Мирошников М.М. Теоретические основы оптико-электронных приборов (1977) (1095911), страница 85
Текст из файла (страница 85)
где А„— коэффициент формы импульса. Для прямоугольного 3 импульса А,„„= 1„для косинус-квадратного Й„= — — и т. д. Уравнение дальности при белом шуме э где р — отношение сигнала к шуму на выходе оптимальной системы, когда р, = р„а р == р. Чувствительность для малоразмерного У (Вт.ср ') и протяженного В (Вт.см '*ср ') источников излучения равна 4 р б Ео ~-~щ (1о) Го ~Ю 1 ~~~и~вх 4 1х ! 1 П,„Дто аЪ ~'З„~„ Следовательно, при белом шуме дальность действия и чувствительность прибора зависят от длительности импульса (скорости сканирования).
2. Для гиперболического шума в Д) =- 1Д~~ и +оо р'= — ~," ~ У11кОР'4- Поскольку спектр косинус-квадратного импульса равен т (О = (пР..И1 — (Р..)Ч. можно найти где +~о а1п~х х ' ~ ~х~1~ (х~12р х=~ф, . Интеграл,7, можно вычислить, разлагая дробь 1/(х 11— — (х/л)'Р1 на простейшие, что и выполнено Н.
С. Шестовым в книге <Выделение оптических сигналов на фоне случайных помех». Таким образом, можно найти о7, = 2,2п, следовательно, р~~ = 2,2лЯл'~о~, ) =- О,7/~о~,„, или Ро —— — 0,84/)~ЮГ~~. Уравнение дальности при гиперболическом шуме Е2 и 1т ДО Мо) 1 '18 18 м. м. мирошников Чувствительность для малоразмерного ! (Вт-ср 1) и протяженного В (Вт.см '-ср ') источников излучения равна 4 р Ь 1Р О (До) То .10 1, 18~оп В.=— 4 р 1 1 й„Фо) То Юб 1.1а~о~ Следовательно, при гиперболическом шуме дальность действия и чувствительносп прибора не зависят от длительности импульса (скорости сканирования). 3.2. Необходимое отношение сигнала н шуму В уравнения дальности и чувствительности входит коэффициент р, представляющий собой необходимое отношение максимума сигнала к среднеквадратическому значению шума на выходе усилителя.
Для оптимальной системы р принимает максимальное значение, равное р. Для нормального закона распределения вероятностей эту величину можно выразить через вероятности правильного обнаружения и ложной тревоги следующим образом. Вероятность обнаружения сигнала Р,оо равна вероятности того, что пик сигнала и, „, сложившись с выбросом шума и, превысит порог срабатывания порогового устройства и, т. е. Р„~„= Р (и, „+ и > ио). Очевидно, что Р(и, +и > ио) = — Р(и > ио — и, ).
Введем обозначения а= — и~~~ и~ =и/и,, у.= — идиш, р ==- и,„„/и, ~о= У Р тогда Роби Р (~ ~ ао) Для нормального закона Р ( . г,) =- О,5 (1 — Ф Ю1, где Ф (г ) .= —. ~~ е -*'~' сЬ вЂ” табулированный интеграл вероято ности Лапласа (рис. 277), Следовательно, Р.,„= — О,5 И вЂ” ф(у — рц, или Ф (у -- р) ==- 1 — 2Р,б„. Это же выражение можно получить более строго. Рассмотрим плотность распределения вероятностей ~> (и) случайной вели- чипы и —.
сечения случайной функции и (Е) — в момент Е == Хб, когда имеет место максимум (пик) сигнала. Если зто распределение подчиняется нормальному закону, то ~: (и) .== е 1/ 2лй 1'ак как напряжение шума на выходе усилителя не имеет постоянной составляющей, очевидна, что опа определяется сигналом, который в момент /, достигает максимального значения и, 11айдем вероятность того, что и > иб: 1 2 Р(и~и„)= — - ф(и)ди=- е ' И~. ~/ 2ли~ Обозначая, г„--: (и„— и)пт и г: — (и — и)/о; о --:=- ~$д-', найдем Р,б„— - — Р(г > го) = — 0,5(1 — Ф(гб)]„ гб =. (и — и)/а' = иб/о — и/а = иб/и„, — и, „/и„, =- у — р, у = иб/иш р = ис спах/иш~ следовательно, (у р) 1 2~ оба Пусть, например, Р,б„—— - 0,9, тогда Ф (у — р) = — 0,8„но Ф( — г,) = — Ф(я,), т. е.
Ф(р — у) =---0,8. По таблицам или графику находим р — у =-- 1,3, или р = 1,3 + у. Вероятность ложной тревоги Р, можно найти аналогичным образом, хотя далее будет дано несколько иное определение. Лействительно, в отсутствии сигнала, когда и = О, вероятность превышения уровня и, только шумом и равна Р,, =0,5 И вЂ” Ф(у)), или Ф (у) =-=- 1 — 2Р Если воспользоваться обратными функциями Лапласа Ф, можно найти Ф (1 — 2Р,) = у; Ф (1 — 2Р б„) "= у — р, 651 т. е Ф (1 — 2Р,6„) = Ф(1 — 2Р .
) — р. В оптимальной системе р = р,. Таким образом, мы можем определить величины у и р, т. е. порог ограничения и отношение сигнала к шуму, задаваясь значениями вероятностей обнаружения и ложной тревоги. Однако остается невыясненным один крайне важный вопрос: как часто в системе с порогом у будут иметь место ложные тревоги? Сле- довательно, нужно установить связь между порогом ограниче- ния у и временем между ложными тревогами 7'„,' при заданной вероятности ложных тревог Р,, При нормальном законе распределения среднее число выбросов шума в секунду за уровень и, равно: Ф(и0)=~,„е ~~( ); Ф(у)=~ е ~~, где ~„, = )l ф; ~,„— среднеквадратическое значение частоты шума; ~' — дисперсия частоты шума. Дисперсию частоты шума можно найти через спектральную плотность шума Е Д).
Действительно, спектральная плотность электрического напряжения шума представляет собой мощность шума, приходящуюся на единичный интервал частот Ии-, Еф= —. ф Очевидно, что эта величина (в нормализованном виде, т. е. Е ф/иЦ определяет плотность вероятности случайной величины 1' — ча- стоты шума, т. е. вероятность того, что ~ лежит в диапазоне ча- стот от 1 до ~ + ф. Чем больше Е (Д), т. е. чем большая диспер- сия Йи' приходится на элементарный интервал частот ото до ~ + + д~, тем больше вероятность наличия данной частоты ~ в общем шумовом спектре.
Следовательно, плотность вероятности случайной частоты шума равна ф(Д = Е ф/и, а дисперсия ~ Ге й Ф ~ Е Д И~ Так как относительная спектральная плотность шума а й =Е(Д/Е(Ц, то !" =) Р.в(04 Например, если белый шум, для которого в Д) = 1, действует в ограниченной полосе частот от О до ~„то ~в ~в ~.=1ы ~ м=иь, 1 = ~/Р =1,~1,7, что примерно равно средней частоте полосы пропускания ~„=~,/2. Так как среднее время между двумя выбросами шума Т =- ЦУ (у) = 1ф е-~'~) = — е~'~~Я„„ то у = ~12 1п (~ Т). Н. С.
Шестов определяет выброс шума как участок кривой и (1), на котором она идет выше уровня и,. При таком определении для выброса ха- ий).»и, рактерно наличие одного пересечения уровня и, с положи- и Ф<б тельным наклоном кривой (начало выброса) и одного — с от- и рицательным наклоном кривой (конец выброса). Это определе- 8 пие устраняет неточность, возможную при определении выброса как максимума кривой при условии, что этот максимум превысил порог и~, так как выброс может иметь несколько максимумов (рис. 336).
В этом случае им получено, однако, выражение для ц, точно совпадающее с приведенным выше, в котором ~~ имеет смысл среднего квадрата частоты выходного процесса. Далее необходимо установить связь между Т и произвольным, заранее заданным временем, в течение которого не допускается выбросов шума за уровень ио, временем Ложной тревоги Т Среднее число выбросов шума в течение произвольного времени Т , равно и = Т„.
У (у) = Т,)Т, т. е. Т = Т~,1п. Так как за уровнем и, (или у= аоги,„) появляются лишь редкие выбросы шума, то их распределение описывается законом редких явлений — законом Пуассона. Поэтому вероятность появления 1г выбросов шума за заданный уровень равна Когда й =- О, т. е. нет ни одного выброса, Р(0) е — п и ==- — 1п Р (О). Вероятность появления хотя бы одного выброса шума— вероятность ложной тревоги, в свою очередь, Р, =-- 1 — Р (0), следовательно, и = — 1п (1 — Р,), Т = Т,,«п =.-— Т .,~ — 1п (! — Р,„.,).
Окончательно получим у= «21п 1~ ТЦ'гг === 21п ", > х (/ у'в г0 Фг / г в й 4) ] Например, при Р„, = — 0,5 Т = Т„,~ — 1п (1 — 0,5) — — Т, „~1п 2== = 1,44 Т„,. Если Т ,' =- 15 ч == 5,4.10' с„ а ! =- 2000 Гц, то == 6,142 Следовательно, необходимое отношение сигнала к шуму для условий предыдущего примера, равно р = 1,3 + у =- 1,3 + + 6,142 = — 7,44. Напряжение срабатывания порогового устройства (порог ограничения) и0 = уи = 6,142и„„ и, „.=ри =7,44и„,.
Исследуем структуру оптимального фильтра, имея в виду, что Кор» (О = !К,„» (О! е'о'ьо«, где ! К,р» (О ! = К,р»(О = К,! р*(О!/е(Π— амплитудно-частотная (амплитудная) характеристика фильтра; «рд (Π— фазо-частотная (фазовая) характеристика фильтра. 1.2. Амплитудно-частотная характеристика Для белого шума е (О = 1 и амплитудно-частотная характеристика оптимального фильтра равна К.р»(О = Ко! т (О! =Ко! "г(О!. В частности, для косинус-квадратного импульса имеем оа (»»Г«о„) Кор«(О «!»«»о Ко| ~ р»(О=К «(О~Ко. Форма относительной амплитудно-частотной характеристики представлена на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
