Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 67
Текст из файла (страница 67)
В этом случае импульсная характеристика фильтра имеет отрицательную симметрию: а(п) = — а()У вЂ” и — 1), а = (/У вЂ” 1)/2, )3 = к/2. ЗВ4 Глава 7. Разработка фильтров с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтров) КИХ-фильтры с линейной фазовой характеристикой формируют важный класс в семействе КИХ-фильтров. Они обладают уникальным набором свойств, влияющих на разработку и реализацию данных фильтров. Продемонстрируем некоторые из этих свойств на примере. 1. Кратю опишите условия, необходимые для того, чтобы реальный цифровой фильтр имел линейную фазовую характеристику, и преимушества фильтров с такой характеристикой.
2. Цифровой КИХ-фильтр имеет фазовую характеристику Ут(л), которая определена в интервале 0 < и < Ж вЂ” 1. Покажите, что при лУ = 7 и Ут(л), удовлетворяющем условию симметрии Ут(л) = Ут(утУ вЂ” л — 1), фильтр имеет линейную фазовую характеристику. 3. Повторите п. 2 при Ж = 8. Решение 1. Необходимым и достаточным условием того, что фильтр имеет линейную фазовую характеристику, является симметрия его импульсной характеристики (согласно (14)): Ут(л) = Ут(лУ вЂ” 1 — л) или Ут(л) = — Ут(Н вЂ” 1 — п).
Для нерекурсивных КИХ-фильтров память для хранения коэффициентов и число арифметических операций меньше примерно вдвое. Для рекурсивных КИХ- фильтров коэффициенты можно выбрать так, чтобы они были простыми целыми числами, что повышает скорость обработки. В фильтрах с линейной фазовой характеристикой все частотные компоненты при прохождении через фильтр задерживаются на одно и то же время, так что в этом случае фвзовое искажение отсутствует. 2.
Используя условие симметрии, находим, что при лУ = 7 Ут(0) = Ут(6); Ут(1) = Ут(5); Ут(2) = Ут(4). Подставим е = е'"т в формулу (7.1, б) и получим частотную характеристику фильтра Н(ы): Н(ы) =Н(е'" ) = е ~~;'у,(ус)е- и г ь=с у й(0) + Ут(1)е ' т + Ь(2)е з"'т + + Ут(З)е з'"т + Ут(4)е з 'г + Ут(5)е и"т + Ут(6)е е' т = з ту~буек т + Ут(1)ез т + Ут(2)е' т + Ут(3) + ут(4)е ыт+ + Ут(5) е-2! т + Ут(6) е-зыт) 73. Вступление зал Используя условие симметрии, можно сгруппировать члены, козффициенты которых численно равны: Н(( ~) е-зыт[1г(0)(езйл" 1 е-гыт) + 1г(1)(еги~т + е-г т) 1 5(2)(е т + е — н т)] = е г'"т [25(0) сов(3шТ) + 21г(1) сов(шТ) + 21т(2) сов(и Т)]. Если положить а(0) = 5(3) и а(к) = 21т(3 — к), )с = 1, 2, 3, то Н(ш) можно записать в компактной форме: г Н(ш) = ~~ а(1г) сов(лыТ)е Я' " = ф]Н(м)]е'Я1"~, где ~]Н(сг)] = ~~ а(к) соя(тисТ); В(ш) = — 3сгТ. Очевидно, что фазовая характеристика линейна.
3. В данном случае из условия симметрии следует Ь(0) = 1т(7); 5(1) = Цб); Ь(2) = 6(5); Ь(3) = 1г(4). Используя схему рассуждений, подобную приведенной выше, и условие симметрии, получаем: Н( ) -т' тг[5(0)( т т!г+ -т. туг)+5(1)( яг, туг+ -я тгг + Ч 5(2)(егг тУг+е-ъ тУг) +Ц3)(е ттг+с-с т!г)] =е т' ~Г~[2Ь(0) сов(7ыТ/2)+ + от(1) сов(5шТ/2) + 2Й(2) сов(3иТ/2) + 26(3) сов(мТ/2)] = ] Н (ы) ] я ге(м) где ~[Н(ы)] = ~ 5()с)сов[с>ТЯ вЂ” 1/2)]; В(ш) = — (7/2)сЛ". ь=! 5()с) = 2л(М/2 — к),1с = 1,2,...,1т/2. Результаты, представленные выше, можно распространить на все КИХ-фильтры (табл. 7.1).
;,.;~.:1.Э;:, Типы КИХ-фильтров с линейной фазовой характеристикой Сушествует четыре типа КИХ-фильтров с линейной фазовой характеристикой, отличаюшихся четностью гу и типом симметрии Ь(л) (положнтельная или отрицательная). Два из четырех типов фильтров с линейной фазовой характеристикой рассмотрены в примере выше. На рнс. 7.1 показано, как отличаются импульсные характеристики 386 Глава У. Разработка фильтров с конечной импульсной характеристикой (КИХчйнльтров) Таблица 7.1.
Ключевые различия четырех типов КИХ-фильтров с линейной фазовой характеристикой Симметрия «мнульеной Чилло кол((иричаеатое Л/ Чаетотаал хоракьнераетака Тиа линейной (волокой характера отака «арактериетака (н-1пг е * (~ 1)/2 л. 'а(п)соь(тп) =е и/2 е ' (ь 1)/2 ~, Ь(п)соа(т(и — 1)) =1 (и — 1)/2 е-'( ('-"/2- /2) 2, а(и) а)п( ) =1 К/2 е-л-('-')/'-"/') у.
а( ) и( ( — 1)) Полоиительная симметрия, нечетное Л(п) = Л( Ч вЂ” 1 — п) четное Отрицательная симметрия, нечетное Л(и) = — Л(/У вЂ” 1 — и) четное а(0) = Л((/У вЂ” 1)/12); а(п) = 2Л((/У вЂ” 1]/'2 — и( Ь(п) = 2Л(/У/12 — и) г,=( —,), (7.4, а) а групповая задержка для фильтров третьего н четвертого типов выражается как /')Ч вЂ” 1 — я та= где Т вЂ” период дискретизации. (7.4, б) всех четырех типов фильтров с линейной фазовой характеристикой. Ключевые особенности этих типов фильтров сведены в табл. 7.1. Частотная характеристика фильтра типа 2 (положительно-симметричные коэффициенты и четная длина) всегда равна нулю при у" = О, 5 (половина частоты дискретизации, поскольку все частоты нормированы на частоту дискретизации); см.
задачу 7.1. Следовательно, фильтры данного типа не используются в качестве фильтров верхних частот. Фильтры типов 3 н 4 (отрнцательно-симметричные коэффициенты) вводят сдвиг фазы на 90', а частотная характеристика таких фильтров всегда равна нулю при у" = О, так что такие фильтры нельзя использовать как фильтры нижних частот. Кроме того, характеристика фильтров третьего типа всегда равна нулю при )' = 0,5, так что данный фильтр не стоит применять и как фильтр верхних частот. Фильтры первого типа наиболее универсальны. Фильтры третьего и четвертого типа часто используются при проектировании дифференциаторов и фильтров, реализующих преобразования Гнльберта, поскольку фильтры этою типа могут давать сдвиг фазы на 90'. Важно отметить, что фазовую задержку (фильтры типа 1 и 2) или групповую задержку (фильтры всех четырех типов) можно выразить через число коэффициентов фильтра, которые, соответственно, можно подобрать таким образом, чтобы фильтр давал нулевую фазовую или групповую задержку.
Например, для фильтров первого и второго типов фазовая задержка записывается следующим образом; 7.2. Разработка КИХ-фильтров 387 ожитеаьная М (3 (нечетное( й' (2 (четное( (Н- нечетное отрннатеяьнан Ф 9(нечетное) тельная М = (0 (четное) Рис. 7.1. Коэффициенты импульсной карактсристики четырех типов филь- тров с линейной фазовой характеристикой , 7.2. Разработка КИХ-фильтров Как говорилось в главе 6, разработка цифрового фильтра включает пять этапов. 1. Спецификация фильтра. На данном этапе может задаваться тип фильтра, например, фильтр нижних частот, нужная амплитудная и!или фазовая характеристика и разрешенные допуски (если есть), частота дискретизации и длина слов, которыми будут представлены входные данные. 2. Вычисление коэффициентов.
На этом этапе определяются коэффициенты передаточной функции Н(л), которая удовлетворяет спецификациям, полученным на этапе 1. На выбор метода расчета коэффициентов влияет несколько факторов, важнейшими из которых являются критические требования, сформулированные на этапе 1. 3. Выбор сл(рукиптры. Данный этап включает преобразование передаточной функции, полученной на предыдущем этапе, в подходящую фильтрующую структуру или сеть. 36В Глава 7. Разработка фильтров с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтров) Начыо Спецификации Риа.
Хз. Этапы разработки цифровых фильтров 4. Анализ следснзвий конечной разрядности. Здесь оценивается влияние квантования на коэффициенты фильтра и входные данные, а также влияние на производительность фильтра операции фильтрации со словами конечной длины. 5. Воллон)ение. На данном этапе разрабатывается программный код и/или аппаратный блок и выполняется собственно фильтрация.
Перечисленные пять этапов и их связь обозначены на рис. 7.2. Все этапы разработки КИХ-фильтра подробно рассмотрены ниже, при необходимости мы будем обращаться к примерам. Спецификации фильтров вообще подробно рассмотрены в главе 6. В данном разделе внимание акцентируется на деталях спецификаций КИХ-фильтров. Некоторые аспекты спецификаций иллюстрируются на примерах. Итак, при рассмотрении фазовой характеристики достаточно указать, какая нужна симметрия — четная илн нечетная (предполагается, что фазовая характеристика линейна). Амплитудно-частотная характеристика КИХ-фильтра часто задается в виде схемы допусков.
Такая схема для фильтра нижних частот показана на рис. 7.3. Подобную схему можно легко получить и для других частотно-избирательных фильтров, Исходя из изображенного на рисунке, интерес представляют следующие параметры: звв 7.3. Спецификации КИХ-фильтра !Л(сик)) 1+б 1 1-б 0,5 / 4 я Пасоса Поа ка пж проптскаиия псрсхоха палааасниа Рпс. 7,3. Спепификапия амплитудно-частотной характеристики фильтра нижних частот. Отклонения в волосах пропускаиия и подаваеиия часто вырэжаютея в депнбелах: опоонеине в полосе пропускания равно 20 1л(1+ бр) дБ; отклонение в полосе подавле- ния равно -201я(б.) лБ б отклонение в полосе пропускания (или неравномерность); 6, отклонение в полосе подавления; у граничная частота полосы пропускания; граничная частота полосы подавления; Г, частота дискретизации. На практике часто удобнее выражать б и д, в децибелах, как сделано на приведенном рисунке. Расстояние между ), и уи равно ширине полосы перехода фильтра.
Другой важный параметр — это длина фильтра М, которая определяет число коэффициентов фильтра. В большинстве случаев указанные параметры полностью определяют частотную характеристику КИХ-фильтра. Существуют и другие спецификации, которые могут представлять практический интерес; зто, например, спецификация максимального приемлемого числа коэффициентов фильтра (такое ограничение вводится в определенных приложениях, например, если возможная скорость обработки фиксирована). В конкретном случае может быть неясно, какой выбор набора параметров удачен, так что может использоваться метод проб и ошибок. ~фф~Р'фью( Пример алсллишудной спецификации. Для подавления физиологического шума тре- буется цифровой фильтр нижних частот.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
