Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Фильтр должен удовлетворять следующей спецификации: 390 Глава 7. Разработка фильтров с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтров) граничная частота полосы пропускания 10 Гц, граничная частота полосы подавления <20 Гц, затухание в полосе подавления >30 дБ, неравномерность в полосе пропускания <0,026 дБ, частота дискретизации 256 Гц. Основные требования в данном случае таков: 1) фильтр должен вводить во внутри- полосные сигналы минимально возможное искажение, 2) длина фильтра должна быть минимальной и не превышать 37. 7.4. Методы расчета.
коэффициентов КИХ-физльтров,' Напомним, что КИХ-фильтр характеризуется следующими уравнениями: у(т) = ~~~ )г(п)х(т — и), л-1 Н(з) = ~~~ Ь(п)з и=о Единственной целью большинства методов вычисления 1или приближенного вычисления) коэффициентов КИХ-фнльтров является получение значений )г1н), при которых фильтр удовлетворяет спецификациям, в частности, относящимся к амплитудно- частотной характеристике, и требованиям к пропускной способности. Разработано несколько методов получения )г(п). Наиболее широко используемыми из них являются метод вырезания, оптимальный метод и метод частотной выборки.
Все три метода позволяют получать КИХ-фильтры с линейной фазовой характеристикой. 7.6. Метод взвешигвайия . В данном методе используется факт, что частотная характеристика фильтра Нл(м) и соответствующая импульсная характеристика Ьл(п) связаны обратным преобразованием Фурье; 1 Ьл (и) = — / Нр (ы) е™п сЬ. 2х / -л (7.5) Индекс Р используется, чтобы различать идеальную и практическую импульсные характеристики. Необходимость такого разделения станет понятна несколько позже. Если Нр(и) известна, Ь р(п) можно получить, применив преобразование Фурье к обеим частям уравнения (7.5).
Для иллюстрации предположим, что требуется разработать фильтр нижних частот. Начать можно с идеальной фазовой характеристики, представленной на рис. 7.4, а, где ы, — частота среза, и шкала частот нормирована (Т = 1). 7.5. Метод взвешивания 391 Гк н (нормнроаана) б> Рнс. 7.4. Илеальиая частотная хара«теристика фильтра нижних частот (панель а). Импульсная хара«теристика илеальиото фильтра нижних частот (панель б) Допустив, что характеристика идет от — пт, до ш„упрощаем интегрирование и получаем следующую импульсную характеристику: 1 Р, „1 Г Ьр(и) = — / 1 х е' "й т = — / е™"с(о~ = 2я / 2тг / (7,6) 27о бш(исо,) п~О, — ос<и<ос = 27"„, и = О (используем правило Лопиталя). Импульсные характеристики идеальных фильтров верхних частот, полосовых фильтров и режекторных фильтров также находятся из уравнения (7.б) и все они приведены в табл.
7.2. Импульсная характеристика фильтра нижних частот изображена на рис. 7.4, б, из которого видно, что )тр(п) симметрична относительно п = О (т.е. йр(п) = йр( — и)), так что фильтр будет иметь линейную (в данном случае — нулевую) фазовую характеристику. Описанный простой подход связан с некоторыми проблемами.
Важнейшая из них — хотя характеристика )ар(п) уменыпается при удалении от точки п = О, она длится теоретически до и = ~ос. Следовательно, полученный фильтр не является КИХ-фильтром. Очевидным является решение усечь идеальную импульсную характеристику, положив )тр(и) = О для и, больше, чем (скажем) М. При этом вводится нежелательная неравномерность и выбросы — имеет место так называемый эффекль Гиббса. То, как отбрасывание коэффициентов сказывается на характеристике фильтра, показано на рис. 7.5. Чем больше коэффициентов осталось, тем ближе спектр фильтра к идеальной характеристике (см. рис. 7.5, б и в).
Прямое усечение )тр(и), как оно описано выше, 392 Глава 7. Разработка фильтров с коночной импульсной характеристикой (КИХ-фильтров) Таблица 7.2. Идеальные импульсные характеристики стандартных частопю-избирательных фильтров г"„Уг и 1« — нормированные чястогы краев полос пропускания или подавления; М вЂ” длина фильтря равносильно умножению идеальной импульсной характеристики на прямоугольную весовую функцию вида ю(п) =1, ~п~ =0,1,...,(М вЂ” 1)/2 — «) «ь а) «) «) б) -и о «) Рис. 7.5. Влияние и«частотную х«р««гери«тику округления идеал«иод импульсной клрактеристики до «) ) 3 коэффяциентов; б) 25 козффициеито; в) бесконечного числа коэффициентов 7Д.
Метод взвешивании 393 в) Рис. 7д. Иллюстрация определения ноаффиниентов фильтра Мо) с помощью меьода вавещивания В частотной области это эквивалентно свертке Но(от) с Иг(ы), где Иг(ы) — Фурье- образ тл(и). Тогда как Ит(от) имеет классический вид функции (згн х) 7х, усечение 7т о(п) приводит к появлению в частотной характеристике выбросов.
На практике идеальная частотная характеристика 7то множится на подходящую весовую функцию тл(п) с конечной длительностью. Таким образом, получающаяся импульсная характеристика гладко затухает до нуля. Данный процесс иллюстрируется на рис. 7.6. На рис. 7.6„а показана идеальная частотная характеристика и соответствующая идеальная импульсная характеристика. На рис. 7.6, б показана весовая функция конечной длительности и ее спектр.
На рнс. 7.6, в показана функция 7т(п), которая получается перемножением 7то(п) и от(и). Из соответствующей частотной характеристики видно, что неравномерности н выбросы, характерные для прямого усечения, в значительной степени подавлены. В то же время, ширина полосы перехода больше, чем для прямоугольной функции. Известно, что ширина полосы перехода фильтра определяется шириной основного лепестка весовой функции. Боковые лепестки приводят к появлению неравномерности в полосах пропускания и подавления. 394 Глава 7. Разработка фильтров с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтров) ' 7.5Л. Некоторые распространенные весовые функции Было предложено несколько вырезаюших функций. Одной из наиболее широко используемых является весовая функция Хэмминга, которая определяется следуюшим образом: -(М вЂ” 2)/2 < п < (1У вЂ” 1)/2 (1У вЂ” нечетпае) ю (п) = О, 64 + О, 46 гав (2яп/1У) -)У/2 < п < Ж/2 (1У вЂ” четное) (7.7) = 0 в других случаях.
Характеристики функции Хэммннга и прямоугольной функции сравниваются на рис. 7.7 во временной и частотной областях. Во временной области функция Хэмминга более мягю выходит на нуль с обеих сторон. В частотной области амплитуда ее главного лепестка шире (примерно вдвое), чем амплитуда прямоугольной функции, но ее боковые лепестки меньше по сравнению с главным (примерно на 40 дБ меньше главного лепестка по сравнению с 14 дБ для прямоугольной функции). Вследствие этого функция Хэмминга даст фильтр с большей полосой перехода (поскольку у нее шире главный лепесток), но и большим затуханием в полосе подавления (поскольку уровни боювых лепестков меньше). Связь ширины полосы перехода (от полосы пропускания к полосе подавления) фильтра, построенного на основе функции Хэмминга, с длиной фильтра выражается следуюшей формулой: /х/" = 3, 3//т', (7.8) где /у — длина фильтра, а /х/ — нормированная ширина полосы перехода. Максимальное затухание в полосе подавления, возможное прн использовании функции Хэмминга, составляет порядка 53 дБ, а минимальная амплитуда неравномерности в полосе пропускания составляет около 0,0194 дБ.
Основные характеристики самых распространенных весовых функций собраны в табл. 7,3. Отметим, что первые четыре функции имеют фиксированные характеристики, такие как ширина перехода и затухание в полосе подавления. Следовательно, их использование ограничивает свободу разработчика. Отметим также, что фильтр, построенный с помошью метода взвешивания, имеет равные неравномерности в полосе пропускания и полосе подавления, т.е.
б, = б, (см. рис. 7.3). На практике это ограничение может дать фильтр, неравномерность которого в полосе пропускания будет излишне малой. л И О. е СР + (К <чу з с й Ю а.с ~а и о ~ о а' о Ф ц о й. 5 ( О о о о о о й ЯЕ а ы сх Ю д Ю И М Л х а д М Ю о о ОЗ х Р О Р о Ю Р ж В о Я Й Ф И Я Й о о т и ° р д О ~ д э о Я Л Я иЗ~ йЙй $ о Э=':-.- о + + о ю о о ь а О еа г. е,ч ~ и~ сч '~ о о Я о у «~. ар О О Ю 6 ЫФ Сб СЧ О~ 601 396 Глава 7, Разработка фильтров с конечной импульсной характеристикой (ких-фильтров) -)а а,аею т о,ехю ахею -50 о,аею -и 0 7 И Ц 20 ЗЗ 42 Е И 0 0,125 0,250 0.575 0.500 1,2000 1,0000 ть алаи ОХЕЮ 0.2ЕЮ о,еюо -юо О 7 И Л 20 ЗЗ Ы Е Ы 0 0.325 0.250 0,375 0,500 О! 1.2000 ! .ОООО о.аоао тт 0,6000 О,4ЕЮ -125 -150 0 0.125 0,250 0,375 0,500 14 21 20 35 О 40 56 Рис. 7.7.
Сраанеане хараатернстик раснространеннык весовых функций ао временной и частотной областях: 0) лрямоугопьная функция; б) функция Хэммннга; я) функция Блэкмена Окно Кайзера (Казаег «лпа)оьч йшсбоп) несколько сглаживает очерченные выше проблемы, поскольку имеет параметр, управляющий неравномерностью, )э, что позволяет разработчику играть на компромиссах между шириной перехода и неравномерностью. Функция Кайзера задается следующим образом: 2! !72') ! 1)=) (4~~ — ) ') ) ) ) 7 Ыа) -!К вЂ” ))2 " 14 — ))) — ! (7.9) н других случаях, где )а(х) — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевою пор!щка. Управляющий параметр 72' отвечает за спад вырезающей функции на краях (во временной 0.2ЕЮ 0.0000 0 7 ю -20 ., -за — -40 -50 )4 Ы -75 — -100 тть Метод взвешивания 397 области).
Для вычисления 7е(х) обычно используется следующее разложение в степенной ряд (14); / ( ) 1 ~ ~ ~~(* 2 причем обычно Е < 25. Эффективной реализацией указанного уравнения является алгоритм Кайзера (14). При )3 = 0 функция Кайзера соответствует прямоугольной весовой функции, а при 13 = 5,44 функция весьма похожа иа функцию Хэмминга (хотя и не идентична ей). Значение;3 определяется требованиями к затуханию в полосе подавления н его можно оценить с помощью одного из приведенных ниже эмпирических соотношений: ~3= 0, если А < 21дБ, (7.10, а) 13 = 0,5842(А — 21)~я+О, 07886(А — 21), если 21 дБ < А < 50 дБ (7 10 6) 13 = 0,1102(А — 8,7), если А > 50дБ, (7.10, в) А — 7,95 И> 14 36Ы (7.11) где сл| — нормированная ширина полосы перехода. Далее полученные значения ~3 и Ж используются для вычисления коэффициентов функции Кайзера ю(п).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
