Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Если х'(п) =х(п + 4), то у'(п) = у(п + 4) ( Примером дискретного процесса, который не является ннварнантным во времени, является процесс понижения частоты дискретизации нлн децимация (прорежнванне), описанный в главе 1О. Уравнение (1-25) показывает, что входная последовательность х'(и) совпадает с последовательностью х(и), сдвинутой на четыре отсчета влево, то есть х'(О) = х(4), х (1) = х(5), х (2) = х(б) и так далее, как показано в левой части рисунка 1.9 (с).
Дискретная система инвариантна во времени, потому что выходная последовательность у '(и) равна последовательности у(и), сдвинутой влево на четыре отсчета, или у'(и) =у(и+4).Мыможемвидеть,чтоу'(О) =у(4),у'(1) =у(5),и'(?) =у(б)итакдалее, как показано на рисунке 1.9 (с). Для инвариантных во времени систем величина сдвига по времени последовательности у равна величине сдвига по времени последовательности х.
Некоторые авторы поддаются соблазну определять инвариантную во времени систему как такую систему, параметры которой не меняются со временем. Это определение страдает неполнотой и может причинить нам неприятности, если мы не будем достаточно внимательны. Мы просто остановимся на формальном определении, гласящем, что инвариантная во времени система — зто система, для которой сдвиг во времени входной последовательности приводит к равному сдвигу во времени выходной последовательности. Между прочим, в литературе инвариантные во времени системы часто называют инвариантными относительно сдвига системами'.
зв Глава 1. Диск етные последовательности и системы 1.7. Свойство коммутативности линейных инвариантных во времени систем Хотя мы ие будем обосновывать этот факт до раздела 6.8, сейчас вполне можно понять, что ЛИВ-системы обладают полезным свойством коммутативиости, согласно которому их порядок следования может быть изменен без изменения результирующего выходного сигнала. Эта ситуация показана иа рисунке 1.10, где две разные ЛИВ-сис гас:ы соединены последовательно. од сигнал у(п) (а) Входиой сигнал х( Выходной сигнал у(п) Входной сигнал х(п Рис.
1.10. Последовательное включение линейных инвариантных во времени (ЛИВ) систем: (а) исходное соединение ЛИВ-систем; (Ь) изменение порядка включения двух систем не изменяет результирующий выходной сигнал у(л) Изменение порядка включения каскадироваииых систем ие изменяет окоичательный выходной сигнал. Хотя промежуточные последовательности у(п) и д(л) в общем случае ие будут совпадать, обе пары Л И В-систем будут иметь идентичные выходные последовательности у(п). Это свойство коммутативиости приходит иа помощь разработчикам цифровых фильтров, как мы увидим в главах 5 и 6.
1.8. Анализ линейных инвариантных во времени систем Как утверждалось выше, Л И В-системы можно анализировать с целью предсказаиия их свойств. В частности, если мы знаем импульсную характеристику некоторой ЛИ В-системы, мы можем вычислить все, что можно узнать об этой системе, т. е. импульсная характеристика системы полностью характеризует ее. Под импульсиой характеристикой мы понимаем выходную последовательность системы во временной области при подаче иа вход системы единственного импульса, равного единице, (едииичиого импульса), которому предшествуют и за которым следуют нулевые отсчеты, как показано иа рисунке 1.11 (Ц.
Библиог а ия Зная импульсную характеристику ЛИВ-системы, мы можем определить выходную последовательность для любой входной последовательности, т. к. выходная последовательность равна свертке входной последовательности и импульсной характеристики. Более того, имея импульсную характеристику во временной области, мы можем найти кастетную характеристихх( стхсгпемьь взяв преобразование Фурье в форме дискретного преобразования Фурье от импульсной характеристики (51 Выходной снгнал у(п) (а) Входнсв сигнал х(п) 4 Периодическая дискретизация Периодическая дискретизация — процесс представления непрерывного сигнала последовательностью дискретных значений — используется во всех областях цифровой обработки сигналов.
На практике дискретизация выполняется путем подачи непрерывного сигнала на вход аналого-цифрового преобразователя (АЦП), который выдает на выход последовательность цифровых значений. Поскольку теория дискретизации играет важную роль в определении точности и реализуемости любой схемы цифровой обработки сигналов, нам потребуется уверенное знание эффектов периодической дискретизации, которые часто понимаются не совсем правильно. Первое, что необходимо выяснить в отношении дискретизации — как часто следует брать отсчеты непрерывного сигнала, чтобы сохранить содержащуюся в нем информацию. Мы можем дискретизировать непрерывный сигнал с любой частотой, с какой пожелаем, и получать последовательность дискретных значений, но возникает вопрос насколько хорошо эти значения представляют исходный сигнал? Давайте получим ответ на этот вопрос н параллельно исследуем различные методы дискретизации, используемыс в цифровой обработке сигналов.
2.1. Наложение: неоднозначность представления сигнала в частотной области Существует неоднозначность в частотной области, связанная с отсчетами дискретных сигналов, которая отсутствует в мире непрерывных сигналов, и мы можем понять влияние этой неопределенности, разобравшись в природе дискретных данных. Для примера предположим, что вы имеете следующую последовательность значений: х(0) = 0 х(1) = 0.8бб х(2) = 0.8бб х(3) = 0 42 Глава 2. Пе иодическая диск етизация х(4) = -0.866 х(5) = — 0.866 х(6) =О, и вам сказали, что эти значения представляют мгновенные значения синусоидального сигнала во временной области, взятые через одинаковые интервалы времени.
А затем вас попросили начертить график этого синусоидального сигнала. Вы, видимо, начали бы с изображения последовательности значений, показанной на рисунке 2.1 (а), точками. Затем, вероятно, вы начертили бы синусоиду, показанную на рисунке 2.1 (Ь) сплошной линией, которая проходит через точки, изображающие нашу последовательность. Другой человек, однако, мог бы начертить синусоиду, показанную на рисунке 2.1 (Ь) более светлой линией. Мы видим, что исходная последовательность с равной достоверностью могла бы представлять дискретизированные версии обеих синусоид. Главное здесь то, что, если последовательность данных представляет собой равноотстоящие по времени отсчеты синусоиды, мы не можем однозначно определить частоту синусоиды только по этим отсчетам.
Знакомство с математическими истоками этой частотной неоднозначности позволяет нам не только справиться с ней, но и извлечь из нее пользу. Выведем выражение для этой неопределенности в частотной области, а затем посмотрим несколько конкретных примеров. Рассмотрим непрерывный синусоидальный сигнал, определенный как х(г) = 81п(2л/;г).
(2-1) О. 888 (а) 0 ° -Ф Время -0.888 (Ь) ° -Ь Время .Рис. 2.1. Частотная неоднозначность: (а) дискретная последовательность значений; (Ь) две разные синусоиды, которые проходят через точки, соответствующие отсчетам дискретной последовательности 2. 1. Наложение; неоднозначность и едставления сигнала в частотной области 43 Этот сигнал х(») представляет собой искусственный синусоидальный сигнал, частота которого равна ), Гц. Теперь дискретизируем х(») с частотой /, отсчетов в секунду, т.
е. через равные интервалы времени длительностью», секунд, где »,= 1Д; . Если мы начинаем дискретизацию в момент» = О, то получим отсчеты в моменты времени 0»,, 1»,, 2», и так далее. Таким образом, согласно (2-1), первые п последовательных отсчетов имеют значения О-й отсчет х(О) = з(п(2л1,01 ) 1-й отсчет х(1) = з!п(2л1 11 ) 2-й отсчет х(2) = з!п(2л1„2»э) (2-2) и-й отсчет х(п) = яп(2л1 п1 ) Выражение (2-2) определяет значение и-го отсчета последовательности х(л) как значение исходного сигнала в момент времени и»,. Поскольку два значения синусоиды идентичны, если соответствующие значения аргумента разнесены на интервал, кратный 2л радиан т.
е., яп(ф) = яп(ф+2лт), где т — любое целое число, мы можем модифицировать (2-2) следующим образом: х(л) = яп(2ф;и»,) = яп(2л»;л», ч-2лт) = яп(2лЦ;+ т,»(п»,))л»,) (2-3) Если мы выберем т кратным л, т = (и, мы можем заменить отношение и/и в (2-3) целочисленной переменной й, так что х(п) — зш(2_#_(»р + IГ/» ) л» ) . (2-4) Поскольку/;= 1,»»,, мы можем приравнять последовательности х(и) в (2-2) и (2-4): х(л) = гйп(2л/; л», ) = з(п(2л(1О + ЙЯл», ).
(2-5) Следовательно, множители у„и (/;ч- lг~, ) в (2-5) дают одинаковый результат. Смысл (2-5) имеет критическое значение. Это выражение показывает, что последовательность цифровых отсчетов х(п), представляющая синусоиду частотой 1, Гц, точно так же представляет синусоиды с другими частотами, а именно ~, + Й1, . Это одно из важнейших соотношений в области цифровой обработки сигналов. Это нить, которой сшиты все схемы дискретизации. Словами смысл (2-5) можно выразить так: При дискретизации с частотой 1 отсчетов в секунду мы не можем различить дискретизированные значения сийусоиды частотой 1„Гц и синусоиды частотой (1„ + к» ) Гц, если х — любое положительное или отрицательное целое число.
Это действительно так. Никакая последовательность значений, хранимая в памяти компьютера, например, не может однозначно представлять одну и только одну синусоиду без дополнительной информации. Это положение в равной мере применимо к выходным отсчетам АЦП и к отсчетам сигналов, сгенерированных компьютерными программами. Дискретная природа любой последовательности значений приводит к тому, что эта последовательность представляет бесконечное количество разных синусоид. Формула (2-5) оказывает влияние на все схемы цифровой обработки сигналов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
