Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Можно перечислять члены последовательностей в частотной области точно так же, как мы это делали с членами временной последовательности в (1-2). Например, Х (т) записывается в виде списка значений как 1. 1. ис тные последовательности и связанные с ними обозначения 27 и так далее, где индекс частоты т представляет собой целочисленную последовательность О, 1, 2, 3 и т. д. В-третьих, т.
к. синусоидальные сигналы в х/ (п) + х~ (и) имеют равный нулю фазовый сдвиг относительно друг друга, нам нет необходимости беспокоиться об изображении фазовых соотношений в Хв„(т) на рисунке 1.3 (с). В общем случае, однако, фазовые соотношения в частотной области имеют большое значение, и мы поговорим на зту тему в главах 3 и 5. «,(п/ во временной обнес/и ХЗ(м/ в частотной обнес«и и 52 26 Зс 05 05 н.Нчччн +нФОО++4-нч-МО-(и 6 55 15 О 0 /, 2/, 3/ 4/ 5/ Час/о/а х,(л/ во временной обнес«и 2( Х (м/ в вс а а об вс 1 0.5 15 15 25 Зс 05 Врвмп /л/ ии -0 5 0 / 2/ 3/, 45 5/ Час а а х (п/ во временнси обпас/и Х (т/ анас«о«нси обпас1и 15 1 26 26 ЗО ееееччееебееебииибе+544444чее44-ь° * 15 25 и Времп(п/ О ° 0 'ИО 05 2/, 3/, 4/, 5/ Час/о«а Рис. 1.3.
Графические представления во временной и частотной областях: (а) си- а/ /11 В м о а (о) =о Х„(1) м 1.О Х„(г) = Оле х,„(3) =о (1-е значение Х (т), индекс т = О) (2-е значение Х (т), индекс т = 1) (3-е значение Х „(т), индекс т = 2) (4-е значение Х „(т), индекс т = 3) 1.3. Условные обозначения опе аций об абогки сигналов 29 его амплитуды.
Если мы предположим, что коэффициент пропорциональности равен 1, мы можем выразить мощность последовательности во временной или частотной области как х„(л) =х(л) = (х(л)! (1-8) или Х „(т) = Х(т) = (Х(т)! (1-8') Очень часто нам требуется знать разницу уровней мощности двух сигналов в частотной области. Из-за квадратичной зависимости мощности от амплитуды два сигнала с небольшой разностью амплитуд будут иметь гораздо большую разность мощностей. На рисунке 1.3, например, амплитуда сигнала х1 (и) в 2.5 раза болыпе амплитуды сигнала х2 (и), а его мощность в 6.25 раз больше мощности х2 (и). Это показано на рисунке 1.5, где показаны и амплитуда, и мощность Х,„(т).
модуль Х„(т) а частотной области мощность Х, (т) а частотной области 1 а 1 в 0.5 а 04 0.5 в 046 оа — + — + — в — в — а — 4в 0 ю — +-+ — а — Ф вЂ” к — В~- 0 Г 2Г ЗГ, 41 5~ Частота + 0 ~ 2Г ЗГ 4Г 5Г Частота + Рис. 1.6. Модуль и мощность сигналаХ (и) (рисунок 1.3 (с)) в частотной области На графиках мощности из-за ее квадратичной природы часто приходится отображать в одной системе координат как очень болыпие, так и очень маленькие значения. Чтобы облегчить построение и восприятие таких графиков, специалисты часто используют значения, выраженные в децибелах, как описано в приложении Е. 1.3.
Условные обозначения операций обработки сигналов Для графического изображения реализации операций цифровой обработки сигналов мы будем использовать блок-схемы. Эти блок-схемы будут содержать набор базовых условных обозначений основных операций, наиболее употребительные из которых показаны и определены математически на рисунке 1.6. На рисунке 1.6 (а) показано поэлементное сложение двух дискретных последовательностей, в результате которого образуется новая последовательность. Если значения индекса времени и нашей последовательности начинаются с О, мы говорим, что первое значение выходной последовательности равно сумме первого элемента последовательности Ь и первого элемента последовательности с,или а(0) = Ь(0) 4- с(0).
Соответственно, второе значение выходной последовательности равно сумме второго элемента последовательности Ь и второго элемента последовательности с, или а(1) = Ь(1) 4- с(1). Уравнение (1-7) дает нам пример сложения двух последовательностей. Операция вычитания, показанная на рисунке 1.6 (Ь) генерирует выходную последовательность, которая представляет собой Глава 1. Диск етные последовательности и системы поэлементную разность двух входных последовательностей. Иногда мы должны вычислять элементы новой последовательности, которые являются суммой более чем двух значений.
Эта операция, показанная на рисунке 1.6 (с), называется суммированием и встречается очень часто в цифровой обработке сигналов. Обратите внимание на то, что верхнее и нижнее значения индекса суммирования !г в выражении на рисунке 1.6 (с) точно указывают нам, какие элементы последовательности Ь необходимо сложить, чтобы получить требуемое значение а(п). Так как мы будем встречать операцию суммирования очень часто, давайте убедимся в том, что мы правильно поняли ее обозначение. Если мы повторим уравнение операции суммирования здесь, мы получим л+3 а(л) = х ~Ь(/г) (1-9) Сумматор Ь(п) + а(п) а(п) = Ь(л) + с(п) (а) с(п) Вычитатель.
Ып) + а(л) а(л) = Ь(п) - Ып) (Ь) Е(п) Суммирование Ып) Ь(и+1) (с) Ь(пе2) а(п) а(л) =Яь(к) = Ып) + Ып+1) + ь(п+2) + В(лез) В(я+З) Умножение В(п) а(п) а(п) = Ь(л)с(п) = Ь(п) с(п) (б) [Иногда дпя обозначения умножения мы использ)ем знак") с(п) Единичная задержка' а(п) а(п) = Ыл-! ) а(л) Ь(п) (е) Ь(п) Рис. 1.6. Термины и условные обозначения, используемые в блок-схемах цифровой обработки сигналов 1.4. Введениевднск етныелинейныеинва иантныевов еменисистемы 31 Это значит, что: при и = О, индекс к принимает значения от 0 до 3, так что а(0) = Ь(0) + Ь(1) + Ь(2) + Ь(3) при и = 1, индекс к принимает значения от 1 до 4, так что а(1) =Ы1)+Ы2)+Ь(З)+Ь(4) при и = 2, индекс к принимает значения от 2 до 5, так что а(2) = Ы2) + Ь(3) + Ь(4) + Ь(5) при и = 3, индекс к принимает значения от 3 до б, так что а(З) = Ь(3) + Ь(4) + Ы5) + Ь(б) (1-10) и так далее.
Мы начнем использовать операцию суммирования всерьез, когда мы будем обсуждать цифровые фильтры в главе 5. Умножение двух последовательностей показано символически на рисунке 1.6 (с(). Умножение генерирует выходную последовательность, которая является поэлементным произведением двух входных последовательностей: а(0) = Ь(0)с(0), а(1) = Ь(1)с(1) и так далее. Последняя базовая операция, которую мы будем использовать, на рисунке 1.6 (е) называется единичной задержкой.
Поскольку в данный момент у нас нет необходимости убеждаться в ее важности, мы просто скажем, что символ единичной задержки обозначает операцию, в результате которой выходная последовательность а(н) равна задержанной входной послеловательности Ь(п). Например, и(5) = Ь(4), а(6) = Ь(5), а(7) = Ь(6) и т. д. Как мы увидим в главе 6, благодаря математическим методам, используемым для анализа цифровых фильтров, единичная задержка часто обозначается как г '. Символы на рисунке 1.6 напоминают нам о двух аспектах цифровой обработки сигналов. Первый заключается в том, что операции всегда выполняются над последовательностями отдельных значений, а второй — в том, что элементарные операции сами по себе очень просты.
И что интересно, как бы сложно ни выглядели алгоритмы цифровой обработки сигналов, подавляющее большинство их можно реализовать, используя комбинации этих простых операций. Если мы представим себе некоторый алгоритм цифровой обработки сигналов как рецепт, то условные обозначения на рисунке 1.6 — это ингредиенты. 1.4. Введение в дискретные линейные инвариантные во времени системы Придерживаясь традиции, мы даем введение в линейные инвариантные во времени (ЛИВ) системы в самом начале этой книги. Хотя понимание ЛИВ-систем несущественно для изучения следующих трех глав, при изучении цифровых фильтров мы будем опираться на строгие определения линейности и инвариантности во времени.
Мы должны распознавать и понимать понятия линейности и инвариантности во времени не только потому, что огромное большинство дискретных систем, используемых на практике, являются ЛИВ-системами, но и потому, что зг Глава 1. нск етные последовательностни системы ЛИ В-системы очень удобны для анализа. Это хорошая новость для нас, потому что мы можем использовать простые методы для предсказания характеристик любой схемы цифровой обработки сигналов, если только она линейна и инвариантна во времени. Так как линейность и инвариантность во времени — две очень важные характеристики систем, имеющие особые свойства, мы обсудим их в следующих разделах.
1.5. Дискретные линейные системы Термин линейная определяет особый класс систем, выходной сигнал которых представляет собой суперпозицию, или сумму, отдельных выходных сигналов, полученных при подаче на вход системы составляющих входного сигнала по отдельности. Например, мы можем сказать, что при подаче на вход системы сигнала х~ (и) мы получим на выходе уг (и). Можно обозначить эту ситуацию символически с помощью следующего выражения: х~ (и) вызывает реакцию у г (и) (1-11) При подаче на вход другого сигнала хг (и) мы получим на выходе сигнала уг(п) в соответствии с хг (и) вызывает реакцию уг (и) (1-12) Чтобы система была линейна, необходимо, чтобы при подаче на ее вход суммы хг (и) + хг (и) выходной сигнал был суммой индивидуальных выходных сигналов, так что хг (п) ь хг(п) вызывает реакцию у1(п) + уг(п) (1-13) Кроме того, понятие линейности включает в себя такое свойство как пропорциональность.
Это значит, что если входные сигналы умножаются на коэффициенты с г и сг, то составляющие выходной последовательности также умножаются на эти же коэффициенты, т. е. с~х~(п) + сгхг(п) вызывает реакцию сгу~(п) + сгуг(п) (1-14) В литературе свойство пропорциональности называют также свойством гомогенности или однородности. Запомнив все это, продемонстрируем понятие линейности на примере. 1.5.1. Пример линейной системы Чтобы продемонстрировать линейность системы, предположим, что мы имеем дискретную систему, показанную на рисунке 1.7 (а), выходной сигнал которой определяется как у(п) = -х(п)т'2 (1-15) то есть выходная последовательность равна входной, взятой с обратным знаком и с уменьшенной в 2 раза амплитудой.
Если мы подадим на вход последовательностьхг (и), представляющую собой синусоидальный сигнал с частотой 1 Гц, дискретизированный с частотой 32 отсчета на период, мы получим выходную последовательность у г (и), показанную на рисунке 1.7 (Ц. График в правой части 1.5. Диск етные линейные системы 33 (а) Входнои сигнал хм) Выходной сигнал у(л) = -к(п)/2 «,(п) р.' «» у,(л) 05 хплгг Н г « о ЧННННН5 чаКФНФННФН4 У1 (лз) 06 (Ю о ° ННФФННФФН$" ~ а+ а ага а а а а ага агах аз. 2 а 6 8 10 12 га паиса 1 (гы ар, а .05 иа Нх Оо Ь«2(п) 1.~«а г ° ° а 05 ° ° ° а Оа а (с) 0 аннынйрм»мнннннн а ° ар а а -1 )2( Уз (м) 05 «а «а аа з МФННФНГФНаы4ФНФ4НН« 0 а.аха.ага,а.аа.а ° .а, ага а аа а " 2 а 6 8 1О 121« Чар*а ааа ап, 1 ггн .аз А и хз(п) хз(л) а х (л) 2 2 1 а ° «а ) а а (1() о аННЬ«ааимм.аягФУ а)Щ(Ф.р о -2 а а ар а ° а гаа -2 Уз(') Уз (пг) 05 р г» ага НозуфНФраНФН ааИФН+ ° О а~мох а,а.а ° а ° а.ах,а а ° а Вр 2 а 6 6 10 12 ы Ч «аа гга 1 гго -Оз Х ° и Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
