Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия (7-е изд., 2004) (1095460), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Перейдем от координат х', у', г' к новым координатам х, у, г по формулам а22 и д имеются коэффициенты разных знаков, то цилиндр будет вещественным. Отметим, что в случае, когда аи и азз имеют одинаковые знаки, а д— противоположный, то величины — у,гаи и — д/а22 положительны. Обозначая их соответственно через аа и Ь', мы приведем уравнение (7.24) к виду х у — Ф вЂ” =1.
а Ь Таким образом, в отмеченном случае мы имеем эллиптический цилиндр. В случае, когда ап и а„имеют различные знаки, получим гиперболический цилиндр. Легко убедиться, что уравнение гиперболического цилиндра может быть приведено к виду х у — — — =1. Ь 3) Пусть р ~ О. Произведем параллельный перенос системы координат, выбирая новое начало в точке с координатами О, 0 — — ~. При этом а ') 2р) оставим старые обозначения координат х, у, г. Очевидно, для того чтобы получить уравнение поверхности 5 в новой системе координат, достаточно заменить в уравнении (7.23) г на г — — .
Получим следующее 2р уравнение: апх +а22у + 2рг=О. 2 2 (7.27) Уравнение (7.27) определяет так называемые параболоиды. Причем, если а, ~ и аза имеют одинаковый знак, то параболоид называется эллип- тическим. Обычно уравнение эллиптического параболоида записывают в канонической форме: х у г= — Ф вЂ”.
(7.28) Уравнение (7.28) легко получается из (7.27). Если ац и а22 имеют разные знаки, то параболоид называется гиперболическим. Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид х у г = — — —. 2 -2 Это уравнение также легко может быть получено из (7.27). 2'. Два из коэффициентов а,'О а,'2, азз равнГЯ нулю. Ради определенности будем считать, что а,', = 0 и а;2 = 0 (если равны нулю какие- либо другие два из указанных коэффициентов, то можно перейти к рассматриваемому случаю путем переименования осей координат).
Перейдем от х', у', г' к новым координатам х, у, г по формулам ам х=х', у=у', г=г'Ф вЂ” ' азз (7.30) 9 21 КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Г93 194 ПОВЕРХГЮСТИ ВТОРОГО !ЮРЯДКА Подставляя х ', у ' и г ', найденные из (7 30), в левую часть (7.! 5) и заменяя затем а;з на ага а;, на р, а;, на у и а,,', на г, получим следующее уравнение поверхности 5 в новой системе координат Охры: аззг" + 2рх+ 2ду+ с= О. 1) Пусть р= О, д =О. Поверхность 5 распадается на пару параллельньы плоскостей г =+~/ Г,Газа.
(7.32) При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки а„и г одинаковы, и вещественными. если знаки аз, и г различны, причем при с= 0 эти плоскости сливаются в одну. 2) Хотя бы один из коэффициентов р или у отличен от нуля. В этом случае повернем систему координат вокруг оси Ог так, чтобы новая ось абсцисс стала параллельной плоскости 2рх+ 2ду+ г = О. Легко убедиться, что при таком выборе системы координат, при условии сохранения обозначения х, у и г для новых координат точек, уравнение (7.31) примет вид атзг +24'у=О, 2 (7,33) которое является уравнением параболического цилиндра с образую- щими, параллельными новой оси Ох.
8 3. Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям 1. Эллипсоид. Для исследования формы эллипсоида обратимся к его каноническому уравнению (?.18) (см. п. 1 предыдущего параграфа) х' у' г- 2 2 а Ь~ с Из уравнения (7.18) вытекает, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии эллипсоида, а начало координат — центром симметрии.
Числа а, Ь, с называются полуосями эллипсоида и представляют собой длины отрезков, от начала координат до точек пересечения эллипсоида с осями координат. Эллипсоид представляет собой ограниченную поверхность, заключенную, как это видно из 17.18), в параллелепипеде 1х~ < а, ~у) < Ь, ~г~ < с. Чтобы более наглядно представить себе форму эллипсоида, выясним форму линий пересечения его плоскостями, параллельными какой-либо из координатных плоскостей. Ради определенности рассмотрим линии ?.ь пересечения эллипсоида с плоскостями 17. 34) исследОВАние ФОРмы пОВВРхпостеи ВТОРОРО ИОРядкА 195 Если положить Ьа Ьт а" =а ~1 — —,, Ь" =Ь ~1 — —,, с с (7.36) то уравнение (7.35) можно записать в виде х у =1, а" Ь' (7.37) т.е.
Е", представляет собой эллипс с полуосями а» и Ь', которые могут быть вычислены по формулам (7.36). Так как ).л получается »подъемом» (.в на высоту Ь по оси Ог (см. (7.34)), то и (.л представляет собой эллипс. Представление об эллипсоиде можно получить следующим образом. Рассмотрим на плоскости Оху семейство эллипсов (7.37)(рис. 7.1), полуоси а* и Ь' которых зависят от Ь (см. (7.36)), и каждый такой эллипс снабдим отметкой Ь, указывающей, на какую высоту по оси Ог должен быть »поднят» этот эллипс.
Мы получим своего рода «карту» эллипсоида. Используя эту «карту», легко представить себе пространственный вид эллипсоида. На рис. 7.2 изображен эллипсоид. Рис. 7хг Рис. 7! Эллипсоид может быть получен равномерным сжатием сферы относительно двух перпендикулярных плоскостей, Именно, если а — наибольшая полуось эллипсоида, то он может быть получен из сферы ') х у г — -Р—,.» — = 1 а а а ') Очевидно, сфера представляет собой эллипсоид с равными полуосяии параллельными плоскости Оху. Уравнение проекции Т.*л' линии Еа на плоскости Оху получается из уравнения (7.18), если положить в нем г = Ь.
Таким образом, уравнение этой проекции имеет вид х у й а Ь с ПОВЕРХГЮСти ВТОРОГО 2ЮРядкд ~гл 7 1эгз равномерным сжатием ее сначала относительно плоскости Оху с коэффициентом сжатия Ь/а, а затем относительно плоскости Охг с коэффициентом сжатия с,7а. В заключение отметим, что линии пересечения эллипсоида с плоскостями представляют собой эллипсы. В самом деле, такая линия представляет собой ограниченную линию второго порядка ) (ограниченность линии вытекает из ограниченности эллипсоида), единственной же ограниченной линией второго порядка является эллипс.
2. Гиперболоиды. 1'. Однополостный гиперболоид. Обратимся к каноническому уравнению (7.19) однополостного гиперболоида х у л — е — — — =1. а Ь с Из уравнения (7.19) вытекает, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии, а начало координат — центром симмегприи однополостного гиперболоида. Рассмотрим линии г.ь пересечения однополостного гиперболоида плоскостями г = 6. Уравнение проекции йь такой линии на плоскость Оху получается из уравнения (7.19), если положить в нем г = Ь. Полагая аа = а )1 1Р—, Ь* = Ь (1Š—,, с2 ' С2 ' (7.38) найдем, что уравнение этой проекции имеет вид 2 Ь.2 =1, (7.39) ') Преобразуем систему коорлиоат так, чтобы в новои системе коорлинат Ох'у'а' секуюая плоскость определялась уравнением 2' = О После такого преобразования эллипсоид будет определяться уравнением второго порядка Полагая в этом уравнении 2' = О,мы получим уравнение второго порялка линии пересечения эллипсоила и плоскости 2'=О ) Расположенная под плоскостью Оху часть однополостного гиперболоида симметри та рассматриваемои части относительно этой плоскости.
т.е. 2'.'л представляет собой эллипс с полуосями а* и Ь*. Рассмотрим «карту» расположенной над плоскостью Оху части одно- полостного гиперболоида 2), т.е, семейство эллипсов (7.39), каждый из которых снабжен отметкой Ь, указывающей, на какую высоту по оси Ог должен быть поднят этот эллипс (рис. 7.3). Обращаясь к карте однополостного гиперболоида, мы видим, что наименьший из рассматриваемых эллипсов (7.39) получается для 6 = 0 (см. также формулы (7.38)). Этот эллипс называется горловым. С увеличением 6 размеры эллипса (7.39) неограниченно увеличиваются.
Таким образом, однополостный ги- исследОВАние ФОРмы повеРхностеи ВТОРО1'О пОРядкА 197 Ь 31 перболоид представляет собой поверхность, состоящую из одной полости и подобную трубке, неограниченно расширяющейся в положительном и отрицательном направлении по оси Ог (рис. 7.4). Отметим, что сечения однополостного гиперболоида плоскости Оуг и Охг представляют собой гиперболы, определяемые соответственно уравнениями — — — =1 у 12 а х г~ и — — — =1 а с Эти гиперболы изображены на рис. 7.4. Горловой ллипс орловои эллипс Рнс 74 Рис 73 2'. Двуполостный гиперболоид.
Из канонического уравнения (7.20) х' у- г' — ч- — — — = -1 а Ьа с х у =1, а' Ь* !7.40) где ст ' са 17.41) Из формул (?.41) вытекает, что секущая плоскость г = Ь начинает пересекать двуполостный гиперболоид лишь при ! Ь ) > с '). Иными словами, в слое между плоскостями г = — с и г = с не содержится точек рассматриваемой поверхности; в силу симметрии относительно плоскости Оху она состоит из двух полостеи, расположенных вне указанного выше слоя. ') При ) А ( < с полнаренное выражение в формулах (7.41) отрицательно. двуполостного гиперболоида вытекает, что координатные плоскости являются его плоскостями симметрии, а начало координат — его Иентром симметрии. Линии ?.а пересечения двуполостного гиперболоида плоскостями г = Ь представляют собой эллипсы, уравнения проекций которых на плоскость Оху имеют вид повегх! юсти ВТОРОГО !югядкА На рис. 7.5 изображена экартаь верхней полости двуполостного гиперболоида.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
