Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 70
Текст из файла (страница 70)
7.9. Таблица 7.6. Коэффициенты фильтра, полученного с помощью функции Кайзера (пример 7.5) 6)01 = 6( Ц, := 6(2] = 6(З( = 6(4': = 6[5( = 6[б(= 6[7]= 6[81 = 6[91 = 6(10) -" 6[1Ц = 6[12) = А(13] = 6[14] 6(15) = 6(1б) = 6(17( = 6[18( = Ь(19] = 6(га) = 6[2Ц = 6(22) = 6(23) = 6124] = 6[25( = 6[281 = 6[27; = 6[28( = 6[29) = 6(30) = 6[31) = 6[321 = 6[33( = 6 [34( 6[35( = 9,84701бзе -1, 3972411е -4,5442489е -4, 8758977е 2, 8173985е 8, 8853847е 1,2987984е 5,1588894е -1,0445340е -2,4848844е -2, 1059775е 4,4371801е 3,5954580е 4,5528895е 1 5922295е - 3, 890482 0е -7,8398152е -5,8081945е 2,2010888е 1,0450148е 1,1780002е 2,8239875е — 1, 1380549е -1, 983185бе -1,2855935е 8,0081777е 2,818278!е 2,9474031е 3,872489бе - 3, 5942288е -5, 9758794е -3, 7113570е 4,137802бе 1,5291289е 2,5100532е 2,9000000е — 05 — 04 — 04 — 04 — 05 — 04 — ОЗ вЂ” 04 — ОЗ вЂ” 03 — 03 — 04 — 03 — 03 — 03 — 03 — 03 -аз — 03 — 02 — 02 — 03 — 02 — 02 — 02 — Оз — 02 — 02 — 03 — 02 — 02 — 02 — 02 — 01 — 01 — 01 = 6[70) = 6[89) = 6(88) = 6[87] = 6(бб) = 6[55( = 6[б4) = 6(ОЗ( = 6[82) = 6(бЦ = [] 6[59( = 6(58] = 6(57) = Ь[58) = 6(55( = 6[54] = 6[53) = 6(52) = 6[5Ц = 6[50) = Л(491 = 6[48) = 6[47', = 6[48] = 6[45( = 6[441 = 6[43) = 6(42) = 6(4Ц = 6(401 = 6(39( = 6(38) = 6[37) = 6[35) = 6[35] 7.6.
Оптимизационные методы 406 -20 0,500 к на 0 125 о 0.250 0.375 Лпа) Рис. 7.9. Спектр фильтра, пплуиеннатп с ппмапьме функции Кайзера (пример 7.5) ","""'7:;:6.3,'~~ Плюсы и минусы метода взвешивания ° Важным достоинством метода взвешивания является простота: его просто применить и легко понять. Этот метод включает минимальный обьем вычислений даже при использовании более сложной функции Кайзера. ° Главный недостаток метода — отсутствие гибкости. Максимальная неравномерность в полосе пропускания н неравномерность в полосе подавления примерно равны, так что разработчик может получить фильтр с либо слишком маленькой неравномерностью в полосе пропускания, либо со слишком большим затуханием в полосе подавления.
° Вследствие того, что в методе фигурирует свертка спектра вырезаюшей функции и желаемой характеристики, невозможно точно задать граничные частоты полосы пропускания и полосы подавления. ° Для данной функции (исключая функцию Кайзера) максимальная амплитуда колебаний в характеристике фильтра фиксирована вне зависимости от того, насюлько большим делать )т'. Следовательно, затухание в полосе подавления фиксированно для данной функции.
Таким образом, для данной спецификации затухания разработчик должен найти подходящую функцию. а В неюторых приложениях выражения формулы для Но(пт) будут настолько сложными, что из уравнения (7.5) аналитически находить )тп(п) нет смысла. В таких случаях Ьп(п) можно получить с помощью метода частотной выборки, а уже затем применять весовую функцию (см. раздел 7.7.1). Метод вычисления оптимальных (по Чебышеву) юэффициентов КИХ-фильтра явлается чрезвычайно мощным, и благодаря великолепным программам разработки его весьма просто применять. По зтнм причинам и еще потому, что данный метод дает велиюлепные фильтры, он широю используется во многих сферах, где требу- 400 Глава 7.
Разработка фильтров с конечной импульсной характеристикой 1КИХ-фильтров) ),гпю ) 3КЮО О,ВООО 0,6000 О 2000 О 0,)25 0,250 0,375 0,500 У а) ),29Ю ),оооо 0,6000 0,4000 о,гооо о,оию о l 0,)25 0,250 0,375 0,500 6) Рис.7.10. Сравнение частотных характеристик: а) фильтра, полученного методом вырезания, б) оптимального фильтра. На панели а колебания характеристики бслыпе на границе полосы; а на панели б колебания имеют равные амплитуды (полосы равных колебаний) в полосе пропускания и подавления ются КИХ-фильтры. Ниже рассматриваются принципы, на основе которых построен метод, программа разработки н ее применение.
Для иллюстрации метода разобрано несколько примеров. 7.6.1," Основные концепции При вычислении коэффициентов фильтра по методу вырезания возникает проблема выбора удачной аппроксимации желаемой или идеальной частотной характеристики. Максимальные колебания характеристики фильтров, разработанных с помощью метода взвешивания, возникают возле краев полосы и уменьшаются при удалении от них (рис.
7.10, а). Оказывается, что если колебания распределены более равномерно по полосе пропускания и полосе подавления, как, например, на рис. 7.10, б, можно получить лучшую аппроксимацию желаемой частотной характеристики. йпт 7.6. Оптимизационные методы 1-б -бр Палка проптсканиа Покоса палаааеиик б) Рис. 7.11. Частотиаа характеристика оптимааьного фильтра ннж. иих частот (панедь а), Характеристика ошибки между идеальной и практической характеристиками (бр — — 2б,) (панель б) Оптимизационные методы основаны на понятии полос равных колебаний.
Рассмотрим частотную характеристику фильтра нижних частот, изображенную на рис. 7.1!. В полосе пропускания реальная характеристика осциллирует между значениями 1 — да и 1 + бш В полосе подавления характеристика фильтра находится между 0 и Ба. Отличие характеристик идеального н реального фильтров можно рассматривать как функцию ошибок Е( ) = Ит( )(Нп( ) — Н(ш)1, (7.13) где Нп(ш) — идеальная или желаемая характеристика, а И'(ит) — весовая функция, которая позволяет определить относительную ошибку аппроксимации мея(лу различными полосами. Цель оптимального метода — определить коэффициенты фильтра Ь(п), при которых значение максимальной взвешенной ошибки ~Е(от) ~ минимизнруется в полосе пропускания и полосе подавления.
Математически это можно записать следующим образом: пйп(шах !Е(ит) (1 по полосам пропускания и полосам подавления. Бььто установлено (см., например, (14)), что при минимизации шах ~Е(мг) ~ характеристика фильтра будет иметь равные колебания в пределах полос пропускания и подавления, причем модуль максимального отклонения будет постоянным, и характеристика будет проходить между двумя уровнями амплитуды с чередованием знака отклонения (рис.
7.10, б). Далее мы зачастую не будем 408 Глава 7. Разработка фильтров с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтров) Рис. 742, уггропгенная функпионаяьная схема оптимального метода разделять минимумы и максимумы характеристики, говоря об экстремумах вообше. Например, у фильтров нижних частот с линейной фазовой характеристикой имеется г + 1 или к+ 2 экстремумов, где г = (7ьг+ 1)/2 (для фильтров типа 1) или г = Ю/2 (для фильтров типа 2). На рнс. 7.10, б частоты экстремумов изображены маленькими кружочками.
При данном наборе спецификаций фильтра расположение экстремальных частот, кроме тех, что размешены на границе полос (т.е, на частотах / = /р и / = Г,/2), не известно априори. Значит, основная задача оптимального метода — зто найти положения экстремальных частот. Для решения этой задачи был разработан мошный метод, в котором реализован алгоритм замены Ремеза (акешер ехсЬапяе а!яог(г)пп) [9, 12, 14].
Зная положения экстремумов, получить действительную частотную характеристику (а значит, импульсную характеристику) — дело техники. Для данного набора спецификаций (т.е. граничных частот полосы пропускания )у' отношения амплитуд колебаний характеристики в полосе пропускания и полосе подавления) оптимальный метод включает следуюшие ключевые этапы (см. рис. 7.12): ° использовать алгоритм замены Ремеза, чтобы найти оптимальный набор экстремаль- ных частот; ° определить частотную характеристику„ использовав положения экстремумов; ° получить коэффициенты импульсной характеристики.
Сердцем оптимального метода является первый этап, где для определения экстремальных частот фильтра, амплитудно-частотная характеристика которого удовлетворяет условию оптимальности, используется итеративная процедура. Данный этап зависит от 7.0. Оптимизационные методы 409 теоремы о дизьюнкции (айегпатюп йтеогет), определяющей число экстремальных частот, которые могут существовать при данном значении Ат. В настоящее время доступна и широю используется программа на языке ЕОКТКАХ, в которой реализована описанная выше процедура (см. например, [9)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
