Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия (7-е изд., 2004) (1095460), страница 36
Текст из файла (страница 36)
а 2 (6 52) Обращаясь к каноническому уравнению гиперболы (6 9), наидем, что гипербола представляет собой объединение графиков функции ху=Ь ~ —,— 1 и у= — Ь~ —,,— ! при х>а и х< — а, а а- (6.53) а из канонического уравнения параболы (6.15) вытекает, что эта кривая есть объелине- ние графиков функций у =,72рк и у = †.)2рх при х > 0 (бхп) Рассмотрим теперь вопрос о касательных к эллипсу, гиперболе и параболе. Естественно, что касательные к этим кривым будут также касатезщными к графикам функции (6.51)— (6 54) Вопрос о касательных к графикам функции подробно рассыотрен в вып, 1 настоящего курса (см вып, 1, гл 5, 9 1, и 4).
Наидем. например. уравнение касательной к эллипсу в его точке А( (х, у), считая при этому е 0 (пусть ради определенности у > 0) Пусть Х, У вЂ” текущие координаты точки касательнои. Так как ее угловой коэффициент Ь = у', хЬ где у' = — — производная функции (6.51), вычисленная в точке х, то уравнех а ат иие касательнои имеет вид г) у-у=- 'Ь (Х- ) т а 1 —-- з (6 5гт) ') Сьь гл. 5, уравнение (5.! 0) 3 а м е ч а н и е. Знаьгенатель в правой части соотношений (6.48) и (6.50) не обращается в нуль В случае эллипса. когда 0 < е < 1, это очевидно. Для параболы е = 1, но ф изменяется на интервале(0, 2л), и поэтому ~е соз ф! < 1.
В случае гиперболы легко убе- 1 диться, что для ветви (Р, угол ф изменяется на интервале (агссоз †, 2л — агссоз — 1, и е е поэтому произведение е соз ф либо заключено между пулем и единицей, либо отрица! й! тельно. Для ветви )Уз угол ф изменяется на (агссоз — — 71, 2л — агссоз( — ». Для этих е е» значении ф выражение е соч гр отрицательно.
но больше 1 по абсолютнои величине. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА !П) 6 168 Учитывая, что точка М (х, у) лежит на эллипсе (т.е ее координаты х и у удовлетворяют уравнениям (6 51) и (6 4)), получим после несложных преобразовании уравнение каса- тельнои к эллипсу в следу|оп!ей форме. Хх Уу — ч- — =1 (6 56) Рассуждая аналогично для случая гиперболы и параболы, получим следующие уравне- ния касательных к этим кривьпг Хх Уу лля гиперболы. —, — —,, =1, а- Ь (6 57) для параболы Уу = р(Х эх) (6 58) 3 а меч а и не !.
В предыдущих рассужлениях был исклю ~ен случай у=О. В соответствующих точках эллипса, гиперболы и параболы касательные вертикальны. Легко уоедиться, что уравнения (6 56)-(6.58) справедливы и в этом случае 3 а м е ч а и и е '2. Отметим, что касательная к эллипсу имеет с пим только одну общую точку — точку касания Аналогичным своиством обладают касательные к гиперболе и параболе. 2.
Оптические свойства эллипса, гипер- Е,* М балы и параболы. Установим следующее оппт тическое своиство эллипса лучи света, исходяи!ие из одного фокуга Е, эллинги, после зерЪ ка юного отражения от э шанса проходят эгргз в ~арой фокус (гз (рис. 6 16) Геометричесг ки указанное свойство означает, что отрезки МЕ, и МЕэ образуют с касательной в точке М эллипса равные углы. Допустим,*юо эллипс пе обладает указанным свойством, т.е.а, наг(рис 6 16).
Пусть Е; — зеркальное отражение фокуса Е, относительно касательнои К в точке М. Соединим Е, с М и Еэ Так каки, ипз, то точка М" пересечения прямой Е, Ег с касательной К не совпадаег с з оч кон М. Поэтоыу ~Е,М" ~ э ~ЕеМ'~ = ~Е,".Еэ~ < ~Е,М~ ч- ~ ЕэМ ~ =2а (6.59) (а — длина большой полуоси эллипса). Будем теперь перемещать точку М по касательнои Кот точки М. При таком перемещении сумма ( Е~М ) э !ЕзМ' ) нгограгшчгнио узаличиаагтся В начальный момент перемещения эта сумма, согласно (6.59), была меньше 2а. Поэтому в некотории момент эта сумма будет равна 2а, а это означает, что на касатетьной К, кроме точки М, будет еще олпа точка М* эллипса, отличная от А!.
Согласно замечанию 2 предыдущего пункта этого не может быть Таким образом, указанное выше своиство эллипса деиствительно справедлива Совершенно аналогично устанавливаются следующие оптические свойства гиперболы и параболы 1' Лучи света, исходящие ° з одного фокуса Е, гиперболы, после верка ~ьного отражения от гиперболы каэсутггя исходящими из другого гг фокуса Еэ (рнс. 6.17).
2 Лучи саста, исходящие из фокуса парабольк после зеркального отражения от ларабо гы образуют пучок, параллельный оси параболы (рис 6 18) 3 а м е ч а н и е 1. Оптические свойства элаипса, гиперболы и параболы широко испозшзуются в инженерном деле В частности, оптическое своиство параболы используется при конструировании прожекторов, антенн и телескопов 3 а м е ч а н и е 2. Назовем фронтом волны тече шаго исто шика света Е линию, лля всех точек О которои путь, проделаннын световым лучом, пришедшим нз источника )66 кривы» второ)о порядкл й 5! Р в точку О.
одинаков Если волна, вышедшая из точечного источника Р, не претерпевает отражений, то фронт ее. очевидно, будет представлять собои окружность Если же указанная волна отражается от некоторои кривои!., то форма ее фронта меняется в зависимости от вида кривои О Парабола обладает следующим замечательным свойством фронт Ф отроженной от параболы волны при ус ювии роспояоження источника свето в фокусе Р пораболы представляет собой прямую, ппраллшшную директрисе О этой перебоям !рис 6 !8) В самом деле.
рассмотрим прял|ую Ф, параллельови очи ную директрисе О. Пусть Π— произвольная точка этой прямой. Из оптического своиства параболы выч екает, что если РМ вЂ” падающии луч, приходящии после отражения в точку Д, то отраженный луч МО о о и Рис 6.)8 Рис 6 )7 перпендикулярен директрисе О. Обозначилч через Р точку пересечения луча МЦ с директрисой О Очсвидно сумма !йМ1 е )МР! равна !ОМ! е )МР! )Так как ! ЯМ! -» ~!МР~ = и, где и — не зависящее от точки О расстояние межлу прямымн Ф и О, то для любон точки Ц линии Ф сумма ! ЦМ ! е )МР ! одна и та же !равна и), т е Ф вЂ” фронт отраженнои волны 9 5.
Кривые второго порядка Обращаясь к каноническим уравнениям эллипса, гиперболы и параболы (см. уравнения (6.4), 16.9) и (6.15) этой главы), мы видим, что перечисленные кривые представляют собой алгебраические линии второго порядка 1см. гл. 4, э 1, п. 5). Естественно поставить вопрос о том, какие еи4е линии являются алгебраическими линиями второго порядка. Этот вопрос и рассматривается в настоян)ем параграфе. Рассмотрим обпгее алгебраическое уравнение второго порядка а Пх -» 2а,уху е а22у + 2а ых -» 2айау + аэа — - О. 2 2 Линия Л, определяемая этим уравнением (т,е, алгебраическая линия второго порядка), рассматриваемая как геометрический объект 2), не ') Согласно определению параболы )см. и.
3 4 ! этой главы). ) Меже» оказаться. что уравнение (6.60) не определяет линии этому уравнению могут удовлетворять координаты лишь одной точки или не наидется ни однои точки, координаты которой удовлетворягот (6.60). Однако и в этом слу ~ае мы будем говорить о геометрических обьектах, определяемых уравнением !6 60), называя эти объекты вырожденными или мннмыжн. Подробнее об этих вопросах см в гл 4 ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 170 ~ГЛ 6 меняется, если от данной декартовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравнение (6 60) и уравнение, полученное после преобразования координат, алгебраически эквивалентны (см. и. 5 ~ 1 гл. 4).
Можно ожидать, что при специальном выборе декартовой системы координат уравнение (6.60) примет настолько простой вид, что геометрическая характеристика линии й не будет представлять затруднений. Этим методом мы воспользуемся для выяснения всех типов линий второго порядка. В процессе рассуждений мы укажем правила, с помощью которых выбирается система координат, в которой уравнение линии Е выглядит наиболее просто.Мы сформулируем также признаки, позволяющие узнать тип линии второго порядка по ее исходному уравнению. 1. Преобразование коэффициентов уравнения линии второго порядка при переходе к новой декартовой системе координат.
Так как переход от одной декартовой прямоугольной системы координат на плоскости к другой декартовой прямоугольной системе координат может быть осуществлен путем некоторого параллельного переноса системы координат и последующего поворота (включая в поворот и зеркальное отражение (см. 3 1 гл. 3)), мы рассмотрим отдельно вопрос о преобразовании коэффициентов уравнения (6.60) при параллельном переносе и при повороте. При этом, конечно, будем считать, что е уравнении (6.60) по крайней мере адин из коэффициентов ап, а„или а;, отл и чен от нуля.
Условимся о следующей терминологии: группу слагаемых апх + + 2а,,ху+ аззу левой части (6.60) будем называть группои старших членов этого уравнения, а группу слагаемых 2аых+ 2ащу+ азз будем называть линейной частью уравнения (6.60). При этом коэффициенты ап, аы, азз бУдем называть коэффиЦиентами гРУппГЯ стауших членов, а коэффициенты аги азз и аю — коэффициентами линейной части (6.60). Коэффициент а„обычно называется свободным членом уравнения (6.60).
1'. Преобразоеиние коэффициентов при параллельном переносе. Пусть декартова прямоугольная система координат О'х'у' получена параллельным переносом системы Оху вдоль вектора ОО'. Как известно, старые и новые координаты точки связаны соотношениями (6.61) х=х'ч-хо, У=у +уо где хь, уо — координаты начала О' в системе Оху (см.
гл. 3, 3 1, формулы (3.12)). Подставляя выражения (6.61) для х и у в левую часть (6.60), мы получим уравнение ь в системе О'х'у . Очевидно, это уравнение имеет вид а,,х' ч-2аиах У'+ азаУ'~ ~-2а1зх'+ 2а,'зУ' еаза — — О, (662) кривык второго порядка а 3| где а,'!= а„хоч-а,зуоч-а,з, азз = а12хо ч. аззуо ч. азз азз=с'1!хо +2ащхоуо+!'2 Уо ч 2а1зхоч 21' зуоесзз. (6.63) Обращаясь к уравнению (6.62), мы можем сделать следующий важный вывод: при параллельном переносе системы координат коэффи)(иентьт группы старших членов не изменяются, а коэффициенты группы линейных членов преобразуются по формулам (6.63). 3 а м е ч а н и е 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
