Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия (7-е изд., 2004) (1095460), страница 38
Текст из файла (страница 38)
3 а м е ч а н и е 4. Если начало координат перенесено в центр О' центральной линии Е второго порядка, то уравнение этой линии будет иметь вид 177 кеивыс втого1о пояядкл й 51 в котором, по предположению, ам м О. При этом предположении очевид- но, что (6.78) имеет следующее решение: (6.79) с1п 2ф = (ап — атт)72аш. Итак, если мы повернем систему координат на угол гр, определенный из равенства (6.79), то в повернутой системе координат уравнение линии 1. не будет содержать слагаемого 2а;тх'у' и, кроме того, согласно формулам (6.67), а;з = аз,. Иными словами, это уравнение будет иметь следующий вид: а,',х" е аззУ'в + 2а,'зх'+ 2а~зУ'+ азз — — О.
(6.80) 6. Упрощение уравнения центральной линии второго порядка (1а ~ О). Классификация центральных линий. Выводы, сделанные в предыдущих двух пунктах, позволяют решить вопрос о классификации всех центральных линий второго порядка. Решение этого вопроса мы проведем по следующей схеме. Во-первых, путем переноса начала координат в центр линии (6.60) мы приведем ее уравнение к виду (6.77). После этого произведем стандартное упрощение уравнения (6.77): 1) если а,. = О, то оставим систему координат О'х'у' неизменной и изменим лишь обозначение х' на х", у' на у", а„на а",,; 2) если а„л О, то перейдем к повернутой системе координат О'х "у", вычисляя угол поворота <р по формуле (6.79) и используя при этом формулы (6.67) (с заменой а,, 'на а,",) и формулу (6.80).
В обоих указанных случаях найдем, что уравнение любой центральной линии 1. в системе координат О'х "у" имеет вид 15 а,",х" +аззу" + — '= О. (6.81) Лальнейшая классификация линий основывается на анализе уравнения (6.81). При этом используется связь коэффициентов а, и а',~з с инвариантами 1, и 1, Рассмотрим отдельно линии эллиптического типа и линии гиперболического типа. 1'.
Линии эллиптического типа (1, > 0). Обратимся к исходному уравнению (6.60) линии 1. эллиптического типа. Так как 1,=апазз— — ага > О, то а нам > О, т.е. коэффициенты а, ~ и азз оба отличны от нуля з и имеют одинаковый знак, совпадающий со знаком 1н поскольку 1, =оп е а,. Без ущерба для общности можно считать оба эти коэффициента положительными (этого всегда можно добиться нормировкой исходного уравнения (6.60), т.е. умножением его на — 1 (при такой нормировке знак инварианта 1, станет положительным, знак инварианта 1з не меняется).
~ГЛ В линии ВТОРОГО ИОРядкА Справедливо следующее утверждение. Теорема 6.6. Пусть уравнение (6.60) линии Л эллиптического типа (1,>0) нормировано так, что 1, >О. Тогда при 1,<0 это уравнение представляет собой эллипс. При 1з =0 уравнению (6.60) удовлетворяют координаты лишь одной точки. При 1з>0 уравнению (6.60) не удовлетворяют координаты никакой точки плоскости. При 1з -— 0 уравнение (6.60) называется уравнением вырожденного эллипса. При 1з > 0 (6.60) называешься уравнением мнимого эллипса. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Так как для уравнения (6 81) 1, = а",, и а '.;ш а 1з — — а '~'~ а ';ш то из условия 1, > 0 и !з > 0 вытекает положительность а, и а зь Поэтому уравнение (6.81) линии ь может быть записано следующим образом: (6.82) (6.83) (6.84) Очевидно, что уравнение (6.82), отвечающее случаю 1з < О, представля- Г:7 Г:7 ет собой каноническое уравнение эллипса с полуосями ~ „и у 1за,1 )) 1за. Уравнению (6.83), отвечающему случаю 1з — — О, удовлетворяют координаты лишь одной точки х" = О, у" = О. Уравнению (6,84) не удовлетворяют координаты никакой точки плоскости, ибо левая часть этого уравнения не отрицательна, а правая отрицательна.
Для завершения доказательства теоремы достаточно заметить, что каждое из уравнений (6.82), (6.83), (6.84) эквивалентно исходному уравнению (6.60) соответственно для случаев 1з < О, 1, = О, 1з > О, и поэтому сделанные выше геометрические выводы для уравнений (6.82), (6.83) и (6.84) справедливы и для уравнения (6.60). Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е 5. Остановимся подробнее на случае, когда уравнение (6.60) эллиптического типа определяет эллипс. При этом мы будем считать, что это уравнение нормировано так, что 1, > О.
Координаты (хь, уь) центра этого эллипса представляют собой решение систе- кеивыь втоеого понядкл $5! мы (6.74). Так как новая ось О'х" является одной из главных осей эллипса (это вытекает из того, что в системе О'х "у" уравнение эллипса имеет канонический вид, и поэтому оси координат О'х" и О'у" совпадают с главными осями эллипса (см. п. ! 6 2 этой главы)), то угол наклона зр этой оси со старой осью Ох может быть найден по формуле (6.79).
Наконец, из уравнения (6.82) вытекает, что полуоси эллипса Г:7 )' -7 равны (, и ~,, причем коэффициенты а, и а';, выражаются через коэффициенты ач исходного уравнения (6.60) (см. первую и третью формулы (6.67); при этом нужно положить а, = а;, и азз — — а;,). Итак, зная инварианты и формулы преобразования координат, можно вычислить полуоси эллипса и выяснить его расположение относительно исходной системы координат Оху.
2'. Линии гиперболического типа (!з < 0). Справедливо следующее утверждение. Теорема 6.7. Уравнение (6.60) линии ! гиперболического типа при 1, е 0 представляет собой гиперболу, а при !з = 0 — пару пересекаю- и(ихся прямвзх. Д о к а з а т е л ь с т в о, Так как для уравнения (6 8!) 1з = а';,а за, то из условия !а < 0 вытекает, что а, и а';, имеют разные знаки. Для определенности будем считать а, > О, а';а < 0 (случай а",, < О, а,';, > 0 рассматривается аналогично). Тогда уравнение (6.8!) может быть записано следующим образом: (6.86) при 1з — — 0 у =! при 1з>0 (6. 87) Очевидно, уравнение (6.85), отвечающее случаю 1, < О, представляет собой каноническое уравнение гиперболы, для которой ось Оу является действительной осью, а ось Ох — мнимой осью, причем мнимая и действитель- 1з 1з ная полуоси этой гиперболы соответственно равны ~ „ и 1гап 1з ( азз) ~ГЛ 6 180 ЛИПНН ВТОРОГО ПОРЯДКА Уравнение (6.87), отвечающее случаю 1, > О, также представляет собой каноническое уравнение гиперболы, для которой ось Ох является действительной осью, а ось Оу — мнимой осью, причем мнимая и действительная 1з 1з полуоси этой гиперболы соответственно равны '„и ~ 1) 1г ( агв) 'т'1гап Уравнение (6.86), отвечающее случаю 1, = О, можно записать в виде Этому последнему уравнению удовлетворяют лишь координаты точек, расположенных на прямых + =О, — ' =О.
1 1 ' 1 1 з/ап з1 — агг з/аг', х( — а.гг Для завершения доказательства теоремы достаточно заметить, что каждое из уравнений (6.85) — (6.87) эквивалентно исходному уравнению (6.60) соответственно для случаев 1з < О, 1з = О, 1з > О, и поэтому сделанные выше геометрические выводы для уравнений (6.85) — (6.87) справедливы и для уравнения (6.60).
Теорема доказана. 3 а м е ч а н н е 6. Остановимся подробнее на случае, когда уравнение (6.60) гиперболического типа определяет гиперболу, т.е. когда 1, ~ О. Координаты (х„, уо) центра этой гиперболы представляют собой решение системы (6.74). Угол наклона <р оси Ох ' (являющейся либо действительной, либо мнимой осью гиперболы) со старой осью Ох может быть найден по формуле (6.79).
Наконец, в процессе доказательства теоремы были указаны величины действительной и мнимой полуосей гиперболы. Их значения вычисляются через 1,, 1,, а, и а",,. Коэффициенты а';, и агг выражаются через коэффициенты ач исходного уравнения (6.60) (см. первую и третью формулы (6.67); при этом нужно положить а",, = а,', и а'.,'., = а;,). Уравнения асимптот гиперболы без труда могут быть найдены по ее каноническим уравнениям (6.85) или (6.87). Итак, зная инварианты и формулы преобразования координат, можно вычислить действительную и мнимую полуоси гиперболы и вьшснить ее расположение относительно исходной системы координат Оху. 6.
Упрощение уравнения линии параболического типа (1з = 0). Классификация линий параболического типа. Заметим, во-первых, что для уравнения (6.60) параболического типа инвариант 1, отличен от г г г нуля. Всамомделе, если1, =ап+а„=О, то1,=ап+агг++2апагг=О, кривыь второ)о порядкл 8 5) 181 11У 52а1зх +2аззУ ьазз = О. 2 (6.88) Дальнейшее упрощение уравнения (6.88) может быть достигнуто путем специального параллельного переноса системы координат Ох'у'. Пред- варительно перепишем (6.88) в следуюзцей форме: 2 азз а,', У + — ! +2а2зх ч азз — — = О 1, (6.89) Вид уравнения (6.89) подсказывает, как выбрать специальный параллельный перенос системы координат Ох 'у'.
Нам нужно, чтобы первое слагае° 2 мое 1, у'+ — "~ в левой части (6.89) имело вид 1,у "2, а остальные слагае- 1 мые сохранили свой вид. Поэтому следует положить у" равным у'+ —, а 23 1, х" равным х'. Итак, перейдем теперь к новой системе координат, полу- ченной путем следующего параллельного переноса: х" =х', у" = у'+ — '. (6.90) ) 12сли ой но, из —— О, то 11 — — ой и вместо уравнения 1688) мы получим уравнение бх 2 е 2о(зх'+аззУ'аозт —— О, котоРое пУтем изыенеииа обозначений х' на У', У' на х', о(з иа озз и озз иа о~з пеРеходит в УРавнение (6.88). аыз а22 2 т.е.
а„азз = — — — †. Так как?2=апазз — аы — — О, то, используя толь- 2 2 ко что полученное выражение для апазз, найдем, что — — — — = аш, ай аз. 2 2 откуда следует, что ап = азз — — ам — — О. Но, по предположению, по крайней мере один из коэффициентов ам, аз„а,з отличен от нуля. Итак, 1 ~ О. Произведем стандартное упрощение уравнения (6.60): 1) если а,з = О, то оставим систему координат Оху неизменной и изменим лишь обозначение х на х', у на у', а„на а,',; 2) если ам ~ О, то перейдем к повернутой системе координат Ох 'у ', вычисляя угол поворота по формуле (6.?9) и используя при этом формулы (6.67).
В обоих указанных случаях уравнение (6 60) примет вид (6 80). Так как для уравнения (6 80) 1, = а;, + а;2, 12 = а,', азм то из условия 1, ~ О, 12 — — 0 вытекает, что один из коэффициентов а;, и а;2 равен нулю, а другой не равен нулю. Для определенности будем считать а,', =О, а(2 ~0 (случай а,', ~0, азз = 0 рассматривается аналогично). При этом предположении 1, = азз, так как 1, = а;, -ь а;2 Итак, уравнение линии (6.60) параболического типа после стандартного упрощения может быть записано в следующей форме '): линии второго порядкд Введем обозначения а,з агз = аг'3, азз = азз — =' 1, В силу соотношений (6.89), (6.90) и (6.91) уравнение линии Г. параболического типа в новой системе координат О "х "у" примет вид Ггу +2агзх +азз =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
