Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 9
Текст из файла (страница 9)
В этом лежит причина того, что, хотя мы показали это только для синусоидальных сигналов, спектр любой дискретной последовательности значений содержит 44 Глава 2. Париодическаядиск етизация периодически повторяющиеся копии исходного спектра непрерывного сигнала (подробнее мы поговорим об этом в главе 3). Период повторения этих копий спектра в частотной области всегда равен/;, и периодический спектр простирается от постоянной составляющей до бесконечности в обоих направлениях частотной оси.
Это происходит потому, что й в (2-5) может быть любым положительным или отрицательным целым числом. (В главах 5 и 6 мы узнаем, что (2-5) является причиной периодичности частотных характеристик всех цифровых фильтров в частотной области и играет важную роль при анализе и проектировании популярного типа цифровых фильтров, известных как фильтры с бесконечной импульсной характеристикой.) Чтобы продемонстрировать влияние (2-5), построим на рисунке 2.2 и рассмотрим процесс дискретизации синусоиды частотой 7 кГц с частотой дискретизации 6 кГц.
Отсчеты берутся каждую 1/6000 секунды или один раз за каждые 167 микросекунд, а их значения изображены на рисунке 2.2 (а) точками. Заметьте, что значения отсчетов вообще не изменились бы, если бы вместо нашей синусоиды мы дискретизировали синусоиду частотой 1 кГц. В этом примере параметры (2-5) равны: ~, = 7 кГц, /; = 6 кГц ик = — 1, так что~,»к1; = [7+( — 1 ° 6)1 = 1 кГц. Проблема состоит в том, что никакой алгоритм обработки не может определить, является ли данная последовательность дискретных отсчетов, значения которых показаны точками, результатом дискретизации синусоиды частотой 7 кГц или синусоиды частотой 1 кГц. Если подать эти значения на некоторый цифровой прибор, который измеряет энергию сигнала на частоте 1 кГц, то выход прибора покажет энергию на частоте 1 кГц.
Но мы-то знаем, что в нашем исходном сигнале нет составляющих с частотой 1 кГц — наш входной сигнал представляет собой чистый тон с частотой 7 кГц. Формула (2-5) заставляет синусоиду с именем 7 кГц выступать под псевдонимом (а1!аз) 1 кГц. Попросить кого-нибудь определить, синусоида какой частоты дала отсчеты, показанные на рисунке 2.2 (а), — это то же самое, что спросить: «Когда я сложил два числа, я получил сумму четыре. Какие числа я складывалу» Ответ состоит в том, что существует бесконечное количество пар чисел, сумма которых дает четыре. Рисунок 2.2 (Ь) показывает другой пример частотной неоднозначности, которую мы будем называть наложением (а!ии(п8), когда синусоида частотой 4 кГц может быть принята за синусоиду частотой -2 кГц.
На рисунке 2.2 (Ь) параметры (2-5) имеют значения: /; = 4 кГц, /; = 6 кГц и к = — 1, так что 7;+7(7; = [4+( — 1 ° 6)1 = — 2 кГц. Как и раньше, если мы рассмотрим внимательно последовательность чисел, представляющих точки на рисунке 2.2 (Ь), то не сможем определить, какая синусоида была дискретизирована — тон частотой 4 кГц или тон частотой — 2 кГц. (Хотя понятие отрицательной частоты может показаться несколько странным, оно обеспечивает нам красивую и состоятельную методику предсказания эффектов дискретизации. В главе 8 обсуждаются отрицательные частоты и их связь с действительными и комплексными сигналами.) Если мы ограничим интересующий нас спектральный диапазон частотами в пределах ~ 7; /2 Гц, предыдущие два примера приобретают особое значение.
Частота /, /2 в теории дискретизации является важной величиной и в литературе известна под разными названиями': критическая частота Найквиста, половина ! В русскоязычной литературе эта частота традиционно не имеет специального названия, но в последнее время под влиянием англоязычной литературы появилась тенденция называть ее частотой Найквнста — (прим.
перев ). 2. 1. Наложение: неоднозначность п едстааления сигнала в частотной области 46 частоты Найквиста, частота заворота. Графическое изображение двух наших примеров наложения частот приведено на рисунке 2.2 (с). Нас интересуют компоненты сигнала, которые вследствие наложения отображаю д тся в иапазоне частот от —,г,'2 +,' 772.
Об атите внимание на то, что в интересующем нас диапазоне частот (+3 кГц, т. к./; = б кГц), имеется энергия на частотах -2 кГц и +( кГц, полу +( Г пол ченная вследствие наложения частот 4 кГц и 7 кГц, соответственно. Заметим также, что вертикальные позиции точек на рисунке 2.2 (с) не имеют значения, но их горизонтальные позиции показывают, какие частоты накладываются друг на друга. (а) (ь) Интересующий нас — диапазон частот (с) Частота 0 1 3 4 6 7 (КГц) (1,/2) (1,) -з -г (- ге/2) Рис. 2.2. Эффекты частотной неоднозначности, вытекающие из (2-5): (а) дискретизация синусоиды частотой 7 кГц с частотой дискретизации 6 кГц; (Ь) тиза ия синусоиды частотой 4 кГц с частотой дискретизации 6 жениесинкГц; (с) спектральные соотношения,демонстрирующие нало усоид с частотами 7 кГц и 4 кГц Общее изображение наложения имеет вид зубчатой структуры на рисунке 2.3 (а).
Обратите внимание на то, что пики структуры расположены на частотах, 46 Глава 2. Г)е иодическая диск етизация кратных /, Гц. Структура показывает, как сигнал, лежащий на пересечении горизонтальной линии с одной из наклонных линий, накладывается на все пересечения этой же горизонтальной линии со всеми другими наклонными линиями с таким же наклоном. Например, структура на рисунке 2.3 (Ь) показывает, что дискретизация синусоиды частотой 7 кГц с частотой дискретизации 6 кГц дает дискретную последовательность чисел, спектр которых представляет тоны с частотами 1 кГц, 7 кГц, 13 кГц, 19 кГц и т. д. Остановимся на минуту и дадим этим весьма важным понятиям немного устояться.
Представление непрерывного сигнала дискретной последовательностью содержит в себе неизбежную неоднозначность в частотной области. Эту неоднозначность необходимо учитывать во всех практических алгоритмах цифровой обработки сигналов. Интарасующий нас диапаэон ~- частот — Ф-~ — Копия — ~М вЂ” Копия — Ф»а — Копия — Э» (а) 27 Частота . тр2 О б/2 (ь) 0 1 3 б 7 12 1З 1б 10 Частота (кгц) Рис.
2.3. Зубчатая структура: (а) наложение на частотах, кратных частоте дискретизации; (Ь) наложение синусоиды частотой 7 кГц на 1 кГц, 13 кГц и 19 кГц А теперь рассмотрим эффекты дискретизации сигналов, которые представляют больший интерес, чем простые синусоиды. 2.2. Дискретизация низкочастотных сигналов Рассмотрим дискретизацию непрерывного действительного сигнала, спектр которого показан на рисунке 2.4 (а).
Заметим, что спектр симметричен относительно частоты О Гц и его значения равны О для частот выше н-В Гц и ниже — В Гц, т. е. это сигнал с ограниченным спектром. (С практической точки зрения термин сигнал с ограниченным спектром просто означает, что энергия сигнала за пределами диапазона ч.В Гц ниже чувствительности нашей системы.) Задавшись частотой дискретизации /, отсчетов в секунду, мы можем увидеть эффект размножения спектра при дискретизации на рисунке 2А (Ь), на котором показаны исходный спектр, а также бесконечное количество копий, повторяющихся с периодом 1; Гц.
2.2. Диск етизвция низкочастотных сигналов 47 (Хотя в разделе 1.1 мы установили, что представление дискретных последовательностей в частотной области само является дискретным', копии спектра на рисунке 2А (Ъ) показаны непрерывными линиями, а не дискретными точками, просто для того, чтобы рисунок не выглядел слишком загроможденным. Мы рассмотрим все особенности дискретного частотного спектра в главе 3.) (а) -в о в Частота ота (с) Г5!2 Ь, г тза гт Частота 5 ~-т т2 ь( - В/2 Рис. 2.4. Размножение спектра: (а) спектр исходного непрерывного сигнала; (Ь) размножение спектра дискретного сигнала при / /2 > В; (с) наложение частот при слишком низкой частоте дискретизацйи, потому что Г /2 < В Вернемся немного назад, чтобы понять все значение рисунка 2.4. На рисунке 2.4 (а) показан спектр непрерывного сигнала, который может существовать только в одной из двух форм.
Либо зто непрерывный сигнал, который можно дискретизировать с помощью АЦП, либо зто просто абстрактное понятие, такое как математическое выражение для сигнала. Он не может быть представлен в цифровой машине в форме с ограниченным спектром. Как только сигнал представляется последовательностью дискретных значений, его спектр принимает размноженную форму, показанную на рисунке 2А (Ъ).
Размноженные спектры — не просто плод воображения математиков; они реально существуют и оказывают глубокое влияние на последующую цифровую обработку сигналов'. Размножение спектра может показаться безвредным, и Это не совсем так, но оставим данное утверждение на совести автора — (прим. перев.). г К концу раздела 5.9 в качестве примера использования теоремы о свертке будет приведено другое обоснование размножения спектра при периодической дискретизации 48 Глава 2. Пе иодическая диск егизация естественно было бы спросить: «Зачем уделять так много внимания размножению спектра? Нас ведь интересует только диапазон частот в пределах + /; /2».
Это так, но если мы выполняем операцию переноса по частоте или изменяем частоту дискретизации путем прореживания или интерполяции, размноженный спектр сдвигается как раз в интересующий нас диапазон частот +/« /2 и может вызвать проблемы Щ. Рассмотрим, как можно управлять расположением копий спектра. В практических схемах АЦП/; всегда берется больше 2В, чтобы оставить разделительный промежуток в районе частот заворота + /;/2.
Это очень важное соотношение: ~; > 2 — известно как критерий Найквиста'. Чтобы показать, почему частота ~' /2 называется частотой заворота, понизим частоту дискретизации до величины/ = 1.5В Гц. Спектральный результат такой дискретизации показан на рисунке 2А (с). Копии спектра теперь перекрывают исходный спектр с центром на частоте 0 Гц. Ограничив наше внимание окрестностью частот +/,/2 Гц, мы видим два очень интересных эффекта.
Во-первых, нижняя и верхняя границы копий спектра с центральными частотами -~/, и -/, теперь лежат в интересующей нас полосе частот. Эта ситуация эквивалентна заворачиванию исходного спектра влево относительно частоты -~~;/2 и вправо относительно частоты — ~;/2. Части копий спектра теперь взаимодействуют с исходным спектром, в результате чего появляются ошибки наложения.
Дискретные отсчеты, связанные со спектром, показанным на рисунке 2А (с), больше не представляют корректно исходный сигнал. Спектральная информация в полосах частот от — В до -В/2 и от В/2 до В Гц искажена. Мы показываем уровень спектра в областях наложения более бледной линией, поскольку мы точно не знаем, каким он будет. Второй эффект, иллюстрируемый рисунком 2.4 (с), состоит в том, что весь спектр исходного непрерывного сигнала сосредоточен в полосе частот между — ~,/2 и +/«/2.
Это ключевое свойство показано на рисунке 2А (6) и будет иметь место всегда, независимо от дискретизируемого сигнала и частоты дискретизации. Этот эффект особенно важен, когда мы оцифровываем непрерывные сигналы. Он предупреждает нас о том, что любая энергия, расположенная выше +В Гц и ниже — В Гц в спектре исходного непрерывного сигнала, показанного на рисунке 2.4 (а), всегда после дискретизации окажется в интересующей нас полосе частот, независимо от частоты дискретизации.
По этой причине на практике необходимы непрерывные (аналоговые) фильтры нижних частот. Проиллюстрируем сказанное, показывая на рисунке 2.5 (а) непрерывный сигнал с шириной спектра В, сопровождаемый шумом. Дискретизация этой непрерывной смеси с частотой, которая превышает 2В, позволяет избежать наложения копий спектра полезного сигнала, но вся энергия шума все равно попадает в диапазон частот между -/з /2 и + /; /2 нашего дискретного спектра, показанного на рисунке 2.5 ()з). Практически эта проблема решается применением аналогового антиэлайзиигового фильтра нижних частот перед АЦП для уменьшения любой нежелательной энергии сигнала на частотах выше +В и ниже — В Гц, как показано на рисунке 2.6. Пример характеристики фильтра нижних частот показан более бледной линией, наложенной на спектр исходного непрерывного сигнала на рисунке 2.6. Заметьте, что спектр выходного сигнала фильтра нижних частот ограничен, и наложений в спектре выходных данных АЦП удается таким образом избежать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
