Мирошников М.М. Теоретические основы оптико-электронных приборов (1977) (1095911), страница 87
Текст из файла (страница 87)
При т = О функция автокорреляции достигает максимума, равного полной энергии сигнала Мо) = ~ т' М') ~~'. Возвращаясь к выражению для сигнала и, (~), можно найти Е Кв (О =:" И~ ~о) ~вм где ~ (~ — 1~) — автокорреляционная функция входного сигнала единичной амплитуды для времени задержки т = 1 — 10. Таким образом, сигнал на выходе оптимальной системы с точностью до постоянного множителя совпадает с автокорретщион- ной функцией' входного сигнала.
Его можно всегда построить по заданной автокорреляционной функции $ (т) для ъ =- ~ — ~„. Естественно, что при т = О, т. е. 1 = — 10, когда +ОЭ ~ (О) = ~ 'у И') аг' — - г„„р', получаем максимальную величину сигнала 2 ис..р~„.,„- — — и, .р~ (Ь) = — (Е-, Кай~. ) 1., ро = 2 2 := Е, Коро = Фф„„ОКОЛО. Относительно импульсной функции оптимального фильтра необходимо сделать еще ряд замечаний, относящихся к общим свойствам электрических цепей. Выражение для вычисления сигнала на выходе четырехполюсника через его импульсную функцию +ФО и, (~) == ~ Е,(~') К, (~ — ~') М' может быть изменено с учетом условия физической осуществи- мости, в соответствии с которым К, (1 — 1') = О при 1' > 1, так как отклик не может опережать воздействия.
Следовательно, верхний предел интегрирования можно заменить на 1. Нижний предел интегрирования также может быть выбран конечным, если сигнал при достаточно болыпом отрицательном аргументе обращается в нуль. Обычно предполагается, что при аргу- менте 1 — Т, где Т вЂ” длительность исследуемой реализации, сигнал пренебрежимо мал. Следовательно, +М и,(1) = ~ Е,ЯК,(1 — ~')й'= — ~ Е,~1')К,(~ — ~')й'. — СО ~ — г Кроме того, часто производится замена переменных О = 1 — 1*, тогда ~.И) = — Е .И вЂ” О)К.(О)ИО Полученное выражение называется интегралом Дюамеля. Входящая в него импульсная функция К, (О) связана с комплексным коэффициентом передачи цепи К, Д) преобразованиями Фурье: +со + % Ке(О= — ~ К,(О)е '" "~1О; Кф(О) = ~ Ке(~)е"" 4.
Например, для апериодического ЯС-звена можно найти К, (Д = — 1/(1+ 12~~ЯС); .К (О) = 1ЦЯС)1е — о~ "с. Если сигнал задавать в виде Б о(1 — О) = Е оу (8 — О), то импульсная функция оптимального фильтра КОР1 (О) = (КО/К,„) 7 (го — О). з 4. СПОСОБЫ РЕАЛИЗАЦИИ ОПТИМАЛЬНОГО ФИЛЬТРА Математическое выражение для коэффициента передачи оптимального фильтра может быть настолько сложным, что высказать даже ориентировочные предположения о схеме фильтра крайне затруднительно.
В общем виде определить схему фильтра по заданному уравнению невозможно. Тем не менее, может встретиться ограниченное число случаев, когда выражение для коэффициента передачи оптимального фильтра распадается на ряд множителей простого типа, и фильтр синтезируется как последовательное соединение четырехполюсников, реализующих каждый множитель.
Существует два главных способа осуществления оптимальных фильтров: 1) создание линейного фильтра с сосредоточенными постоянными; 2) реализация оптимального фильтра в виде коррелометра. Рассмотрим эти способы. 4 .1. Оптимальный линейный фильтр с сосредоточенными постоянными Пусть сигнал Б о (Х) = Е оу (Е) представляет собой прямоугольный импульс, т. е. 1 при <~<~1,„/2, О при < ~ < > 1,„~2. Четырехполюсник, включающий в себя оптимальный фильтр, в этом случае должен иметь импульсную функцию Кор$ И) = Коьор~ ®.
Если то К р~Я (К4~.5КЫо — ~) Условие физической осуществимости при заданной форме входного сигнала имеет место при 1 ~ 1,„/2, так как в этом случае р(8о — г) =О для 1 ~0. Примем 1в = 1,„/2, т. е. будем считать, что сигнал на выходе оптимального фильтра достигает максимума сразу же, как закончился импульс на входе. В этом случае можно записать (1 при 0 ~ 1 ~ 1,„, ""'(~) У( ' ) ~0 при остальных 8. Вид импульсной функции А,р~ (1) представлен на рис.
340. Дальнейшая задача сводится к отысканию структуры физической цепи, обладающей импульсной функцией А „~ (1) б ах ! Ипуъская рункцкя Рис. 340. Оптимальный фильтр для выделения импульса прямоугольной формы на фоне белого шума: а — импульсная фупицня; б — функциональная схема; е — прохождение еди- нияного импульса нерва оптимальный фильтр Одна из возможных функциональных схем подобного устройства представлена также на рис.
340. При подаче на вход этой схемы единичного импульса электродвижущей силы 6 (~) на выходе первого элемента — интегратора развивается постоянное напряжение, начинающееся от момента поступления импульса 1 = О. Это напряжение постоянно и равно единице и, „„= ~ б(1)гМ=1 ° Напряжение и„„,, подается на вычитающее устройство ( — ) по двум каналам: непосредственно и через линию задержки На выходе вычитающего устройства получается напряжение в виде разности двух единичных скачков напряжения, сдвинутых один относительно другого на время 1„(рис.
340) В результате отклик рассматриваемой системы на дельта - функцию и, „, имеет вид импульса прямоугольной формы в соответствии с требуемой импульсной характеристикой. Найдем напряжение на выходе оптимального фильтра для прямоугольного импульса, действующего на входе. Автокорреляционная функция входного сигнала единичной амплитуды Для прямоугольного импульса ее можно легко найти графически, перемещая копию импульса относительно самого импульса вдоль оси времени и определяя для каждого положения копии, характеризующегося временем т, плок щадь взаимного наложения фигур.
Эга процедура показана на рис. 341. Если амплитуда импульса равна Е „а длительносгь Гв„то фун~ц~я автокорреляции ф (т) имеет вид равнобедренного треугольника с основанием 2Гв„и высотой, равной полной энергии импульса Е'.,Г,х. Если Е,= =1, то Е',Г„„== Г,х. Следовательно, в этом случае можно записать 2т+ 1,„при — Г, ~2<т< О, М') = Г,„— 2т при О < т < Г„„/2. Напряжение на выходе фильтра равно, соответственно, ио (Г) =- (Е, КД, ) 'ф (à — Го), Рис. 341. Сигнал на выходе оптимального фильтра дли входного оигнала иримоуголвной фориы где ~ (à — Го) есть автокорреляционная функция входного сигнала ~ (т) при т = 1 — Го.
Сигнал на выходе достигает максимума в момент времени Г == Г„=- Г„./2, т. е. сразу же, как закончился импульс на входе. Величина этого максимума а + а о ~КО Г 2 и ~~~ —:= Е,Коро = ' ) 7 (Г)сй = ГВХ = Е-,Ко = Фолио оКо. Этот результат легко понять, так как для прямоугольного импульса длительностью Г,„. ро = 1. Реализация изображенного на рис. 340 устройства, которое обеспечивало бы точное интегрирование и задержку входного сигнала без искажения его формы, практически неосуществима.
Можно, однако, получить достаточно хорошее приближение к требуемым свойствам при использовании реального интегрируюгцего устройства в виде КС-цепи с постоянной времени йС -== т .': ~„„. При действии единичного импульса на такую цепь напряжение на выходе является разностью двух экспонент (рис. 342) и может быть сделано достаточно близким к заданной импульсной характеристике. Критерием для оценки степени приближенности фильтра к оптимальному может служить отношение пика сигнала к среднеоптимпеьиого фиакра Рис.
342. Прохождение единичного импульса порез оптимальный фильтр и его приолижсиную реалиаациго в виде Йс-цепи (схема рис. 340): а — опти- мальный фильтр„б — КС-цепь квадратическому значению шума Р на выходе данного фильтра и сопоставление этого значения с р. Однако такие расчеты обычно достаточно сложны и для облегчения оценки степени оптимальности вычисляют отношение сигнала к шуму на выходе данного фильтра в тот момент времени, когда на выходе оптимального фильтра сигнал достигает максимального значения. Если сигнал на входе появляется в момент времени ~ == ~„ то максимум сигнала на выходе оптимального фильтра достигается в момент времени 1 =- 1, + 1а.
Для того чтобы обеспечить наилучшее приближение данного фильтра к оптимальному, его параметры следует выбрать так, чтобы 2 2 Р = — ие(~о+ Я(иш = — — шах. Исходя из этого критерия можно установить требования к импульсным и амплитудно-частотным характеристикам фильтров.
Пусть рассматриваемая нами система — тракт оптико-электронного прибора — характеризуется импульсной функцией К, (0). 19 И. М. Иярошпияов На вход системы в момент времени 1,. поступает сигнал Е „(1 — 1,.). Сигнал па выходе системы определяегся сверткой а. (Р) = 1 Е .ф — $,) — 63 К, (6) ЙО. В момент времени 1:=-- 1, + 1„когда оптимальный фильтр обеспечивает получение максимума сигнала, рассматриваемая система выдаст сигнал +СО и, (1,.
-1. 10) =- ~ Е, (10 — О) К, (О) д(). Нижний предел интегрирования в полученном выражении равен пулю в связи с тем, что при О О импульсная функция К, (О) = О. Поскольку Е „(Р.— О)-:=Е у(1.,— О)-. Е..— '" К„„,(О), 0 то е ~,„7 и. (1 + Ч =,~ ~ К и (О) К, (ОНО. Дисперсия шума на выходе усилителя рассматриваемой системы 2 Е~ До) я пш == ~ Кшви ~~шов ~пр (10) +СО ж., = 1 „, ~, Ф, и ~' Ф. Полагая, что инерционностью приемника в рабочем диапазоне частот можно пренебречь, т.
е. ~К;,Р(1) ~ = — 1 и Й„„Д,) = — 1, а шум — белый, т. е. в (1) = — 1, можно найти что следует из равенства Парсеваля, т. е. и~„== Е~ (10) ) К„(0) ИО. о рОВ В соотВстстВип с критерием получения максимума ф в момент раигосплсп Обеспечсгппо условия ~ !Ф,„, (О) — Фг„. (ОЦ'дО - — п1п1, то с этим множителем можно не считаться, так как он определяет лишь масштаб, а не форму импульсной функции. Следовательно, все расчеты, связанные с оценкой степени оптимальности фильтра, можно проводить, пользуясь относительной импульсной функцией А„(О).
Рассмотрим в качестве примера йС-фильтр, используемый вместо оптимального для выделения прямоугольного импульса па фоне белого шума. Импульсная функция оптимального фильтра в этом случае равна ~ и (О) = т (~о — О)* Если~ =-~„.,~2, то й„„~(0) =-1 при 0<0< 1„, и А„и(О) =О при О~ Импульсная функция ттС-фильтра А~„, (О) ==: 114КСЯ ео~(~с~, а ее относительное значение Й (О) .— е"-ад не> Постоянная времени 1тС-фильтра т = йС является единственным параметром, подлежащим оптимизации.
Полагая а, = 1~(ЙС) и составляя условие д — а,О 1 ° дО.= "е — 2аФЙО ( 1 е "МО, да~ о о 6 ~~ — аФ е — а,о ~Щ да~ можно найти трансцендентное уравнение 1+ 2а ~.„= — еМвх и методом последовательных приближений определить параметр а,„т, е. найти т = ЙС = 1/а~ = 1„„/1,256. т. е. условик> минимального различия импульсных функций оптимальной и рассматриваемой систем. Из этого условия следует, что если один из параметров рассматриваемой системы является просто множителем, например а, в выражении А, (О) .= аей„(О) =- аф„(О, а„с~„..., а,), Квадрат отношения сигнала к шуму н момент времени 1 — — Ео + Ун для рассматриваемой системы, выраженный в относительных (условных) единицах, равен ) Е.„,н))/„(Е) аЕ] 0 1)отн— е ~ Аое((О) 1д!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
