Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Если Аг — нечетное, верхним пределом суммы является (Аг — 1)/2. Получающийся фильтр будет иметь частотную характеристику, которая в точности совпадает с исходной характеристикой в моменты выборки. В то же время, для разных моментов выборки характеристики могут сильно отличаться (рис. 7.16, в). Для получения хорошей аппроксимации частотной характеристики нужно взать достаточное число частотных выборок. Альтернативный фильтр (фильтр типа 2), построенный по принципу частотной выборки, получается, если выборки брать в точках /ь = (Й + 1/2)г',/Х, )с = О, 1,...,% — 1.
(7.18) Две схемы частотной выборки сравниваются на рис. 7.17. При данной спецификации фильтра оба метода дадут несколько отличные частотные характеристики. Задача раз- работчика — определить, какой фильтр лучше подходит для поставленной задачи. Н(1) = Н(2)= Н(3) = Н( 4) Н( 5) = Н(6) = Н(7) = Н(8) = Н(9) = Н(10) = Н(11) Н(12) = Н(13) = Н(14) = -О, 13614960Š— 01 О, 34793330Š— 02 О, 11140420Š— 01 О, 1666454ОŠ— 01 О, 12807 340Š— 01 -О, 33202110Š— 02 -О, 26167170Š— 01 — О, 42047790Š— 01 -О, 34767040Š— 01 0,55338630Š— 02 О, 75072090Š— 01 О, 15527810Е+ 00 0,21933680Е е 00 0,24378330Е Е 00 Полоса 1 О, 000000000 О, 078000000 1, 000000000 10, 500000000 О, 002604177 О, 022589730 Н(27) Н(26) Н(25) Н(24) Н(23) Н(22) Н(2Ц Н(20) Н(19) Н(18) Н(17) Н(16) Н(15) Н(14) Полоса 2 О, 152388500 О,Ь00000000 0,000000000 1, ООООООГЮО 0,027343860 — 31, 262770000 420 Глава 7.
Разработка фильтров с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтров) рд(и)) а) )л(а)( О 2 Я 6 И )о 12 Н а б) (Й(а)( а) Рнс. 7.1б. Понятие частотной выборки: а) частотнаа характеристика ндеакьното фильтра нижних чечни; 6) еыборкн идеально)о фильтра нижних частот, е) частотная характеристика фильтра нижних частот, выведенная из частотных выборок панели б -.Прьимйер'7,.9, 1. Покажите, что коэффициенты импульсной характеристики КИХ-фнльтра с линейной фазовой характеристикой, четно-симметричными коэффициентами при /ь) — четном можно выразить следующим образом: 1 Гл))'2-1 Ь(п) = — ~ ~~~ 2Н)(й) ~ соз(2яи(п — ск)/Ф] + Н(0) -Н~„, Решение 1. 1 Л)-1 /)(и) ~~) Н()с)е((зк()е) ь М ь=о (7.19) где а = (1() — 1)/2 и М(/с) — выборки частотной характеристики фильтра, взятые в точках )сл'./М. 2.
Требуется, чтобы КИХ-фильтр нижних частот удовлетворял следующим спецификациям: полоса пропускания 0-5 кГц, частота дискретизации 18 кГц, длина фильтра 9. Получите коэффищ(енты фильтра, использовав метод частотной выборки. 7.7. Метод частотной выборки 421 т 1Я-н и тизп н ю Тип 2, У- четное Тип 1, У- четное Рис. 7.!7. Четыре возыожные струкгуры выборки длл двух типов фильтров (изображены на юиплексноа паосюсти) 1 Л1-1 ]Н(Л)]е-12е ьтнеезел тгт Ф~ ь=о 1 лт-1 ]Н(Л)]Е12е(о-они Лг 1 те -1 — ] Н()с) ] сов]2л (и — гт)/)17] + з втц]2я(н — гт) /Лг] = 1 Ф-1 — ] Н(Л) ] сов [2я(ть — гт) /)'17], Лт а=о (7.20) поскольку Л(п) — целиком действительная функция.
В важном частном случае линейной фазовой характеристики Л(о) будет симметричной, так что можно записать 1 1ч72-1 Л(о) = — ~~~ 2]Н(Л)] сов]2я(н — гт)/ЛГ+ Н(0)], (7.21) Ж а=о Если ттг — нечетное, верхняя граница суммы — (Н вЂ” 1)/2. 2. Идеальная частотная характеристика изображена на рис. 7.18, а. Частотные выборки берутся в точках Йл',/Лт, т.е. с интервалом 18/9 = 2 кГц.
Итак, частотные выборки 422 Глава 7. Разработка фильтров с конечной импульсной карактеристикой (КИХ-фипьтроа] ]нрю] О 2 4 Ь В ьзкю цОю о,опю 0 03 И 0,250 0,575 0,500 0) 1тн) к~Винт Рис. 746. Идеальная частотная характеристика, на пьторой показаны точки выборки (панель а). Частотная характеристика фильтра, построенното по принципу чаплиной выборки (панель б) Таблица 7.16. Нерекурсивные коэффнпиенты КИХ-фильтра из примера 7.9 представлены следующим образом: )Н(]с)] =1 й = 0,1,2 0 Л=34 Используя уравнение (7.21) с верхним пределом (Н вЂ” 1)/2 и частотные выборки, получаем коэффициенты импульсной характеристики (см.
табл. 7.10). С помощью программы вычисления коэффициентов КИХ-фильтра по данным зна- чениям частотных выборок ([1Теас]тот, 2001)) получаем частотную характеристику фильтра, приведенную на рнс. 7.18, б. Видно, что филыр имеет плохую ампли- тудную характеристику, что вызвано резким переходом полосы пропускания (где ]Н(]с)] = 1) в полосу подавления (где )Н(/с)) = О). Л]0] = Л[1] = Л]2) = Л[31 Л[4) = о,впю й о,ьооо к о,аюо 7,2522627е — 02 -1, 1111111е — 01 -5, 9120987е — 02 3, 1993169е — 01 5,5555556е — 01 = Л)8) = Л[7) = Л[6) = Л[5) Л)4) 7,7. Метод частотной выборки о 2 4 6 а 1о 12 14 Пысса поыалсиал Полоса пролусканил Палаев осрсхола Рио 7.19.
Частотные выборки фильтра нижних частот, включал три выборки в полосе перехода. Примечание: поскольку амнлитуднал характеристика симметрична, показана только половина характеристики фильтра 7.7.1.1. Оптимизация амплитудной характеристики Описанная выше задача сродни задаче с прямоугольной весовой функцией. Напомним, что в методе вырезания можно пожертвовать более широкой полосой передачи для улучшения амплитудной характеристики. Чтобы улучшить амплитудную характеристику фильтров, полученных по принципу частотной выборки, можно отказаться от более широкой полосы перехода и ввести в пояосу перехода дополнительные частотные выборки.
На рис. 7.19 приведена типичная спецификация фильтра нижних частот с тремя частотными выборками в полосе перехода. Для фильтра нижних частот затухание в полосе подавления увеличивается приблизительно на 20 дБ для каждой частотной выборки в полосе перехода (15) с соответствующим увеличением ширины перехода: приблизительное затухание в полосе подавления (25+ 20М) дБ, приблизительная ширина перехода (М+ 1)Г./Р(.
Здесь М вЂ” число выборок в полосе перехода, тч' — длина фильтра. Значения выборок в полосе перехода, которые дают оптимальное затухание в полосе подавления, определяются через процесс оптимизации (15). Полезной целью оптимизации является поиск значений выборок в полосе перехода, Т„Т2,...,Тм, которые минимизируют максимальную неравномерность в полосе перехода (т.е. максимизируют затухание в полосе подавления). Математически это можно сформулировать так: минимизировать Тз, Т„..., Т плах ) Ил(Нс(ы) — Н(ьл)) ! (7.22) (ы принадлежит полосе подавлении) где Нп(ол) и Н(щ) — идеальная и реальная частотные характеристики фильтра соответственно; И' — весовой коэффициент.
В работе [15) приводится таблица оптимальных (согласно уравнению (7.22)) значений частотных выборок в полосе перехода, причем этн значения довольно широко используются на практике. Пример оптимальных значений выборок в полосе перехода приведен в табл. 7.11 для 1"7 = 15.
В этой таблице ысирпной полосы называется число частотных выборок в полосе пропускання фильтра. 424 Глава 7, Разработка фильтров с конечной импульсной характеристикой (КИХчрильтров) Таблица 7.11. Оптимальные частотные выборки в полосе перехода дпя фильтров нижних частот типа 1, полученных методом частотной выборки для М = 15 (адаптировано нз [151) ШП Затукеине в полосе подавления (дБ) Т1 Та Та Одна выборка в полосе перехода, )Ч = 15 42,309 322 83 41,262 992 86 41,253 337 86 41,949 077 13 44,371 245 38 56,0!4 165 88 Две выборки в полосе перехода, 51 = 15 70,605 405 85 69,261 681 56 69,919 734 95 75,511 722 56 103,460 783 00 Три выборки в полосе перехода, Ф = 15 94,61! 661 91 104,998!30 80 !14,907 193 18 157,292 575 84 0,433 782 96 0,417 938 23 0,410 473 63 0,404 058 84 0,392 681 89 0,357 665 25 0,095 001 22 0,103!98 24 0,100 836 18 0,084 074 93 0,051 802 06 0,589 954 18 0,593 571 !8 0,589 432 70 0,557 !53 12 0,499!74 24 0,668 976 13 0,659 5!5 26 0,647 1!2 64 0,601 8!1 54 0,014 550 78 0,010 009 77 0,008 734 13 0,003 787 99 О,!84 578 82 0,173 607 13 0,163 973 1О О,!23 939 63 В данном контексте ширина полосы (ШП) — это число частотных выборок в полосе пропускаиил, О, 250 < Т, < О, 450; для двух частотных выборок в полосе перехода 0,040 <Т, < 0,150, 0,450 <Тз < 0,650; для трех частотных выборок в полосе перехода 0,003 <Т, < 0,035, 0,100 <Тз < 0,300, 0,550 <Тз < 0,750.
Более низкие значения используются в фильтрах с более широкими полосами и дают большее затухание в полосе подавления. В большинстве случаев значения частотных выборок в полосе перехода обычно принадлежат следующим диапазонам: для одной частотной выборки в полосе перехода 7.7. Метод частотной выборки 425 фиВфр~фЫ" 1. Пятнадцатиточечный КИХ-фильтр с линейной фазовой характеристиюй представлен следующими частотными выборками: )Н(1с)! =1 )т = 0,1,2,3, 0 и =4,5,6,7. Предполагая, что частота дискретизации равна 2 кГц, определите частотную характеристику.
2. Сравните частотную характеристику фильтра, если а) используется одна частотная выборка в полосе перехода; б) используются две частотные выборки в полосе перехода; в) используются три частотные выборки в полосе перехода. Решение ~Н(Й)) =1 )к = 0,1,2,3, 0,40406 )с = 4, 0 Й=5,6,7. Вводя зги частотные выборки в программу, вычисляем юзффициенты фильтра (сведены в табл. 7.12). Соответствующая частотная характеристика приведена на рис. 7.20, б.
В ситуации б и е частотные выборки определяются аналогичным образом: ~Н()с)~ =1 О, 5571 Й = О, 1, 2, 3, Й=4, О, 0841 й = 5, 1=6,7, й = 0,1,2,3, 1=4, к=5, 1=6, )с = 7. (Н()т)) =1 О, 6018 О, 1239 О, 0038 1. Вводя частотные выборки в программу разработки йкеаатар. с (см. приложение), получаем юзффициенты фильтра, которые приведены в столбце 2 табл. 7.12. Соответствующая частотная характеристика приведена на рис. 7.20, а. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
