Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия (7-е изд., 2004) (1095460), страница 35
Текст из файла (страница 35)
2 3 3 гл. 1) и формулу для расстояния от точки М до прямой 0 (см. п. 7 Ч 1 гл. 5), получим (6.40) ) Эти уравнения, как было выяснено в $ ! этой главы. являются уравнениями эллипса и гиперболы г! Формула (6 37! вытекает ив формулы с = ЯΠ— или формул НР = р и ЯО = — = Р е ! — е — — =1 (т.е. является гиперболой) '). Пусть )с — точка пересечех у а Ь ния прямой 1) и прямой А, проходящей через Р перпендикулярно 1) (рис. 6.12). На прямой А выберем положительное направление от Р к гт' при е <! и от гс к Р при е > 1 (на рис. 6.12 показан случай е < 1).
Так как дальнейшие рассуждения для случая е > 1 и е < 1 идентичны, мы проведем их подробно для е < 1, т.е. для случая, определяющего эллипс. Обозначим через р расстояние между точками г и й. Вспоминая расположение директрисы эллипса относительно его центра (см. п. 2 этого параграфа), естественно выбрать начало О координат на прямой А слева от точки гс на расстоянии а/е. При заданных е и р величина ауе может быть определена при помощи формулы (6.27) (см. также замечание 4 п. 2 этого параграфа). Иными словами, естественно положить диРектРисы эллипсА, ГипБРБОлы и ИАРАБОлы $ з| 163 т! = — — х '). е (6.41) Из (6.39), (6.40) и (6.41) вытекает, что соотнои|ение Р— х 1 — е =е (х — с) +у (6.42) представляет собой необходимое и достаточное условие расположения точки М с координатами х и у на геометрическом месте (М).
Поэтому соотношение (6.42) является уравнением геометрического места (М). Путем стандартного приема «уничтожения радикалов», а также используя формулы (6.36) и (6.37), это уравнение легко привести к виду х' у' — + — =1, а Ь (6.43) где Ь = а — с . а 2,2 Для завершения доказательства нам нужно убедиться в том, что в процессе преобразования уравнения (6.42) в уравнение (6.43) не появились «лишние корни«. Рассуждая, как и в п. 1 Э ! этой главы, мы убеждаемся, что расстояние г от точки М, координаты х и у которой удовлетворяют уравнению с (6.43), до точки Г (с, О) может быть вычислено по формуле г = а — — х. а ре Используя соотношение (6.37) и формулу а =,, получим для г сле- 1 — е дую|цее выражение: (6.44) г= а — ех.
Так как точка М, координаты х и у которой удовлетворяют (6.43), расположена слева от прямой 7) (для таких точек х < а, а для точек прямой 12'; х = ау'е, где е < 1), то для расстояния д от М до В справедлива формула (6.41).
Отсюда и из формулы (6.44) вытекает, что для рассматриваемых точек М выполняется соотношение г||д = е, т.е. уравнение (6.43) является уравнением геометрического места (М). Аналогично рассматривается случай е > !. 3 а м е ч а н и е. Используя доказанную теорему и определение параболы, мы можем сформулировать следующее определение отличного от окружности эллипса, гиперболы и параболы. ') Формула (БЛ|) верна лишь для точек М (х, у), расположенных слева от прямои О.
Однако точки, расположенные справа от прямои 2), равно как и точки прямой 2), можно исключить иэ рассмотрения. так как для этих точек г)г > 1, а мы рассматриваем точки, для которых суй = е < 1. 1ГЛ 6 ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 164 Определение. Геометрическое место ТМ) точек М плоскости и, для которыя отногиение е расстояния г до точки с этой плоскости к расстоянию д до прямой О, расположенной в плоскости п, есть величина постоянная, представляет собой либо эллипс (при О < е < 1), либо параболу (пргг е = 1), либо гиперболу1при е > 1).
Точка Е называется фокусом, прямаяТ) — д и рек т р и с ой,ае — э к сц е н т р и с и т е т о м геометрического места ТМ). 4. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения. В начале этан главы указывалось. что зтлипс, гипербола и парабола представляют собой линии пересечения круговою копуса с плоскостями, ие проходящими через ею вершину В этом пункте мы докажем теорему, обосновываюшукз справедливость этого утверждения. Теорема 6.4. Пуст~ й — кривая, яаляюснаяся эхглилсом '), гиперболои или параболой Можно указать такой круговой конус К и такую плоскогть к, что линия пе- ресечения плоскости к с конусом К представ- В ляет собой кривую Д Прежде чем переити к доказательству этан теоремы, сделаем следующее замечание.
3 а м е ч а н и е Пусть й" — линия пересечения конуса К с некоторой плоскостью к, не проходяюей через вершину конуса, а й — линия, подобная й". Наидется таже плоскость к, линиеи пересечения которои с К будет линия Д Суньествование такои плоскости очевилно, ибо параллельные плоскости пересекают конус К по подобныы линиям, коэффициент подобия которых равен отношению расстояний от вершины конуса до этих плоскостеи. Доказательство теоремы 64 Очевидно, линия пересечения конуса К с плоскостью. пер пенди кузю рнон его оси и не проходпщеи через его вершину, представляет собои окружность, т.е, эллипс, эксцентриситет е которого равен нулю Рассмотрим плоскость к", не перпендикулярную оси АВ конуса К и не проходящую через его вершину 01рис 613).
Пусть) "— линия пересечения эгон плоскости и конуса Впишем в конус А сферу 5. касаюгдуюся плоскости к* в точке Г Пусть ю — плоскость окружности )т, по которои Рис. 6.13 сфера 5 касается конуса К. и 0 — прямая. по которои пересекаются плоскости и" и со. Убедимся, что й удовлетворяет требованиям определения, сформулированного в предыдушем пункте, т.е, является либо отли шым от окружности эллипсом, либо параболои, либо гиперболои. В процессе рассуждении выясним, что в зависимости от наклона плоскости к" и от величины угла, которыи составляют образуюшие конуса с его осью, кривая й* может иметь любой положительный эксчентриси тем е. Этим.
очевидно, н будет завершено доказательство теоремы, так как гюбзые две кривые второго порядка ') г одииаковыя зксцентриситетам подобны Гсм пп 3 и 4 й 2 этои главы и замечание 2 п 1 $ 3 ) При этоы эллипс может представлять собой окружность ) То есть эллипс, гипербола или парабола ДИРЕКТРИСЫ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ И ПАРАБОЛЫ $ 61 165 этои главы), а согласно сделанному перед доказательством теоремы замечанию, люоая кривая Ы подобная линии Е" нервов гения конуса К с плоскостью л", также представляет собой тчнию пересе«ения этого конуси с некоторой пггоскостью л. Пусть М вЂ” произвотшная точка кривои Е',МР— перпендикуляр из этой точки на плоскость ш, МΠ— перпендикуляр из М на прямую О,МР— отрезок, соединяюшии точки М и Р,МАг — отрезок образуюгпей конуса (эта образуюгпая проходит через точку М, а Аг — точка пересечения с окружностью Р).
Так как МР и МА' — касательные к сфере 5 из одной точки М, то (МР( = !Мдгр Обозначим через Р угол, который составляет образуюшая конуса К с его осьиз, а герез а — угол между п.зоскостями л' и ю. Очевидно, значения Р заклгочены в пределах О < Р < л(2, а значения а — в пределах О < а < л/2 '). Из рассмотрения треугольников МРК и МРЯ, а также из равенства !МА') = !МР) вытекает, что (М!'! = )А!Р((соз Р. (МЦ! = )МР!)яп и Таким образом, для любои точки М кривои А' справедливо равенство (МР) /(МО! = яп а/соз Р Поскольку для заданного конуса К и фиксированиои плоскости к' отношение яп а('соз Р не зависит от точки М, то для кривой Е выполнены условия определения пргдьгдущгго пункта, т.е.
эта кривая Е" является либо отли«нылг от окружности эллипсом, либо гиперболой, либо параболои. При этом экспептриситет в кривой 1 ыожет быть вычислен по формуле в=юла(соз р (6 45) Докажем, что путем выбора углов и и Р можно получить для и любое положительное значение. Выберем, во-первых, Р так, чтобы величина е соз Р была ыеньше 1. Такои выбор Р возможен, так как Р— любое число из интерва.ва (О, л('2) Остается выбрать а так, чтобы выполнялось равенство яп а = асов Р (эта формула представляет собои записанную иначе формулу (6.45)). Очевидно, достаточно положить о = агсяп (е соз Р). Теорема доказана. (6.46) Рассмотрим теперь кривую !'., представляющую собой отличный от окружности эллипс или параболу.
Пусть Š— фокус кривой )., 0 — отвечающая этому фокусу директриса, р — расстояние от Р до Й и е — эксцентриситет !'.. Пусть полюс полярной системы координат совпадает с Р, а полярная ось перпендикулярна 0 н направлена так, как указано на рис. 6.14. Пусть М вЂ” любая точка !'.. Согласно определению й (см. п. 3 этого параграфа) ( РМ ~ ) МР ! (6.47) )а н О, так как плоскость л' не перпендикулярна оси конуса. б. Полярные уравнения эллипса, гиперболы и параболы. Обратимся сначала к окружности радиуса /с. Если полюс полярной системы поместить в центр окружности, а полярную ось — произвольно в плоскости окружности, то, очевидно, искомое полярное уравнение будет иметь вид 1гл 6 166 липни второго порядкд Так как 1РМ) = р, а )МР) = )1РНэ-т]гМ) =р жр соз ср '), то из 16А7) находим следующее выражение для р: ре Р= 1 — есов]р Соотношение (6.48), представляет собой полярное уравнение отличного от окружности эллипса или параболы.
1]ис, 6.14 Рис, 6.15 Обратимся теперь к гиперболе. Пусть Р— один из ее фокусов, Р— отвечающая этому фокусу директриса, р — расстояние от Е до В, е— эксцентриситет гиперболы. Пусть Ю'] — ветвь гиперболы, отвечающая фокусу Р, а Ут'а — другая ветвь гиперболы гна рис. 6.15 Š— правый фокус гиперболы и Ж', — правая ее ветвь). Рассуждая, как и в случае эллипса или параболы, легко убедиться, что полярное уравнение ветви )вт] гиперболы имеет вид (6,48), Для ветви )а"в полярное уравнение имеет иной вид. Заметим, во-первых, что для точек М ветви Ю; справедливо соотношение 16.47). Выражения для 1РМ~ и ~1МР~ имеют следующий вид: (РМ) =р, ~МР~ = ~МДт — РХ~ = — р сок ср — р ).
(6.49) Используя формулы 16.49), найдем из (6.47) следующее полярное уравнение ~с~~~ )Г,: — ре Р= 1ч-есовф Таким образом, полярное уравнение гиперболы имеет вид ре для ветви )рп 1 — есовф 16.50) -ре для ветви Ф~. 1~-есовф ') Эта формула верна и в случае, когда Л) находится левее Р]]], ибо в этом случае соэ З] < О 2 ) таК КаК ДЯЯ ВЕТВИ )Рт УГОЛ Д] тУПОИ, тО СОВ ф < О, И ПОЭТОМУ МХ = — Р СОВ ф. КАСА!'ЕЛЬНЫЕ К ЭЛЛИПСУ, ГИПЕРБОЛЕ И ПАРАБОЛЕ 167 В 4. Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе 1. Уравнения касательных к эллипсу, гиперболе и параболе. Убедимся, что каждая из кривых Е, являющаяся эллипсом, гиперболои или параболой, представляет собой объелииенне графиков лвух функции. Рассмотрим, например, каноническое уравнен ~ив эллипса (6 4) Из этого уравнения следует, что часть эллипса, точки которои имеют неотрицательные ординаты у, есть график функции г,' у=Ь (! — —, при — а<к<а, а з (6 51) а часть эллипса, точки которой имеют неположительные ординаты, есть график функции у = -Ь, 1 — при -а < х < а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
