Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 7
Текст из файла (страница 7)
1.7. Соотношения вход-выход линейной системы: (а) блок-схема системы, где у(п) = -х(п)/2; (Ь) вход и выход системы прн подаче синусондального сигнала частотой 1 Гц; (с) при подаче синусоиды частотой 3 Гц; ((() при подаче суммы двух сннусондапьных сигналов с частотами 1 Гц н 3 Гц г Здесь мы допускаем использование отрицательно амплитуды, чтобы показать, что отсчеты выходного сигнала имеют знак, противоположный знаку входных отсчетов, не прибегая к понятию фазы — (прим. перев.) рисунка 1.7 (Ь) представляет частотный спектр выходной последовательности у((и), который показывает, что выходной сигнал содержит единственный тон с амплитудой — 0.5 и частотой 1 Гц'.
Далее, подавая входную последовательность х~ (и), представляющую собой синусоидальный сигнал частотой 3 Гц, на выходе получаем последовательность уз (и), как показано в центре рисунка 1.7 (с). Спектр выходной последовательности у2 (и), У2 (т), подтверждающий присутствие единственной синусоиды с частотой 3 Гц, показан в правой части рисунка 127 (с). Наконец — именно в этот момент проявляется линейность — если мы подаем входную последовательность хз (и), которая представляет собой сумму двух синусоид с частотами 1 Гц и 3 Гц, мы получаем выходную последовательностью (и), показанную в центре рисунка 1.7 (((). Обратите внимание на то, что уз (и) представляет собой поэлементную сумму у (и) иу2(и).
Рисунок 1.7 ((() показывает также, что спектр выходного сигнала Уз (т) есть сумма У((т) и У2 (т). Это и есть линейность. 34 Глава 1. Диск етные последовательности и системы 1.5.2. Пример нелинейной системы Легко показать, как нелинейная система дает выходной сигнал, не равный сумме у~ (и) и уз (и), когда у нее на входе хг (и) + хз (п). Простой пример нелинейной дискретной системы приведен на рисунке 1.8 (а), где выходной сигнал равен квадрату входного в соответствии с у(и)=[х(п)~ (1-16) Чтобы предсказать выходной сигнал в случае, когда на вход системы подаются простые синусоидальные сигналы, мы используем хорошо известные тригонометрические тождества и немного аналитических преобразований.
Используя форму уравнения (1-3), запишем синусоидальную последовательность с частотой/о = 1 Гц в виде х~(п) = яп(2л/о пг, ) = яп(2л 1 ° пг,) (1-17) Уравнение (1-17) описывает последовательность х~ (и) в левой части рисунка 1.8 (Ь). При подаче на вход последовательности х~ (и) выходная последовательность нелинейной системы у ~ (и) равна квадрату синуса частотой 1 Гц или уг(п) =[х~(п)[ =яп(2л 1 пг,)яп(2л 1 пг,) (1-18) Мы можем упростить выражение для уг (п) в (1-18), используя следующее тригонометрическое тождество: япа ° япВ = [сов(а — ф)1/2 — [сов(а ~-ф)]/2.
(1-19) Используя (1-19), мы можем у~ (и) выразить как уг(п) = [соз(2л 1 пг, — 2л 1 пг,)[/2 — [соз(2л 1.пг, ь2л 1 пг5Я2 = =сов(0)/2 — соз(4л 1 пг')/2= 1/2 — соз(2л 2 пг)/2, (1-20) что показано как положительная последовательность в центре рисунка 1.8 (Ъ). Так как, согласно (1-19), умножение двух синусоид приводит к появлению суммы (а ь р) и разности (а — р) частот, выходная последовательность у~ (и) будет представлять собой косинусоидальный сигнал частотой 2 Гц и амплитудой 0.5, сложенный с константой 1/2. Константа 1/2 в (1-20) интерпретируется как составляющая с частотой 0 Гц, что отражено в спектре Уг (и) на рисунке 1.8 (Ь). Мы могли бы проделать те же выкладки для последовательности хз (и) и установить, что выходная последовательность нелинейной системы уз (п) в этом случае будет содержать составляющие с частотами 0 Гц и 6 Гц, как показано на рисунке 1.8 (с).
Нелинейность системы становится очевидной, когда мы подаем на ее вход последовательность хз(п), образованную в результате суммирования синусоидальных сигналов с частотами 1 Гц и 3 Гц, как показано на рисунке 1.8 (д). Мы можем предсказать частотный состав выходной последовательности уз (и), используя алгебраическое тождество (а+Ь) =а +2аЬ-~Ь (1-21) где а и Ь представляют слагаемые входной последовательности. Из (1-19) следует, что член а в (1-21) приводит к появлению синусоидальных составляющих с частотами 0 Гц и 3 Гц, показанных на рисунке 1.8 (Ъ). Аналогично, член Ь дает 1.5.
Нск етные линейные системы 38 еще одну составляющую с частотой О Гц н синусоиду с частотой б Гц, показанные на рисунке 1.8 (с). Но член 2аЬ приводит к появлению в уз (и) синусондальных со- ставляющих с частотами 2 Гц и 4 Гц. Мы можем показать это аналитически, испо- льзуя (1-19) и выражая член 2аЬ в (1-21) как 2аЬ = 2 ° яп(2л ° 1 ° пт ) ° яп(2л ° 3 ° пт, ) = = [2соз(2л ° 1 ° пто — 2л ° 3 ° НС, ) 1/2 — ~2соз(2л ° 1 ° птр+ 2л ° 3 ° пт, ) )/2 = = соз(2л ° 1 ° п~, ) — соз(2л ° 4 ° пг, ) .
(1-22)' Внхсднсй сипсап у(п) = (х(п)) г (а) входной сигнап х(п) — 4Ы- У1(п) ага нуа оо а а а « 06 Оо « ° «« о ог « ' а ° «05 а «« а Р«ЯНОННВЬгааииоКЕНЬ« ° ' ор У, (и) .к ое гессе асане г а« т» а «ага «а а а Ч «а а о 1' 4 6 8 10 12 Н Ча ос ггцг о'~ о «нь оран (С) а „Н664 аа«ННГ. а -г у,(п) 41 ° ° е «а а » а а а а а а ° а а а а а « )Нйсранон Н)Н)ренин-~ а» Вре е Рис. 1.8. Соотношения вход-выход нелинейной системы: (а) блок-схема системы, где у(п) = (х(п)); (Ь) вход и выход системы при подаче с инусоидального сигнала частотой 1 Гц; (с) при подаче синусондального сигнала частотой 3 Гц; ((1) прн подаче суммы синусоидальных сигналов с частотами 1 Гц и 3 Гц 1 Первый член в (1-22) выглядит как соз(2лпс — блпс) = соз( — 4лп( ) = соч(--2л2псг).
Однако, т. к, косинус является четной функцией, т е соз( — а) = соз(ау, мы можем записать этот член как соз(2л2п(5). х,(п) чамра ° « (ь) о «ннннокон)«ннонинноое -0 5 «а -1 и а оре » ° х (и) 1~ ° х а 05. ° (с) О анойонгоннганнгонкон(о а а Ореи а « аа у (п) а «а а «и а » аа аа » а а « аа а «а а а «Нок»яо«НЬ«НОЬ«н)О~ ) 2 (пг) 1 05 ° а 1аа,а ° (а .«а»«аа«~ а 2 4 «6 10 12 14 Ч СП 1Гц) ~ "5(гп) 1 ° О а«та+а+а «гаага а а«раца. о О 5 1 2 ° 8 ю 12 14 час ога ггц1 Глава 1. Диск етные последоаательносм и системы Уравнение (1-22) говорит нам, что в уз (и) присутствуют две дополнительные составляющие, обусловленные нелинейностью системы: косинусоидальный сигнал частотой 2 Гц, амплитуда которого равна 1, и косинусоидальный сигнал частотой 4 Гц, имеющий амплитуду 1 и включенный в состав сигнала со знаком минус. Эти спектральные компоненты показаны в составе г'т (т) в правой части рисунка 1.8 (г().
Обратите внимание на то, что, когда на вход нелинейной системы подается сумма двух синусоид, выходной сигнал содержит синусоиды (см. (1-22)), которых нет в случае, когда каждое из слагаемых подается на вход системы отдельно. Эти дополнительные синусоиды появились в результате взаимодействия двух входных синусоид при выполнении возведения в квадрат. Это и есть нелинейность, условие (1-13) не выполняется.
(Инженеры в области электротехники и электроники хорошо знакомы с этим явлением как с интермодуляционны ми искажениями.) Хотя нелинейные системы трудно анализировать, они иногда используются на практике. Например, в работах 12], 13) и [4~ описывается их применение при построении нелинейных цифровых фильтров. Напомним еще раз: (1-13) и (1-14) утверждают, что выходной сигнал линейной системы при подаче на ее вход суммы отдельных сигналов представляет собой суперпозицию (сумму) отдельных выходных сигналов.
Они также требуют, чтобы выходная последовательность уг (и) зависела только от хт (и) и от характеристик системы и не зависела от другой составляющей входного сигнала х2 (п), т. е. чтобы отсутствовало взаимодействие входных сигналов х~ (и) и х2 (п) на выходе линейной системы. 1.6. Инвариантные во времени системы Инвариантная во времени система — это система, для которой задержка (или сдвиг) во времени входной последовательности вызывает эквивалентную временную задержку выходной последовательности. Помня о том, что п — просто индексная переменная, которую мы используем, чтобы отслеживать входные и выходные отсчеты, скажем, что система выдает на выход последовательность у(п) при подаче на вход последовательности х(п) или х(и) вызывает реакцию у(п) .
(1-23) Чтобы система была инвариантной во времени, для сдвинутой версии исходного сигнала х(п), х'(и) должно выполняться следующее соотношение: х'(и) = х(п+а) вызывает реакцию у '(и) = у(и+к), (1-24) где я — некоторое целое число, представляющее задержку в Й периодов дискретизации. Чтобы система была инвариантной во времени, условие (1-24) должно выполняться для любого целого 1' и для любой входной последовательности. 1.6.1. Пример инвариантной во времени системы Рассмотрим простой пример инвариантности во времени, показанный на рисунке 1.9.
Предположим, что исходная входная последовательность представляет собой синусоидальную последовательность единичной амплитуды и частотой 1 Гц, выходная последовательность обозначена каку(п), как показано на рисунке 1.9 (Ь). 1.б. Инва иантные во в емени системы Рассмотрим другую входную последовательность х'(и) вида х'(и) =х(и+4) . (1-25) (а) Входнои Сигнал х(п) В ходнсар риалу() =-х(п)22 у(п) \ 05 ° а ра» 05 69 22 25»а 25 22 26 22 50 -Оз аа»а 05 х(п) »»»а ° » 25 зз н гг зс (М 0»аи Ф Н Н4.Н Н НН Н О5 О 3 6 9 22 26 а а ар а ,1 *»а» а у'(п) 05 ° »р ! х'(л) зта 6» -т » зг 25 за 22 гз гг ," 4 — = —— 0 З 5 9 а а ар -О 5 » .,1 »а 22 55 26 22 26 22 и Вр» О' 1""' Рис. !.9. Соотношения вход-выход для инвариантной во времени системы: (а) блок-схема системы, для которой у(п) = -х(п)/2; (Ь) вход и выход системы при подаче синусоидального сигнала частотой ! Гц; (с) вход и выход системы при подаче синусоидального сигнала частотой 1 Гц, сдвинутого на четыре отсчета.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
