Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 74
Текст из файла (страница 74)
В ситуации а значение частотной выборки в полосе перехода находим из табл. 7.11— оно равно 0,4041. Следовательно, получаем такие выборки: 426 Глава 7. Разработка фильтров с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтров) 1.ЮОО 1,09Ю 1,9ЮО О,В пю й ' о,ыюа О.В9Ю - а,аюо о,е Озпи 0,09Ю о о,вюо а,оооо а 0,125 0,250 0,375 /(гп) а) О.кю х2х 107 0,125 0,250 0,375 0,500 Г)Ге) х2х 307 б) 1.2 1,9ХЮ О.В ООО - О.9ЯЮ О,В 000 О,б О,апю 0,2 0.2 0,0000 0.09Ю 0 0,125 0,250 0.375 0,500 0 0,125 0,250 О,Ы5 0,500 у)Г) х2х)07 «ях)аг в) г) Рис. 7.20. Часгогная харакгерисгика фильтра частотной выборки при следующих условиях: а) в по.
лосе перехода нег частотных выборок; б) одна выборка в поегсе перехода; в) две выборки в полосе перехода; г) три выборяи в поносе перехода Коэффициенты для этих задач приведены в четвертом и пятом столбцах табл. 7.12. Соответствующие частотные характеристики изображены на рис. 7.20, в и г.
Видно, что по мере увеличения числа выборок в полосе перехода амплитудная характеристика улучшается (с позиции неравномерности в полосе пропускания и полосе подавления) за счет увеличения ширины перехода или сглаживания характеристики. Альтернативный подход, ж)тарый можно использовать для улучшения амплитудной характеристики, — получить большое число частотных выборок, проводя дискретизацию через меньшие интервалы, вычислив импульсную характеристику с помощью формулы (7.21), а затем применив одну из рассмотренных ранее весовых функций, чтобы сократить фильтр до нужной длины. 7.7.1.2.
Автоматическая разработка фильтров частотной выборки Как отмечалось ранее, существуют таблицы оптимальных значений частотных выборок в полосе перехода (см., например, 115)), и эти таблицы широко используются для разработки фильтров частотной выборки. Если разработчик хочет создать фильтр, данных для которого нет в таблице, то с помощью линейной интерполяции можно получить приблизительные значения частотных выборок в полосе перехода. Однако зто 7.7.
Метод частотной выборки 427 Таблица 7.12. Коэффициенты нерекурснвного фильтра при различном числе выборок в полосе перехода Нет выборок в полосе перехода Две выборки Три выборки в полосе перехода в полосе перехода Одна выборка в полосе перехода Поскольку коэффициенты симметричны, представлена только первая вх половина. возможно не всегда, особенно если требуется большое число выборок в полосе перехода. Более того, информация в таблицах приводится не в том виде, к которому привыкли разработчики фильтров; например, не указываются края полос и неравномерность в полосе пропускания. Не так давно была разработана универсальная компьютерная программа, автоматизирующая многие аспекты разработки нерекурсивных н рекурсивных фильтров частотной выборки 13, 15).
По сути, в этой программе значения выборок в полосе перехода оптимизируются с помощью смешанного генетического алгоритма. Цель оптимизации — получить максимальное затухание в полосе подавления для данного набора спецификаций фильтра, Использованный подход тестировался на предмет соответствия табличным результатам, приведенным в литературе, и в калщом случае признавался равносильным или более удачным.
Кроме того, данная программа позволяет разрабатывать непротабулированные фильтры. Щ)43%617,,7.азэ Найдите оптимальные выборки в полосе перехода и соответствующие мээффициенты для фильтра нижних частот, согласно таким спецификациям: край полосы пропускания 0,143 (нормировано), край полосы подавления 0,245 (нормировано), число коэффициентов фильтра 49.
Решение Из спецификации следует, что число частотных выборок )э' = 49. Номера выборок, соответствующих краям полосы пропускания и полосы подавления, равны соответственно б и 12. Число выборок в полосе перехода М = 5. Следовательно, частотные выборки идеальной амплитудно-частотной характеристики имеют вид Л]0] = — 4, 9815884е — 02 Л]1] = 4, 1202267е — 02 Л]2] = 6, 6666666е — 02 Л]31 = 3 6487877е — 02 Л]4) = — 1, 0786893е — 01 Л]5) = 3, 4078020е — 02 Л]6) 3, 1889241е — 01 Л]7] = 4, 6666667е — 01 -1,3766696е — 02 -2,3832554е — 03 3,9729333е — 02 1, 2729081е — 02 -9, 1220745е — 02 -1,8619356е — 02 3,1326097е — 01 5,2054133е — 01 -5, 7195305е — 03 -7, 6781827е — 03 2, 3920000е — 02 2,5763613е — 02 -7,3701817е — 02 -4, 4185450е — 02 3,0552137е — 01 5,5216000е — 01 -4, 2282741е — 03 -7, 6031627е — 03 1, 8793332е — 02 2,8145113е — 02 -6, 6396840е — 02 -5, 2511978е — 02 3, 0183514е — 01 5, 6393334е — 01 428 Глава 7.
Разработка фильтров с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтров) -50 — -1ОО ш -!50 У 0,5 0,4 о,з о,з о,! -о,! а 0 1З П Н 25 20 ЗЗ Зг 41 45 М 6! Рис. 7.21. Интерполированная частотвал характеристика (панель о); коэффиииенты фильтра (панель 6). Неравномерность в полосе пропускания — 0,046 дБ; затухание в полосе подавления — 139,64 дБ; ширина полосы пропускаиия — 0,15,' пять выборок в полосе перехода; 49 иоэффипиентов фильтра.
Значения выборок в полосе перехода — 0,855456; 0,485507; 0,148961; 0,019693; 0,000644 Значения от Т, до Тз не заданы и находится в процессе оптимизации с помощью программы смешанного генетичесюго алгоритма. Результаты процесса оптимизации сведены на рис. 7.21. Хотя смешанный генетический алгоритм дает результаты, юторые несколью лучше„чем приведенные в литературе, его основное достоинство — возможность быстро получить коэффициенты непротабулированных фильтров. Причем в этом случае коэффициенты гораздо лучше тех, что получаются по схеме интерполяции.
Кроме того, так можно разрабатывать фильтры с большим числом выборок в полосе перехода. $;::7, 7,2",,'3 Рекурсивные фильтры частотной выборки Фильтры частотной выборки в рекурсивной форме значительно выгоднее вычисли- тельно, чем фильтры в нерекурсивной форме, если значительное число частотных выборок имеет нулевые значения.
Можно показать (см. пример 7.12), что передаточную функцию КИХ-фильтра Н(х) можно следующим образом записать в рекурсивном виде; Н() = ' Е ...„,„, -Н()Н(), ь=о (7.23) 7,7. Метод частотной выборки -л Н1(з) = Н(й) ьгл — 1' в=о Таким образом, очевидно, что в рекурсивной форме Н(л) можно рассматривать как каскад из двух фильтров: гребенчатого фильтра Н,(г), жггорый имеет Р/ нулей, равномерно распределенных на единичной окружности, и суммы Н фильтров с одним полюсом Нз(г), Нули гребенчатого фильтра и полюса однополюсных фильтров совпадают на единичной окружности в точках аь — — е' "~".
Следовательно, нули компенсируют полюса, и поскольку Н(з) не имеет полюсов, то это — конечная импульсная характеристика (КИХ). На практике конечная длина слова приводит к тому, что полюса Нз(з) располагаются ие точно на единичной окружности, так что они уже не уравновешиваются нулями и Н(к) становится потенциально неустойчивой бесконечной импульсной характеристикой (БИХ).
Проблем устойчивости можно избежать, дискрегизируя Н(з) на окружности радиуса г, который незначительно меньше единицы. В этом случае передаточная функция становится такой: 1 — т~з г' Н(к) гк ~~- 1 — тек "Ы!гк / — ' ь=а (7.24) Вообще, частотные выборки Н(к) — зто комплексные величины. Следовательно, непосредственная реализация уравнения (7.23) или (7.24) потребует комплексной арифметики.
Чтобы избежать этого усложнения, воспользуемся симметрией, присущей частотной характеристике любого КИХ-фильтра с действительной импульсной характеристикой 1з(п). Можно показать (см. пример 7.12), что для обычного частотно-избирательного фильтра с линейной фазовой характеристикой (четно-симметричная импульсная характеристика) уравнение (7.24) можно представить в виде 1 — г~з ~ Н(г) = х М ~Н()к) ~2 сов(2л/сск/Ж) — 2г соз[2лк(1 + сг)/Н! в ' Н(0) х !(7.25) + 1 — 2гсоз(2лй/Х)з ' +гзз з з-1 где ск = (Дг — 1)/2. При нечетном Н М = (Р/ — 1)/2, при четном Ж М = Н/2 — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
