — О. 707 — 1.3535 0.0 — 0.3535 О. 707 Итак, мы теперь видим, что входной сигнал х(п) содержит компонент с частотой(кГц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
