Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 69
Текст из файла (страница 69)
7.6.2.' Метод взвешивания: резюме ° Этап 1. Задать "идеальную" или желаемую частотную характеристику фильтра Нр(ы). ° Эеал 2. Получить импульсную характеристику )лп(п) желаемого фильтра, найдя для этого Фурье-образ частотной характеристики (формула (7.6, б)). Выражения для йп(п) стандартных частотно-избирательных фильтров приведены в табл. 7.2. ° Эгиаа 3. Выбрать весовую функцию, которая удовлетворяет требованиям к полосе пропускания или затуханию, а затем определить число коэффициентов фильтра, использовав подходящее выражение для связи длины фильтра с шириной перехода, Ь Г (записываются через частоту дискретизации).
где А = — 2018(д) — затухание в полосе подавления, 5 = пйп(5„, 5,), поскольку нерав- номерности в полосе пропускания и полосе подавления приблизительно равны, 5,— желаемая неравномерность в полосе пропускания, а 5, — желаемая неравномерность в полосе подавления.
Число коэффициентов фильтра И подчиняется зависимости 398 Глава 7. Разработка фильтров с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтров) ° Эшал 4. Получить значения выбранной весовой функции ш(п) и значения коэффициентов реального КИХ-фильтра Ь(п), умножив Ьр(п) на ш(п): Ь(п) = Ьр(п)ш(п), (7.12) Очевидно, что метод вырезания — это прямолинейный метод, включающий минимум вычислений. В действительности при таком подходе коэффициенты можно вычислить с помощью карманного калькулятора.
Впрочем, существуют и компьютерные программы вычисления Ь(п), но следует отмеппь, что фильтр, полученный описанным способом, не является оптимальным, т.е, во многих случаях иные методы позволяют получить аналогичный фильтр с меньшим числом коэффициентов. Пример 7.3 С помощью метода взвешивания вычислите коэффициенты КИХ-фильтра нижних частот, который удовлетворяет следующим спецификациям: граничные частоты полосы пропускания 1,5 кГц, ширина полосы перехода 0,5 кГц, затухание в полосе подавления >50 дБ, частота дискретизации 8 кГц. Решение Используя табл.
7.2, выберем Ьр(п) для фильтра нижних частот: Ьр(п) =2/, ', и~О, в)п(пш,) пш, Ьр(и) = 2/„п = О. Из табл. 7.3 следует, что требованиям к затуханию в полосе подавления удовлетворяют функции Хэмминга, Блэкмена или Кайзера. Для простоты выберем функцию Хэмминга. Тогда 3/ = О, 5/8 = О, 0625. Поскольку М = 3, 3/Ь/ = 3, 3/О, 0625 = 52, 8, положим )т' = 53, и коэффициенты будут равны Ьр(п)ш(п), — 26 < и < 26, где 2/ в)п(иш„) п ф 0 пш Ьр(п) = 2/„и = О, ш(л) = 0,54+0,46сов(2лп/53), -26 < и < 26.
7.5. Метод взвешивания 399 Вследствие эффекта смазывания характеристики фильтра, вводимою весовой функци- ей, частота среза получагопзегося фильтра будет отличаться от представленной в спе- цификации. Чтобы учесть этот эффект, используем /„— центр полосы перехода; Д = /, + Л//2 = (1,5+ 0,25) кГц = 1,75 кГц — 1,75/8 = 0,21875. и = 0; Ьр(0) = 2/, = 2 х О, 21875 = О, 4375 ш(0) = 0,54+ 0,46соя(0) = 1 Ь(0) = Ьр(0)ш(0) = 0,4375 2 х О, 21875 и = 1: Ьр(1) = ' яш(2к х 0,21875) 2к0,21875 ягп(360* х 0,21875) ш(1) = 0,54+ 0,46соя(2я/53) = 0,54+0,46соя(360'/53) = 0,99677 Ь(1) = Ь( — 1) = Ьр(1)ш(1) = О, 31118 Ьр = ' я1п(2 х 2я х 0,21875) 2 х 0,21875 2 х 2я х О, 21875 п=2 = 0,06013 гйп(157,5') 2я ш(2) = О, 54+ О, 46 соя(2гг х 2/53) = 0,54+ 0,46соя(720'/53) = 0,98713 Ь(2) = Ь( — 2) = Ьр(2)ш(2) = 0,06012 п = 26: пр(26) = ' гйп(26 х 2гг х 0,21875) 2 х О, 21875 = -0,01131 ш(26) = О, 54+ 0,46 соя(2гг х 26/53) = = 0,54+ 0,46соя(9360'/53) = 0,08081 Ь(26) = Ь( — 26) = Ьр(26)ш(26) = — 0,000914 Поскольку Ь(и) — симметричная функция, вычислить требуется только значения Ь(0), Ь(1),..., Ь(26), а остальные можно получить из условия симметрии.
400 Глава 7. Разработка фильтров с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтров) Таблица 7.4. Коэффициенты КИХ-фильтра из примера 7.3 (М = 53, функция Хэммннта, У, = 1750 Гц) Обратите внимание на то, что индексы коэффициентов пробегают значения от -26 до 26. Чтобы фильтр был причинным (необходимое условие реализации), к каждому индексу было прибавлено 26, так что новая нумерация начиналась с нуля.
Коэффициенты фильтра с указанными индексами приведены в табл. 7.4. Из спектра фильтра (не показан) следует, что спецификация удовлетворяется. ".)25[[55(кй~,'7А," Требуется, чтобы КИХ-фильтр удовлетворял следующим спецификациям: полоса пропускания 150-250 Гц, ширина полосы перехода 50 Гц, неравномерность в полосе пропускания О,! дБ, затухание в полосе подавления 60 дБ, частота дискретизации 1 кГц. Определите коэффициенты и спектр фильтра, используя метод вырезания. Л[О] = Л[ Ц = Л[2) = Л[3) = 5[4) = 5[5) = Л[6) = 5[7) = 5[8) = 5[9) = 5[10) = Л[1Ц Л[12) 5[13] = 5[14) = 5[15) = 5[16) Л[17! 5[18) = 5[19) Л[201 Л[2Ц Л[22) = Л[2з) 5[24] = Л[25) = 5[26' = -9, 1399895е — 04 2, 1673690е — 04 1, 3270280е — 03 3, 21 383 55е — 04 -1, 9238177е — 03 -1,4683633е — 03 2,3627318е — ОЗ 3,4846558е — 03 -1, 9925839е — 03 -6,2837232е — 03 4,5320247е — 09 9,2669460е — 03 4, 3430586е — ОЗ -1,1271299е — 02 -1, 1402453е — 02 1, 0630714е — 02 2, 0964392е — 02 -5,2583216е — 03 -3,2156086е — 02 — 7, 5449714е — ОЗ 4, 3546153е — 02 3,2593190е — 02 — 5, 3413653е — 02 -8,5682029е — 02 6,0122145е — 02 3,1118568е — 01 4,3750000е — 01 = 5[52 = Л[5Ц = 5[50) Л[49) = 5[48) = а[47) = Л[46) = 5[45) = 5[44) Л[43] 5[42] = Л[4Ц = 5[40) Л[зв] = 5[38) = 5[37) = 5[36] = л[зз) = Л[34] 5[33] = 5[32) Л[ЗЦ = 5[30) = 5[29) = 5[28) 5[27) = 5[26! 401 7.5.
Матсд взвешивания -ао -ао -!00 -120 о ОЭ 25 0,25 0,375 0,5 ЛПО ~от Рис. 7.0. Спектр фильтра (пример 7.4) Решение Из спецификации следует, что неравномерность в полосе пропускания и неравномерность в полосе подавления равны: 2018(1 + бл) = 0,1 дБ, откуда бе ее 0,0115 — 20 18(5,) = 60 дБ, откуда б, = О, 001. Следовательно, б = гптп(60, 6,) = О, 001. Требования к затуханию можно удовлетворить только при использовании функции Кайзера или Блэкмена. Для функции Кайзера число коэффициентов фильтра равно А — 7,95 60 — 7,95 14, 362эг' 14, 36(50/1000) )'т" > ' — ' — 72,49.
Пусть 257 = 73. Параметр неравномерности выражается следующим образом: 23 = 0,1102(60 — 8,7) = 5,65. Значения 257 = 73 и 23 = 5,65 используются как вход программы мйпбон. с (см. приложение), на выходе которой получаются значения ш(52), идеальная импульсная характеристика 72р(о) и коэффициенты фильтра. Чтобы учесть эффект смазывания, при вычислении идеальной импульсной характеристики использовались частоты среза /,2 — Ь//2 и /,2+ Ь//2, т.е. /„= 125 Гц н /,2 — — 275 Гц соответственно. Коэффициенты фильтра представлены в табл. 7.5, а спектр фильтра изображен иа рис. 7.8.
При использовании функции Блэкмена число коэффициентов фильтра оценивается как Ж = 5, 5/25/ = 5, 5/(50/1000) — 110. 402 Глава 7. Разработка фильтров с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтров) Таблица 7.5. Коэффициенты фильтра Кайзера [пример 7.4) Коэффициенты фильтра для функции Блэкмена не приводятся из соображений экономии места.
Очевидно, впрочем, что функция Кайзера эффективнее функции Блэкмена с точки зрения числа коэффициентов, требуемых для соответствия тем же спецификациям. Вообще, по этому пункту функции Кайзера эффективнее и других весовых функций. Пример 7.б Используя функцию Кайзера, получите коэффициенты КИХ-фильтра с линейной фазовой характеристикой, который удовлетворяет следующим спецификациям амплитудной характеристики: И 0(= И,'Ц= 6(2) = 613)= 6[4,'' = 6[5. = 6(б) = 6(7( = 6[8) = 6(9( = 6(10,', = 6[11, '= 6[12) = И(13:, ,= И)14) = 6(151 = И(15! = 6(17( = 6[18( = 6(19( = 6[20) = 6(2Ц = Ь(22) = 6(23) = 6(241 = И(25)1 = 6[гб, '= 6(27( = И(28( = 6(291 = 6[30) = 6(ЗЦ = И(32) = 6[33) = 6[34) = 6[35'„= 6[301 = — 1,0827330е — 04 -3,9118142е — 04 -7,55б1829е — 05 -1, 3895577е — 04 — б, 812201 Зе — 04 5,0929290е — 04 2,3413494е — 03 8,0280013е — 04 -1, 7031б35е — 04 -Ь, 503495бе — 04 -4,9912488е — 04 — 4, 4038355е — 03 -2, 153985бе — 03 8,9094151е — 03 б,б087599е — 03 -1, 8445200е — 03 4,5229777е — 09 2,18900ббе — ОЗ вЂ” 1,1720511е — 02 -1,837772бе — 02 8,8804519е — 03 1,8882837е — 02 2.9058601е — 03 4,392528бе — 03 1,8839744е — 02 -1,2481155е — 02 -5,2083428е — 02 — 1,8557375е — 02 3,3298453е — 02 1, 0439025е — 02 9, 4320244е — ОЗ В, 5873829е — 02 4,5314758е — 02 -1,8857147е — 01 -2,0бб9512е — 01 8,9135544е — 02 3,0000000е — 01 = 6(72) = 6[7Ц = И[70,' = 6(891 = 6[88( = Л[б7) = 6[бб( = 6[85) = И(ВЦ = 6(ВЗ) = И(52] = 6[ВЦ = 6[ВО) = 6[59( = 6(58( = 6(57) = 6[58) = И[551 = 6[541 = 6(53( = 6(52( = 6[5Ц = 6[501 = 6[49) = 6[48,' = 6(47( = 6[481 = 6(45( = 6[44( = 6[431 6[42' = 6[4Н = 6(40) = 6(39) = 6(38) = 6(зц = И[ЗВ', 7.5.
Метод взвешивания 403 затухание в полосе подавления 40 дБ, неравномерность в полосе пропускания 0,01 дБ, ширина перехода 500 Гц, частота дискретизации 10 кГц, идеальная часюта среза 1200 Гц. Решение Из спецификации получаем 20 !8(! + 6») = О, 01 дБ, откуда 6» = О, 00115 — 20!8(6,) = 40 дБ, откуда 6, =0,01. Поскольку в методе вырезания неравномерность в полосе пропускания равна неравномерности в полосе подавления (так как их нельзя задать по отдельности), используем меньшую из неравномерностей: 6 = 6, = 6„= О, 00115.
Это означает, что затухание в полосе подавления больше, чем фактически необходимо; вэтом случае — 20!к(0,00115) = 55,8 дБ. Из формулы (7. ! 1) получаем число требуемых коэффициентов фильтра: А — 7,95 58,8 — 7,95 14, 36Ь7' 14, 36(500~10000) Если бы использовалась заданная в спецификации величина 40 дБ, )т' было бы равно 45. Итак, требование, чтобы 6 было равным 6, (условие использования метода взвешивания) привело к увеличению необходимого числа коэффициентов фильтра. Параметры неравномерности вычисляются на основе уравнения (7.10): )7 = 0,5842(58,8 — 21)ее + 0,07886(58,8 — 21) = 5,48.
Коэффициенты КИХ-фильтра получаются из соотношения 5(п) = Ьр(п)ш(п), где )гр(п) = 2~, ',и ~ 0 п~ ~» йр(п) = 21„п = 0 (из табл. 7.2), а ш(п) представлено в уравнении (7.9). Как обьясиялось выше, частота среза„7'„используемая для вычисления !т(п), отличается от той, что дана в спецификации, поскольку это позволяет учесть эффект смазывания, характерный для метода взвешивания.
Выберем в качестве 7", середину полосы пропускания: Д = 1200 + Ь Г"/2 = 1450 Гц. 404 Глава 7. Разработка фильтров с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтров) Далее в программе из.пс(ои, с (см, приложение) используются следующие парамет- ры фильтра: частота среза 1450 Гц, параметр неравномерности, ]7 5,48, число коэффициентов фильтра 71, частота дискретизации 1О кГц. Полученные коэффициенты фильтра представлены в табл. 7.б, а спектр фильтра изображен на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
