Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Возвращая переменной д значение 2згт/Л(, приходим к . (3-42) Х(в1) = ез(2лт/н)(ло(к — 1)М [з(п(2згзвК/2)]/[ззп(2згзв/2)], или Задержимся здесь на мгновение, чтобы вспомнить, куда мы движемся. Мы стараемся придать выражению (3-40) пригодную для использования форму, потому что оно является частью выражения (3-38), которое мы используем для вычисления Х(т) в (3-36) в нашем неустанном поиске понятного выражения для ДПФ прямоугольной функции.
Выражение (3-40) выглядит еще сложнее, чем (3-39), но мы можем упростить выражения в скобках. Согласно тождествам Эйлера яп(ф) = (езз — е зо)/21 (3-40) превращается в К вЂ” 1 ~ е зрд = е — зч(к- 1У2[2/з(п(дК/2)]/[2/з(п(д/2)] = Р=О 109 3.13. Д17Фп ямо гольных нкций Х(т) = е112ат/ьгйво(К 1)/2[ [з(п(лтК/]с~Я/[з(п(лт/КЯ (3-43) ядра Дирихле: Вот и готово.
Формула (3-43) представляет собой общее выражение для ДПФ прямоугольной функции, показанной на рисунке 3.24. Отсчеты Х(т) описываются комплексными выражениям, в которых отношение синусов дает амплитуду Х(т), а показатель степени экспоненты — фазовый угол Х(т)'. График множителя, содержащего отношение синусов в (3-43), представляет собой периодическую кривую на рисунке 3.25 (а), и, как и во всех представлениях М-точечного ДПФ, период Х(т) равен У. Эта кривая известна как ядро Дирихле (или совокупность наложенных функций ейпс) и подробно описана в литературе [10,13,14$ (Она названа в честь немецкого математика девятнадцатого века Петера Дирихле, который изучал сходимость тригонометрических рядов, используемых для представления произвольных функций.) Мы можем увеличить изображение этой кривой вблизи точки т = 0 и рассмотреть се более подробно на рисунке 3.25 (Ь).
Точки на этом рисунке напоминают нам, что ДПФ прямоугольной функции дает дискретные отсчеты, лежащие на кривой. Таким образом, когда мы выполняем ДП Ф, дискретный его результат является дискретизйрованной версией непрерывной кривой функции з(пс, показанной на рисунке 3.25 (а). Как мы покажем позже, в (3-43) нас в первую очередь интересует абсолютное значение, или модуль, ядра Дирихле. Этот модуль, ~Х(т) ~, показан на рисунке 3.25 (с). Мы впервые увидели график функции ейпс на рисунке 3.9 в разделе 3.8, где мы познакомились с утечкой ДПФ, и мы будем часто встречать эту кривую при изучении цифровой обработки сигналов. На данный момент нам известно всего несколько фактов, касающихся ядра Дирихле, которые необходимо помнить. Первое: ДПФ прямоугольной функции имеет главный лепесток, центр которого находится в точке ти = О.
Пиковое значение главного лепестка равно К. В этом пиковом значении заложен некоторый смысл, не правда ли? Отсчет ДПФ Х(0) равен сумме исходных отсчетов, а сумма К единиц равна К. Мы можем показать это более строго, вычислив (3-43) при т = О. Когда мы подставляем т = 0 в (3-43), возникает трудность, т. к. мы получаем выражение зш(0)/з1п(0), которое представляет собой неопределенное отношение О/О. Придется призвать на помощь высшую математику.
Используя правило Лопиталя, мы можем взять производную числителя и знаменателя (3-43), и после этого подставить и = 0 для определения пикового значения ядра Дирихле. Это выполняется слелующим образом [Х(т) [ о= (с1/с1т)Х(т) = [4з1п(лтК/йг)[/гтт[/[г1[в(п(лт/Х) 1/гтт) = =[сов(лтК/йг)/соз(лт/о1) [ [с1(лтК/с1)/Йт 1ДЙ(лт/М)/йт[ = [сох(0)/сов(0)[ ° (лтК/?у)/(лт/К1) = 1 К = К, (3-44) На рисунке 3 24, изображающем х(н), Убыло четным.
Если бы Убыло нсчстным числом, пределы суммирования в (3-35) были бы такими: — (М вЂ” 1)/2 < и я (?х'-1)/2. Использованиеис таких пределов суммирования привело бы нас точно к такому жс выражению для Х(т), как и (3-43). что и требовалось показать. (Мы могли бы быть сообразительнее и вычислить (3-35) при т = О, чтобы получить этот результат. Попробуйте сделать это, помня, что е' = 1.) Если бы значения ненулевых отсчетов были равны не единице, а некого торому Ао, то, конечно же, пиковое значение ядра Дирихле было бы равно АОК вместо К. Следующий важный момент, касающийся ядра Дирихле, который следует отметить — это ширина главного лепестка.
Первый ноль выражения (3-43) возникает на частоте, на которой аргумент числителя равен л, т. е. когда л)лК/Ат = л. Таким образом, значение т для первого нулевого отсчета равно ш„„,„„,„„„=лА/як =К/К (3-45) как показано на рисунке 3.25 (Ь). Таким образом, ширина главного лепестка равна 2Ж/К, как показано на рисунке 3.25 (с), и обратно пропорциональна К'. (е) т4-мтк т=мк Х(т)( (.о ° к « о.в Го««ней лепесток .
( ) о.4 о г « ° ° е « ° о «4-'ьч- «-и- «-н- «««- «««-«««- «-н- ° -в+4- ++4. -«м« -4.н«гмк пт Рис. 3.25. Ядро Дмрнхле: (а) периодическая непрерывная кривая, на которой лежат отсчеты Х(гп); (Щ значения отсчетов Х(гп) вблизи Гп = О; (с) модули (Х(гп) ( в окрестности Гл = О Посмотрите, главный лепесток на рисунке 3.25 (а) окружен рядом волн, которые называются боковыми лепестками, как на рисунке 3.25 (с).
Амплитуды этих 1 Это фундаментальное свойство преобразования Фурье. Чем уже функция в одной области, тем шире ее преобразование в другой области Ко о.в 0.6 0.4 (ь) 0 г о -ог Глава 3. Диск егное и еоб азованне Ф ье « ° «Щ «-к««.««««- ° «««- ° -н-~Г к«-т- «««-««и«-«-««а.
° .ф«е«км ° ° '. ° к О й ° .« т 3.13.ДПФп ямо гольных нкций к ь. ° а«« «« «« 11 яп) 0 в~ (в) 0 «««« ««а «а««««««««а а«а « )н+На«Н«а ««««а «а ° ° а« ° ««« а !ь -28 -24 -20 -16 -!2 -8 -4 0 4 8 12 16 20 24 28 82 Х!««1( ') 1 К=!! « -в в -20 -16 -12. « -4 0 4 "а 12 !6 20 О! (ь) 014«« Х!«««в (~) а 4 «12 16 24 28 а а а „° „-го „„-в ' «а 1+Н 2 +й+Н ~+Н44444 н«+)444, 28 -24 « -!6 -4 0 « « « Рис. 3.26. ДПФ прямоугольной функции: (а) исходная функция х(п); (Ь) действительная часть ДПФ х(п), Хгаа)(т); (с) мнимая часть ДПФ х(п), Х (гп) )глад Хотя Х „((т) и Х,, (и) могут сообщить нам все, что можно узнать о ДПФ последовательности х(п), об истинной природе спектра Х(т) легче судить, рассматривая его абсолютное значение (модуль).
Модуль спектра, рассчитанный боковых лепестков уменьшаются по мере удаления от главного лепестка. Но как бы далеко боковые лепестки ни удалялись от главного, их амплитуда никогда не становится в точности равной Π— и они представляют собой источник изрядной головной боли для специалистов по ЦОС. Боковые лепестки вызывают маскирование сигналов небольшой амплитуды мощными сигналами по соседству при спектральном анализе и создают определенные трудности при проектировании цифровых фильтров.
Как мы увидим в главе 5, нежелательные пульсации АЧХ в полосе пропускания и небольшое ослабление в полосе задерживания простых цифровых фильтров обусловлены боковыми лепестками ДПФ прямоугольной функции. (Для минимизации вредного влияния боковых лепестков, которые хорошо видны на рисунке 3.25, пришлось прибегнуть к проектированию и анализу окон, а также к разработке рекомендаций по их применению.) Продемонстрируем использование (3-45) на простом конкретном примере. Предположим, что мы вычисляем 64-точечное ДПФ прямоугольной функции, содержащей 64 отсчета, показанной на рисунке 3.26 (а).
В этом примере Ж = 64 и К = 11. В результате вычисления ДПФ этой последовательности мы получаем последовательность Х(т), действительная и мнимая части которой Х,((т) и Х,, (т) изображены на рисунках 3.26 ())) и 3.26 (с) соответственно. Рисунок 3.26 (Б) дает хорошую иллюстрацию того, что действительная часть ДПФ действительной последовательности обладает четной симметрией, а рисунок 3.26 (с) подтверждает, что мнимая часть ДПФ действительной последовательности обладает нечетной симметрией. ГлаваЗ.Диск егноеп еоб азоааниеФ ье 112 согласно (3-7), приведен на рисунке 3.27 (а), на котором хорошо видны главный и боковые лепестки. Как мы и ожидали, пиковое значение главного лепестка равно 11, потому что мы имеем К = 11 единичных отсчетов х(п).
Ширина главного лепестка, согласно (3-45), равна 64/11, или 5.82. Следовательно, первая положительная частота, на которой модуль уменьшается до О, лежит немного ниже отсчета дискретного спектра [Х(т) [, показанного квадратиками на рисунке 3.27 (а) с индексом и = 6. Фазовые углы спектра, определенные выражениями (3-6) и (3-8), показаны на рисунке 3.27, (Ь). 12 (Х(и)) ГО 8 8 8 2 » ° »»» 0 Щ»т»»~.+»28.~ »( Д -28 -24 -20 ° » »» (8) »» » »»»»»»»»» »» .+)+8»2»++»).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
