Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 104
Текст из файла (страница 104)
$$1. (1990) Осрсга! 5|Ела! РпкеяяСлЕ зчсй йе ТМБ320С25. Незя Уогй зЧПеу. С!везен Т, А. С М. аид Клвбапяоп Ь О. б. (1975) Нкеязасу язв зиГЙссев соп0|иож Гог йе аьвепсе оГ очегбозч РЬепслпепа нз а весопд огоег гесшв!че й8|са1 61сег. ГЕЕЕ Тгаач. Асошлся, Бреесй алА .Прла! Рпкеяяга8, 23(6), 509-515. С|вален Т.
А. С. М., Меск|епьганхег %. Р. б. апд Рее1с $. В. Н. (1973) Зесопй-агоева 0!8|Ь! 61|ег иЙй оп! у опе ва8и|ов$е-инпсас|оп срсапнвег апи Ьайтщ ргассквПу по |пил сус1ез. Е!ессголСся Гсас, 9, 531, 532. С|ввел Т. А. С. М., МесщепЬвикег ЧЧ. Е б. аи0 РееЬ $. В. Н.
(1973) Зове геввйз оп йе с!вз|ЙсаЙои оГ Ппнс сус!ев зп й8|са! ЙИесз. Распря Веяеагс)з Вер., 28, 297-305. Павел Т., МесщепЬгаи|сег Чт. Е б. ав$ Рее|с !. В. Н. (1976) ЕПеск оГ ливис!вас|оп апо очегбозч |и гесшяче 0!8|я! 6Иегв. РМ!Гв Веяеагсй Вер., 28, 297-305. С|агх И. 1., |ГеасЬог Е. С., Исщяв б. М. апд Чап ЕесчеИ Р. яч. !. (2000) Тесьп|яиев Гог Йепегайп8 0$8|са1 еяиа1|вег сое|Йс|епь. уоавас оГАиАсо Есщтеепгщ Бассе|у, 48(4), 281-298. Сгосщеге К.
Е. (1975) А пезч ввЙвс!са| арргоасЬ со йе соеГЙс|епс зчогд|еи8й ргоЫегп Гог й$6|а! ЙЬяв. ГЕЕЕ Тгаая. Сстсшь алсГ Буягетя, 22, 190 — 196. СгосЬзеге К Е. ап0 ОррепЬенп А. М (1Я75) Апа|уяз оГ Ипеаг йЕИа! песзчогкз. Ргос. ГЕЕЕ, 63(4), 58 1 — 594. О|пй Р. 3. И. апд Апзопюн А. (1985) $.озч-зепвйч! су й86а! 6 Пег звссвгев шЫсЬ асс авен аЫе со еггог-зресвип йар$п8.
ГЕЕЕ Тгапк С|писся ат! Буясель, 32(10), 1000-1007. Е|Ьос О. Е (ей) (1987) ГГаассбоов оГГ)$8св! Б|Бла3 РгосшяслЕ. $.опдоп: Асаиев|с Ргезв. !ЕЕЕ ($978) О!8!в! 818зя1 Ргосезяп8 П. |пзйисе оГ Е|есслса| ат3 Е1ессгоп|сз Еп8$пеев. |ас3сяоп $.. В. (|Я70) Оп йе зпзегасиоп оГ чоннио|Т почве апи с$упапнс ганзе !и ййза| 61|ет. ВБТУ, 49(2), 359-184.
!аскзоп $,. В. (1976) КоипдоГГ ионе Ьзии4в Аепчед Гиии соеГЙсзепс зепяЙч|Йев Гог й8|в1 ЙИегз. ГЕЕЕ Тгаич. Са сися алА Буяетя, 23(8), 481-485. Кпозч!ез $. В. апд О|саусо Е. М. (1968) СоеГЙс|епс ассигасу апд 0!фа! 61|ег гевропве. ГЕЕЕ Тгали СстсиСс ТЬеогу, 15, 31-41. 1 в В.
(! Я71) ЕГГес| оГ 6пИе злолйеп8й оп йе ассигасу оГ й8Иа! 6Иегз — а гейеь. ГЕ ЕЕ Тгаич. СЪсизс 77когу, 18, 670-677. 1.в В. апо Капе3со Т. (1969) Естог апа|узЬ оГ й86а! Изегз геаПхе0 члй Йоабп8-роли елйвеЙс. Ргос. ГЕЕЕ, 57(10), 1735-1747.
Магсе1 1. О. апд бгау А. Н.(1975) Р|хей-ро|псппр|евепсасюн а$8опсЪпя Гог а с1ав оГ огйо8оиа$ ро1упопиа! ЙИег ягиспзгез. !ЕЕЕ Тгаля. Асоиччкя, Б)зеесЬ алА Б18иа! Ргосеялл8, 23(5), 486-494. Маг|се3 !. О. апд бгау А. Н. (1975) КоипсЬИ'по!в сЬагассегкисз оГ а с|вв оГ ольо8опз$ ро!упав|в! зслкснгев. !ЕЕЕ Тгалк А сочился, БреесЬ алс( Б$8па! Ргосеьтй 23(5), 473-486. Магога|а (! 988) Ос8сса! Бсегеа 30-Йали бгарйс ЕяааIьег ГсяСлх гЙе ОБР5600!. Моюго1а Арр!канон Носе.
606 Глава 8. Разработка фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров) 8.А.1. Реализации на С инвариантного преобразования импульсной характеристики Вп+ Вгп А, + А,п+ Азаз' (ЗА, 1) Эквивалентная передаточная функция на з-плоскости — зто также звено второго поряд- ка, имеющее вид Ьр + Ь1з 1+а,г '+азг з (8А.2) Программа 8А.). Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики (Приl мечанне: по сравнению с уравнениями, приведенными выше, коэффипненты А и В, а также а и Ь имеют обратное значение) метод инвариантного преобразования импульсной характеристики Перед использованием программы аналоговую передаточную функцию * следует нормировать 30.10.92 * */ ()1лс1лк)е <птк)1о.Ь> $1лс1иае <паКЬ.Ь> ()1лс1иае <с)оз.Ь> чо1а к)ШЕег()к с(онь1е т; ооиь1е аО, а1, а2, ЬО, Ь1, Ь2; аоиьье р1, р2, рг, р1; к)оиЬ1е с1, с2, сг, с1; 11оас ЛО, Л1, ВО, В1, В2, <еюр; юа1л() ( Обратите внимание на то, что в программах на С коэффициенты Аь и Вь аналоговой передаточной функции и коэффициенты аь и Ьк дискретных фильтров — зто векторы коэффициентов числителя и знаменателя соответственно.
В отличие от обозначений в программах, в уравнениях (8А.))-(8А.8) эти коэффициенты обозначены так, чтобы согласовываться с коэффициентами, использованными в т-файлах МАТ1.АВ. Реализация инвариантного преобразования импульсной характеристики на С приведена в программе 8А.). Подытожим вначале концепции, на которых основана программа, а затем проиллюстрируем ее использование на примере. Ниже будет рассматриваться звено фильтра второго порядка, поскольку оно является основным стандартным блоком цифровых БИХ-фильтров. Рассмотрим общую передаточную функцию второго порядка на п-плоскости, которую нужно преобразовать в дискретную передаточную функцию: Приложения 607 /« инициализация коэффициентов «/ АО=О> А1=0; ВО=1; В1=О; В2-О: аО=О; а1=0; ЬО=1; Ы-О; Ь2-О; с1=0; с2=0; р1=0ю р2 0; а2 0; /* считываются коэффициенты в-плоскостн */ рг1пГТ("1юрц1ве 1пчаг1апт с1всгете 111тегв 1п"]; рг1пГТ("1п"); рг1пГТ("ептег в-р1апе соеШс1ептв 1п"]; рг1пгТ("епгег сепою1пагог соеТТв: ВО, В1, В2 1п"); всапТ("ЪТ ЪТ Ъг", аВО, вВ1, аВ2); рг1пГТ("епхег пцюегасог соеТТв: АО, А1 1п"]; всапТ("ЪТ ЪТ", вАО, аА1); Т=1) сТ111ег()' рг1пгТ("М")' рг1пГТ("ргевв ептег го сопт1пие1п")," оетсь(); ех11(0); ) /* ПТ11сег() чо1с ( /* находятся полюса на в-плоскости */ Геюр = В1*В1 — 4*ВО*В2; 11[В2==0)( /* один полюс */ р1 -ВО/В1; аО=АО/В1; Ы -ехр(р1«Т); 11(теюр.о)[ /« действительные неравные полюса «/ рг=-В1/(2*В2); р1 (рг*рг)-ВО/В2; р1-вцгп(р1): р1 рг+р1; р2=рг-р1; с1 (АО+А1«р1)/((р1-р2)*В2]; с2 А1/В2-с1; ао=с1+с2; а1=-(с1*ехр(р2*Т] + с2*ехр(р1«Т)); Ы=-ехр(р1*Т]-ехр(р2*Т); Ь2=ехр((р1+р2)*Т); 11(теюр,о)( /* комплексно-сопряженные полюса */ рг=-В1/(2*В2); р1=(рг*рг)-ВО/В2; р1 всгп(-р1); сг=А1/(В2«2); с1=-(АО+А1*рг)/(2«р1*В2); ао 2*сг; а1=-(ох*сов(р1«Т)+с1*в1п(р1*Т))«2«ехр(рг*Т); Ь1=-2*ехр(рг*Т)*сов(р1*Т); 60$ Глава 8.
Разработка фильтров с бесконечной импульсной кара«теристикой (БИХ-фильтров) Ь2 ехр(2*рг«т)1 ) рг1пс1("2)1всгеее 111«ег соеггв1 '«пР)1 рг1пег("ао а1 а2: «гаг М $1 '1п", ао, а1, а2)1 рг1псг(РЬО Ьт Ь2: 1еаг Ъг Ъг '«п", ЬО, Ь1, Ь2); Для данных коэффициентов аналоговой передаточной функции Н(в) программа на языке С (программа (8А.1)) вычисляет коэффициенты эквивалентной передаточной функции в г-области Н(г). Чтобы понять, как работает программа, установим связь между коэффициентами Н(в) и Н(г). Используя разложение на элементарные дроби, передаточную функцию на в-плоскости в формуле (8А.1) можно выразить следующим образом: Ва/Аз+ (В1/Аз)з с1 сз + Аа/Аз+ (А1/Аз)з+ вз з — р1 в — рг' где р, и рз — полюса Н(в) на з-плоскости, которые определяются выражением 2А 2А А (8АА) (8А.5, б) Из этой системы находим с, и сз. В + В,р, (р, — рз)А,' В, Сз = — — С,.
А, (8А.б, а) (8А,б, б) Применяя к выражению для Н(в) в форме (8А.З) инвариантное преобразование импульсной характеристики, получаем дискретную передаточную функцию Н(г): с1 +с« — (сзек'т+ саек'т)г 1 Н(г)— 1 — (еР1т + еР2т)г — 1 + е1Р1+Р2)тг-2 Ь,+Ь, -' 1+ о,г-1+ „зг-2 ' (8А.7) где Ьа = с1 + сз, Ь1 —— -(с1е~~ + саек'т) г Р,т+ екзт1 1Р 2.22)т а1 = — (Е )~ 2 Умножая обе части уравнения (8А.З) на (в — р,)(в — рз) и приравнивая коэффициенты при в и свободных членах, получим  — = — (С1Р2 + С2Р1), Аз В, — = С, +аз.
А, 699 Прилоывния р1 и р2 определены в уравнении (ЗА.4), а с, и сз — в уравнении (ЗА.б). Итак, зная коэффициенты фильтра второго порядка на ь-плоскости (т.е. Аь, Ап Ам Вь и В,)„коэффициенты эквивалентного дискретного фильтра можно получить непосредственно с помощью приведенных выше соотношений. Вычисление коэффициентов Н(ь) в уравнении (ЗА.7) зависит от типа полюсов на ь-плоскости р1 и рз. На практике возможны три варианта: 1) действительные н неравные; 2) пара комплексно- сопряженных; 3) действительные равные (т.е. совпадающие полюса). Поскольку третий случай встречается редко и является более сложным, рассмотрим только первые два.
В первом случае уравнение (8А.7) можно использовать непосредственно для получения коэффициентов Н(ь). Во втором случае можно применять упрощенную форму (8А.7) и избежать комплексной арифметики. Используя свойства полюсов, перепишем уравнение (8А.7) для второго варианта в виде (с +,.) („Р)т+ . Р,т) -1 Н() (еР1ть 1 )ь-1 + ьбчьР1т)2-2 2сл, — '1сл соь(Р1„,Т) + с1„, ьт(Рг„,Т)'12еьь ть ' 1 — 2еьь т соь(р1,„Т) 2 1 + сььь ть-2 где рл, — действительная часть р1, р1 — мнимая часть рм сл, — действительная часть сп а сг„— мнимая часть с,. Из уравнения (8А.4) находим действительную н мнимую части р1.
Рв = — 24 Р~ = — 24 — 4 Из уравнения (8А.б) находим коэффициент элементарной дроби с11 В, Во+Врл,, С1 —— —— 1 = Сл + 1ег». 2А2 2рг,„А2 Следовательно, если полюса Н(ь) являются пзмплексно-сопряженными, в стандартной форме коэффициенты передаточной функции второго порядка на ь-плоскости записываются так: Ьв — — 2сл„б1 = — (слР соь(р,,„Т) + с1,„ь1п(р1 Т)12сР"'Т п2 2е1 л,т соь(р1 Т) о2 Р2Рь т ПрпмерЩ4:-; Используем программу 8А.1 для расчета коэффициентов дискретного фильтра из примера 8.4, Предполагается, что частоты нормированы.
При частоте дискретизации 1280 Гц н частоте среза 150 Гц нормированная частота среза равна 150/1280. Передаточная 810 Глава 8. Разработка фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров) функция вначале масштабируется путем замены в иа в/а, где а = 2к х 150/1280 = О, 73631: „г )з '(в) аз+ тГ2кгв+ вз 1+ (~/2/кт)з+ (1/стз)зз 1+ 1 920675з+ 1 84496зз Ниже приводятся запросы и выход программы. Рассчитанные дискретные коэффициенты идентичны зиачеииям, полученным в примере 8.4. 1вро1ве 1пваг1апс о1всгесе г11сегв епкег в-р1апе соеШс1епкв епкег бепоа1пасог соеггв: АО, А1, А2 1 1.920575 1.84495 епсег поаегасог соегтв: ВО, 81 1 0 о1всгесе Шсег соеггв: ЬО Ь1 Ь2: 0.000000 0.307718 0.000000 аО а1 а2: 1.000000 -1.030953 0.353088 Приведенный листинг позволяет сразу записать передаточную функцию иа г-плоскости 0,307718г ' 1 — 1,030953г ' + 0,353088г з Коэффициенты идентичны значениям, полученным в примере 8.4.
й:-',6.Б.',Разработка;.БИХ;фйльтроа'"он й)змо~уью"'МАТЮКАВ~,',".'~~ь~~~ ~~~ Средство МАТ).АВ 818па1 Ргосезз1пй Тоо!Ьох предлагает много полезных функций для разработки и анализа классических БИХ-фильтров (иапример, Баттерворта, Чебышева типа 1 и П, эллиптических фильтров) для данного набора спецификаций (например, граиичиые частоты полос пропускаиия и подавления, неравномерность в полосе пропускаиия и затухание в полосе подавления). В частности, Тоо!Ьох предлагает функции преобразования классических аналоговых фильтров в эквивалентные фильтры дискретного времени. Напомним, что критичным этапом разработки цифрового БИХ-фильтра является расчет хоэффициеитов.
Для классических цифровых БИХ-фильтров можно слез~ющим образом подытожить действия иа этом этапе. 1. Задать дискретный фильтр. 2. Определить подходящий аналоговый фильтр нижних частот, например, с характеристикой Баттерворта, Чебышева типа 1, Чебышева типа П или эллиптической характеристикой. 3. Преобразовать аналоговый фильтр-прототип в фильтр нижних частот, верхних частот, полосовой или режекториый. 4. Перевести преобразованный фильтр в эквивалентный фильтр дискретного времени (иапример, используя метод инвариантного преобразования импульсной характеристики или билинейного г-преобразоваиия). 611 Приложения Средство Б[япа! Ргосеьз[пд Тоо[Ьох предлагает несколько высокоуровневых функций для одновременного или поочередного выполнения этапов 2-4. Приведем, например, синтаксис команды МАТ[.АВ для создания фильтра нижних частот, верхних частот, полосового нли режекторного фильтра с характеристикой Батгерворта (этапы ] и 2): [Ь,а] Ьигеег(М, Мс, оре1опв) [а,р,)с] ьоегег(м, мс, орг1опв) Первая команда определяет коэффициенты числителя и знаменателя фильтра Баттервортадискретного времени У-го порядка с частотой среза по уровню 3 дБ (илн граничной частотой) Ио нормированной на частоту Найквистк Коэффициенты числителя и знаменателя фильтра возврашаются в векторы 6 и а соответственно по возрастаюшим отрицательным степеням г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
