Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Диаграмма реализации уравнения (7.25) приведена на рис. 7.22. ; -:7,У. Э; ' Фильтры частотной выборки с простыми коэффицивнтами Рекурсивная реализация КИХ-фильтров значительно уменьшает число арифметических операций, производимых в цифровых фильтрах. Если фильтр к тому же имеет коэффициенты, которые являются просто целыми числами (или степенями двойки), 430 Глава 7. Разработка фильтров с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтров) Рис. 7.22.
Диаграмма реализации фильтра частотной имборки значительно повышается его вычислительная эффективность, что необходимо в приложениях, где используются процессоры с примитивными арифметическими операциями (как обычные микропроцессоры). В работе (8), например, было разработано целое семейство фильтров частотной выборки с небольшими целыми коэффициентами. Впрочем, получить целые коэффициенты можно, только если наложить определенные условия на положение полюсов передаточной функции (формула (7.25)). Данное утверждение можно сформулировать и так: полосы пропускания фильтров с целыми коэффициентами можно центрировать толью на определенных частотах.
Отметим, что, поскольку коэффициенты — целые, полюса можно разместить на единичной окружности и добиться идеального расположения. Фильтры, полученные описанным способом, представляют собой частные случаи фильтров частотной выборки. т.т. Метод частотной выборви Пример 7.12. 1.
Передаточная функция КИХ-фильтра определена следующим образом: Ф-1 Н(г) = ~~ Ь(п)в ". =о (7.26, а) Начав с приведенного выражения, покажите, что Н(з) для КИХ-фильтра с линей- ной фазовой характеристикой и четно-симметричной импульсной характеристикой можно следующим образом выразить в рекурсивной форме: 1 — г~з ~ Н(в) = х Н т ~Н()с)~2сов(2лво/У) — 2г сов(2лв(1+ се)/7т)в ' Н(0) 1 х с+ 1 — 2гсов(2л)с/г/)в ' + газ з в=1 Решение !. Импульсную характеристику фильтра можно определить через его частотные выборки: и-1 ь(„) ~ Н()с)гиез «е/м ~ 0 1 )З/ 1 г < 1 (7.26, б) в=с Используя уравнения (?.26, а и б), получаем следующую передаточную функцию Н(з): Ф вЂ” 1 Ф 1 1 Ф1 Н(,) = Я й(„);- = ~ ' '~ Н®;ез--'~ а=о =о в=о Меняя порядок суммирования, получаем Ф-1 Ф-1 Н(в) = — ~ Н()е) ~~~ ~ге~ ы"~~в '!" в=о за=о (7.27) где ы = (У вЂ” 1)/2, а Н()с) — выборки частотной характеристики фильтра, взятые в точках Йг',/Ж.
2, Требуется, чтобы фильтр нижних частот удовлетворял следующим спецификациям: полоса пропускания 0-4 кГц, частота дискретизации 18 кГц, длина фильтра 9. Найдите передаточную функцию фильтра в рекурсивной форме, используя метод частотной выборки и учитывая, что радиус равен т = 1. Изобразите диаграмму реализации н сравните ее вычислительную сложность со сложностью реализации КИХ в прямой форме.
Далее сумму геометрической прогрессии можно выразить как Ф-1 он Ян = ~ д" = — 6 зй 1. 1 † нашем случае при б = тез"й/л 2 ' можно записать 1 (т змй/нк-1)н 1 Е( "*"'" '1"— 1 — тез"1й/и 2 ' 1 — тез *й///2 =о -Ф 1 — тез™///2 ' поскольку ез *" = соз(2кй) = 1, /с = О, 1,...
Следовательно, формулу (7.27) можно переписать так: 1 — т~з // Н(/с) Н( ) = Е 2 й/Ф -1 Н1(2)Н2(2), й=о (7.28) где 1 — т//2 и Н,(2) = Н(й) й=о Далее, разложение Н,(2) имеет вид Н(0) Н(1) Н(2) 1 — гз ' 1 — тегы///2-1 1 тез .2/л 2 — 1 + + Н(1" / — 2) + Н(М вЂ” 1) тезткм-2)/пз-1 1 тезхпн-1)/й/2-1 ' Для фильтра с действительными козффициентами справедливо следующее условие симметрии: Н(/) Н*(Н й) зы(М-й1/й/ -злак/Ф Таким образом, можно записать Нз(2) Н(0) Н(1) Н(2) 1 — гк 1 1 — тез"1/из ' 1 — тез"*2/нк Н'(2) Н*(1) + + .
+ 1 — тЕ 22 2///2 ' 1 — тЕ 2 ./Нк-1' Итак, полюсы появляются комплексно-сопряженными парами (исключая одно значение при /с = О, если Ю вЂ” нечетное, и два при и = 0 и и = 12/'2, если 1/ — четное). 432 Глава?. Разработка фильтров с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтров) 7.7. Метод частотной выборки 433 Для фильтров с линейной фазовой характерисгиюй и четной длиной Н(/" //2) = О. Объединяя для /к-го полюса комплексно-сопряженные фрагменты, получим Н(1с) Н" (й) 1 — тек 'ь//к» 1 1 — те г ь//г»-1 Н(/с)(1 — ге»км/к/» 1) + Н*(/с)(1 — те»ыь//к» ') (1 — те»"к"///» г)(1 — те»™///» ') (7.29) Знаменатель упрощается до вида (1 — те» '~/~» 1)(1 — ге ~"~/~» 1) = 1 — 2тсов(2»/с/Ж)» 1+т»»». (7.30) Для фильтра с линейной фазовой харакгеристиюй и четно-симметричной импульс- ной характеристикой Н(к) выражается следующим образом: Н(/с) [Н(/с)[е-2 и //г где о = (Ж вЂ” 1)/2.
Таким образом, числитель можно упростить до такого вида: ]Н(к)]е»"*" /н(1 — те 2™///» ') ~- ]Н(/с)[ез *" //к(1 — ге» ь/и» ) = ]Н(ь) [[в-~~и~//к (1 те — »ыь/и» вЂ” 1) + е»ккзе/а (1 тезки//к»-1)] [Н(й)](е-зткьа/// ге-»км//те-»тра///»-1 + езыйа/ю тезт йа//ге-зтм/໠— 1) = ]Н(/с)[(2сов(2»/сок/Л) — [те ' мп+ //~» ' + ге~'мп+ //~» ']) = = [Н(Й)] (2соз(2я/сок/У) — 2тсоз[2»/с(1+ ск)/Ф]» ') .
(7.31) Обьединяя формулы (7.30) и (7.31), Н(») можно записать в виде Н(») = 1 — гм» /т ~~ ]Н(й)[[2сов(2яйск/Н) — 2тсоз[2я/с(1+ ск)/Ф]» '] ь-1 1 — 2т соз(2як/И~»-' + г'»» (7.32, а) Н(0) 1 — т» [Н(й)] =1, )к = 0,1,2, О, /с = 3,4. Если г/ нечетное, М = (Ф вЂ” 1)/2, если же четное, М = (/1//2) — 1.
2. При Н = 9 характеристика выбирается через интервал 18/9 = 2 кГц. Следовательно, частотные выборки определяются как В этом случае гг = (лà — 1)/2 = (9 — 1)/2 = 4 и т = 1. Из уравнения (7.32, а), используя приведенные выше значения частотных выборок получаем следующую функцию Н(з): Н(х) = 1 — з в (2[Н(1)[[соз(2я4/9) — соз[2я5/9[з ') + 9 ~ 1 — 2 сов(2к/9)з-' + з-з + 2[Н(2)[(соз(2я х 2 х 4/9) — соз[2к х 2 х 5/9)г ') + 1 — 2соз(4я/9)з ! + з з Далее находим значения соз(8я/9) = — О, 9397, сов(10л/9) = — О, 9397, соз(2гг/9) = О, 7660, соз(16к/9) = О, 7660, соз(20к/9) = О, 7660 и соз(4гг/9) = О, 1736.
Подстав- ляя эти значения в уравнение выше, получаем: Н(з) = 1 — х з [2(-0,9397+0,9397г ') 9 ~1 — 2 х 0,7660з-! + х ' 2(0,7660 — 0,7660х ') + + 1 — 2 х О, 1736з-! + з-з 1 — з ' ~ — 1,8794(1 — з ') + 9 [1 — 1,5320з '+х ' 1 1.5320(1 — г ') 1 - + — 0,3472з '+г-з 1 — х Диаграмма реализации данного уравнения приведена на рис.
7.23. Вычислительная сложность непосредственной реализации фильтра и реализации через частотные вы- борки приводится ниже. Число операций Число операций Память сложения умножения прямая реализация 8 9 18 реализация через выборки 10 7 25 На основе данных рис. 7.23 получаем следующие разностные уравнения: х'(п) = (1/9) [х(п) — х(п — 9)[, у,(п) = х'(п) + у(п — 1), шз(п) = 1,5320юз(п — 1) — юз(п — 2) + х'(и), уз(п) = — 1,8794шз(п) + 1,8794юз(п — 1), шз(п) = 0,3472шз(п — 1) — юз(п — 2) + х'(и), уз(п) = 1,5320юз(п) — 1, 5320юз(п — 1).
у(п) = уг(п) + уз(п) + уз(п) (7.32, б) 434 Глава 7. Разработка Фильтров с конечной импульсной характеристикой (КИХчрильгров) 7.7. Метод частотной выборки Риа. 7.2З. Диаграмма раализапии лля фильтра частотиоа выборки из примера 7Л 2 Лрй~йр,~.')(3' Получите передаточную функцию и разностное уравнение для следующих фильтров. 1. Рекурсивный КИХ-фильтр нижних частот с целыми козффициентами, удовлетворяющий следующим спецификациям: центральная частота 0 Гц, частота дискретизации 18 кГц. 2. Рекурсивный полосовой КИХ-фильтр с целыми коэффициентами, удовлетворяющий следующим спецификациям: центральная частота 3 Гц, частота дискретизации 12 кГц.
Решение !. Если 1"7 = 9, интервал между частотными выборками будет равен 18/9 = 2 кГц. Диаграмма нулей и полюсов для такого выбора изображена на рис. 7.24, а, а соответствующая амплитудная характеристика — на рис. 7.24, б. Из рис. 7.24, а следует, что передаточная функция имеет вид — 9 Н(л) = Соответствующее разностиое уравнение имеет вид р(и) = у(тт — 1) + (1/9) )х(о) — к(п — 9)]. 43б Глава 7. Разработка фильтров с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтров) (л(Л( О 2 4 6 а ЛкПг) б) (ЖЛ( О (,5 З,О 4,5 б,е /(ктп) Рис. 7.24.
Диаграмма нулей и полюсов (панель а). Схематическое иэображение амплитудной характеристики рекурсивного КИХ-фильтра с целыми коэффициентами (панель б). Диаграмма нулей и полюсов для простого полосового фильтра с целыми коэффициентами (панель е). Соогвегствуюшая амплитудная характеристика (панель г) 2. Посюльку полоса пропускания центрирована на 3 кГц, нужно аккуратно выбрать моменты выборки.
Положив 1)( = 8, получаем один из вариантов диаграммы нулей и полюсов и соответствующей амплитудной характеристики (изображены на рис. 7.24, е и г соответственно). При (ьг = 8 интервал дискретизации составляет 12/8 = 1,5 кГц. Передаточная функция имеет внд Соответствующее разностное уравнение записывается так у(п) = — у(п — 2) + (1/8) )х(п) — х(п — 8)]. Очевидно, что определение передаточной фунюдии при частотной выборке с целыми коэффициентами — это очень простой процесс. В то же время, амплитудная характеристика подобных фильтров часто плоха, а свобода разработчика состоит толью в выборе местоположения полосы пропускания.
Для улучшения характеристик, относящихся к затуханию и частотам среза таких фильтров, передаточную функцию можно увеличить в целое число раз (7, 8). Метод частотной выборки: резюме ° Эл)ал 1. Задать идеальную илн желательную частотную характеристику, затухание в полосе подавления и границы полос целевого фильтра. 438 Глава 7. Разработка фильтров с конечной импульсной характеристикой (КИХ фильтрое1 ;")1ьрймер 7 24;" Требуется два полосовых КИХ-фильтра с линейной фазовой харакгеристиюй, удо- влетворяющих следующим спецификациям: для фильтра 1— полоса пропускания 8-12 кГц, неравномерность в полосе подавления 0,001, максимальная неравномерность в полосе пропускания 0,001, частота дискретизации 44,14 кГц, ширина полосы перехода 3 кГц.
для фильтра 2— полоса пропускания 8 — 12 кГц, неравномерность в полосе подавления 0,001, максимальная неравномерность в полосе пропускания 0,01, частота дискретизации 44,14 кГц, ширина полосы перехода 3 кГц. Получите и сравните частотные характеристики для каждого фильтра, используя 1) метод вырезания; 2) метод частной выборки; 3) оптимальный метод. Решение 1. Метод взвезнивання. Согласно спецификации фильтра 1 неравномерность в полосе пропускания равна 20 18(1+0, 001) = О, 00868 дБ, а затухание в полосе подавления— — 2018(0,001) = 60 дБ.
Из формул (7.10) и 17.11) находим параметры функции Кайзера: частоты среза 6,5 и 13,5 кГц, параметр неравномерности,)3 5,653, число юэффициентов фильтра 53, частота дискретизации 44,14 кГц. Для фильтра 2 получаем те же результаты, посюльку в методе вырезания неравномерность в полосе пропускания всегда приблизительно равна неравномерности в полосе подавления. Спектр итогового фильтра представлен на рис. 7.25, а. 2. Мемед частной выборки. Для спецификации 1 предполагается использовать фильтр частотной выборки первого типа и фильтр длиной 53, как и для метода взвешивания, Из таблиц разработки [15) находим, что для получения желаемого затухания в полосе подавления 60 дБ при Р; = 44, 14 кГц, М = 2, Ж = 63 нужны две частотные выборки в полосе перехода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
