Мирошников М.М. Теоретические основы оптико-электронных приборов (1977) (1095911), страница 86
Текст из файла (страница 86)
337 (кривая 1), кроме того, необходимые Ф„,«6 сведения об этой характери/Т'~ стике могут быть получены из графиков на рис. 280 — 282. Легко убедиться, что относи! 1 тельная амплитудно-частот- Й ! ! ная характеристика опти«! «! !» мального фильтра соответствует спектру сигнала, т. е. !! она лишь назначительно ис- ! «! кажает его форму, так как уменьшение коэффициента передачи фильтра имеет место оЛг ««» «и го»о«ог для тех спектральных состав- 676 бдФ ляющих сигнала, относительный вклад которых меньше, вплоть до того, что коэффициент передачи равен нулю только на тех частотах, на которых сигнал отсутствует. Й то же время она существенно ослабляет шум, спектр которого на выходе фильтра соответствует спектру входного сигнала, т.
е. дисперсия шума резко уменьшается, так как на входе дисперсия белого шума бесконечно велика. для окрашенного (гипгрболичского) шума е (О =- «о«! «! амплитудно-частотная характеристика оптимального фильтра равна К.»»(О= Ко.!6(ОИ. В частности, для косинус-квадратного импульса имеем Ко ~~ ып(л~Р „) ~ К«! яппи,„! Го ~ (уф )(! — ~ Р ) ~ щ~о!нх ! (Рвх)« Обозначим я~1,„=- х, тогда Ко !я!п х~ Найдем х = х„при котором величина К„р1 (х) максимальна. Из выражения дК р,(~> К ~ (1 — ~ >-~-2*~В П вЂ” *'~~')' можно найти соР х = 4хЯ(хР— х~~)«+ 4хД, отсюда х = (5~6) л — 2,62, или Д„1,„= 0,83.
Следовательно, [К,„, (хПпа~ = Ко„! (хо) = — 1,636К~/(~фф,„); К р! (х) 0,6! [ 8!г1 х ! К Р! (хо) [! — МлР! Форма относительной амплитудно-частотной характеристики представлена на рис. 337 (кривая 2). В этом случае амплитудно- частотная характеристика «вынуждена» уменьшать спектральную плотность сигнала там, где она существенна — на низких частотах, а при )' = — 0 коэффициент передачи фильтра равен нулю. Это связано с необходимостью наилучшим образом подавить шум, так как при ~ 0 его спектральная плотность в ф- с э.
Следовательно, и в этом случае главная «обязанносты амплитудно-частотной характеристики оптимального фильтра — уменьшение уровня шума. 1.3. Фазо-частотная или фавовая характеристика Представим безразмерный спектр сигнала в виде уД) — — !у(Д)е"Ъ! ~, где ~ у Д) ~ — амплитудно-частотная характеристика спектра сигнала; гр„ (Π— фазовая характеристика спектра сигнала.
Комйлексный коэффициент передачи оптимального фильтра, в свою очередь, равен К,р, Д) -= ~К р! Д) ~ е'~" где ~ Кора ф ~ — — амплитудно-частотная характеристика оптимального фильтра; гру, (~) — — фазовая характеристика оптимального фильтра. Так как К Р~ (О = Ко (у* 9/в (ф е '~~"', то, учитывая, что у'(~) =уфф е ~'Рт~ ', можно найти К., В=К.(бЕИВ)е "'"+" "". Следовательно, фазовая характеристика оптимального фильтра может быть представлена в виде срл (О =- — 'р, й — 2п~Й..
Анализ полученного выражения показывает, что первое слагаемое его правой части — ц:,„(~) осуществляет компенсацию началь- ных фаз в спектре сигнала, т. е. фд каждая компонента спектра си~нала, имеющая фазу +гр„, (~), компенсируется фильтром. Если бы не второе слагаемое, то сложение всех составляющих спектра с нулевыми начальными фазами должно было привести к образованию пика сигнала в момент 1 =- О, поскольку именно при Г =- 0 и нулевых начальных фазах совпадают амплитуды всех гармонических составляющих спектра. Однако второе слагаемое — 2гц"г, сдвикаракгери- гает фазы гармоник пропорционально стики оптимального фильтра их частоте так что амплитуды всех ггь Д) и спектров еигиала иа его ,„„д, <~) гармоник совпадут в момент времени 1 =- 1„где и образуется пик сигнала. Фазовые характеристики спектра входного сигнала, фильтра и спектра выходного сигнала показаны на рис.
338. Фазовая характеристика спектра выходного сигнала равна Ч' "(О =-- Л(0+Ы0- — -Лй — гр,(Π— 244= — — 2Ф. Таким образом, если амплитудно-частотная характеристика оптимального фильтра в основном подавляет шум и лишь незначительно изменяет форму сигнала, то его фазовая характеристика совершенно не оказывает влияния на дисперсию выходного шума. в силу случайного характера фаз отдельных составляющих шума. но обвсавчивает максимизацию сигнала путем такого сдвига фаз гармоник, что это обеспечивает появление пика сигнала в момент времени 1 == 1,. ф 2. СИГНАЛ И ШУМ НА ВЫХОДЕ ОПТИМАЛЬНОГО ВИЛЬТРА Найдем выражения для сигнала и шума на выходе прибора с оптимальным фильтром, пользуясь представлениями о комплексном козффициенте передачи, амплитудно-частотной и фазовой характеристиках фильтра. Сигнал на выходе равен +оо и,(~) =:: ~ и,фе' ф.
Спектр сигнала ис (1) = Е-о В Ко () =- Е-о И К~ -~с Ч) где Е-о Щ =5ороФо~ ху®. При использовании оптимального фильтра т' ч) — ~~~и, К,В =Кор,й=-Ко -,, е е я~~ к„р я ~ т. е. т' У) — 'о и. ис. ор~ (й ФоГах~ор о~(оу Ч) * ° о е > е У)4К,'„У) ~' +СО и ~(1) = — Ф4 5 К ~ 1™ е+' ~~' ~'~ф 3 е я~~ К„(д ~о Поскольку +Ю р2.. ~ ~ ~7Й~ Д~ Ик'„„о ~' то максимальное значение сигнала на выходе оптимального фильтра, имеющее место при 1 = 1о, равно и =и (1)===ФЯ К.р~. с.
ор1 „о. ор$ ~ о) '= о про ого Входящие в полученное выражение величины имеют следующий смысл Ф, — поток излучения, падающий на приемник, когда оптическая ось сканирующего прибора точно направлена на цель (начало отсчета времени сканирования), З„ро — вольтовая чувствительность приемника для постоянной составляющей потока излучения о = афпг ~ р ()) ~-+о К вЂ” максимальное значение модуля коэффициента усиления электронного тракта прибора К, Я, являющееся коэффициентом пропорциональности в соотношении Кс(О =К -~о0).
К, — коэффициент пропорциональности в выражении для коэф- фициента усиления оптимального фильтра К ~ (О =- К вЂ” е — Рп)~ т'й е ().) (предполагается, что К;р (Д = Ц. Обозначив произведение ФоЯпроКо = и , , найдем 2 Ис. ор1 вв = ~с.,'ор~вРО Отсюда видно, что пиковое значение сигнала на выходе опти- 2 мального фильтра пропорционально ро и зависит только от энергии входного сигнала (форма входного сигнала не имеет значения).
Кроме того, с точностью до постоянного множителя коэффициент ро может трактоваться как максимальное значение сигнала на выходе оптимального фильтра при белом шуме. Найдем дисперсию шума на выходе оптимального фильтра. Так как независимо от спектрального распределения шума 2212. Иш — Ис. орФш ~)саэ и ор~ в - Ф 5пр ОКор~~ — ~. '.(1 ) ь'.УЖ. В~е УО) ~пр Ь) = — ~пр (1а) ~пр'О. то Е Чо) ~~ввэр (~0) Если обозначить ., Ко = и,р~„то ЕЩ 2~вв~пр (~о) 2 2 2 Иш ор$ = Иш пав'~М Отсюда следует, что коэффициент рво равен не только пику сигнала, но и с точностью до постоянного множители дисперсии шума на выходе оптимального фильтра. 5 Э. ИМПУЛЬСНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ОПТИМАЛЬНОГО ФИЛЬТРА Найдем импульсную функцию оптимального фильтра, представлякицую собой преобразование Фурье от его коэффициенте передачи; +ОО + При белом шуме +м К я=К ~ 'Ве~'~'-" д но т*й=т( — В следовательно, Знак перед интегралом не изменился, так как одновременно с изменением знака при ф изменились знаки у пределов интегрирования.
Так как + О т(0=~.. ~ тйе"""Ф + ОЭ р 1) = — 1 1 © ~-~п -4~,ц К,„~ ® = Кд(10 — ф1„. Относительная импульсная функции ~.хи И) — — 6..1К0) К.,к Ю является безразмерной величиной, а К,~~ (1) выражается в с '. Построение импульсной функции оптимального фильтра показано на рис. 339. Штриховая кривая у ( — 1) является зеркальным отображением заданного сигнала у (~) с осью ординат в качестве оси симметрии. Функция Т (~, — ~), сдвинутая относи- телыю у ( — 1) на величину 1„вправо, также зеркальна по отношению к исходному сигналу Ъ (1), но с осью симметрии, прохо дяп,ей через точку ~,/2 на оси абсцисс. Таким образом, импульсная функция оптимального фильтра при белом шуме имеет вид сигнала в обратном ходе времени со сдвигом на ~ .
Она сопряжена с сигналом, в связи с чем оптимальный фильтр называют иногда сопряженным или согласованньщ. Это с еще большей очевидностью следует из выражения для коэффициента передачи опгималь»»ого фильтра, который пропорционален у~ (Π— сопряженному спектру сигнала. Импульсная функция оптимального фильтра, установленного .в электронном тракте прибора, как и импульсная функция лю- А,р/О гщ бого четырехпол»осинка, должна отвечать следующим двум условиям, назы- гЮ ваемым условиями физиче- ской осуи»ествимости: при д ~ ~ 1 ~~ О функция Аор» (1) дол- жна равняться нулю, а при гоР— оа функция А„,» (г) должна стремиться к нулю. Рис. 339. построен»»е им»,ульсно»з функции Первоеусловие являет- оптимальною фильтра ся следствием того, что А,р»(~) представляет собой отклик фильтра на единичный импульс (дельта-функцию) в момент 1 =- О.
Поскольку отклик не должен опережать воздействие, необходимо, чтобы А„,» (1) = О при 1 -г. О. Эго условие совершенно не обязательно для оптических систем: единичный импульс в точке х„у, может дать отклик в любой точке х, у плоскости изображения. Так как Йор» (1) == у (1о — 1), первое условие означает, что ~о ) ~ик, если импульс начался при 1 ~ О. Действительно, в этом случае пока не закончился импульс, действующий на входе, невозможно собрать всю его энергию для обеспечения максимального отношения сигнала к шуму на выходе. Исходя из этого необходимо, чтобы длительность входного импульса была конечна, поскольку при 1„„= оо невозможно обеспечить 1о ~ 1и„. По существу, это есть уже второе условие физической осуществимости, в соответствии с которым при ~ — со функция А„р» (~) должна стремиться к нулю.
» Таким образом, из общих свойств импульсной функции следует, что применение оптимальной фильтрации возможно только для сигналов ограниченной длительности, т. е. для импульсных сигналов или ограниченной по длительности группы (пачки) импульсов.
Найдем сигнал на выходе оптимального фильтра, пользуясь импульсной функцией. По определению сигнал на выходе любого четырехполюспика представляет собой свертку сигнала на входе и импульсной функции. Пусть обобщенный сигнал, вырабатываемый безынерционным приемником, равен ~о(О = ('от(О. Тогда соответствующий ему электрический си~пал, действующий на входе схемы рис. 335, б, Е-е(~) = Ьвкл. х, х(4 Я -' е ~вкл. х. х(4у Яе где З„„ „, — крутизна цепи включения приемника в режиме холостою * хода, ~.(~) = ~ (;У)"'"~1' +ее е .
О) =- ~ е „(О е'"-"" ф; Е е ф = — - (~'О()) ~вол, х. хе ~'о = 4Фо- Так как ~лр О ~о'~вкл. х. хе то Е еф "=- Во~прот(е)> Е,(1) = — Е,у(К), Е-.:= — ФОЗл р о- Комплексный коэффициент передачи рассматриваемой схемы равен *(.(О=-к 'й (О причем при использовании оптимального фильтра ~'.(О = К р~(О. Следовательно, если импульсная функция оптимального фильтра равна .К,р1 (1), то четырехполюсник с коэффициентом передачи Кор~ Д) характеризуется импульсной функцией у (~) Ко ~вх Соответственно, хх(. (р ~~) до , р о + ~~) до (~~ (~ ~ и еох еох тогда Можно легко проверить правильность полученного результата, так как при 1 = 1, сигнал достигает максимума, величина которого нам известна. Между тем, из последнего выражения следует Е Кр и..„м~==,' ' 1 ч'(Г)а!'. но при белом шуме т.
е, что совпадает с ранее полученными выражениями для и„р~ Далее известно, что для детерминированного сигнала единичной амплитуды и конечной длительности у (1) автокорреляционная функция определяется выражением: Ф(т)= ~ М)7И вЂ” ')Лг'- Эта функция характеризует степень связи сигнала с его копией, сдвинутой по оси времени на величину т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
