Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия (7-е изд., 2004) (1095460), страница 31
Текст из файла (страница 31)
ф 1. Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы В начале этой главы мы говорили о том, что эллипс, гипербола и парабола представляют собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходяи(ими через его еергиину. Именно, если секущая плоскость пересекает все прямолинейные образующие одной полости конуса, то в сечении получится линия, называемая эллипсом (рис. 6.1 а). Если секущая плоскость пересекает образующие обеих полостей конуса, то в сечении получится линия, называемая гиперболой (рис. 6.1 б). И, наконец, если секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса (на 6.1 е — это образующая АВ), то в сечении получится линия, называемая параболой.
Рисунок 6.1 дает читателю наглядное представление о форме рассматриваемых линий. В этом параграфе даются специальные определения эллипса, гиперболы и параболы, основанные на их фокальных свойствах, и выводятся так называемые канонические уравнения этих кривых. Ниже, в п. 4 Э 3, будет установлена равносильность этих специальных определений и определений эллипса, гиперболы и параболы как конических сечений. 1. Эллипс. Определение. Эл л и и с ам называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксиро- КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 146 ванных точек с1 и ра этой плоскости, назьгваемых ф о к у с а м и, есть величина постоянная ).
Эллипс Гипербола Г)арабола Рис. 6.1 При этом не исключается совпадение фокусов эллипса. Очевидно, если фокусы совпадиют, то эллипс представэгяет собой окружность. Для вывода канонического уравнения эллипса выберем начало О декартовой системы координат в середине отрезка Г,Г2, а оси Ох и Оу направим так, м(л,у) как указано на рис. 6.2 (если фокусы г"г н У) Ра совпадают, то О совпадает с с г и Ра, а за гг ось Ох можно взять любую ось, проходяшую через О).
Г,(-с,о) О Гг(с,о) х Пусть длина отрезка и гРа равна 2с. Тогда в выбранной системе координат точки Рис 62 г"г и сд соответственно имеют координаты ( — с, 0) и (с, 0). Обозначим через 2а постоянную, о которой говорится в определении эллипса. Очевидно, 2а > 2с, т.е. а > с. Пусть М вЂ” точка плоскости с координатами (х, у)(рис. 6.2). Обозначим через г, и га расстояния от точки М до точек сг и с'г соответственно. Согласно определению эллипса равенство г, + гав - 2а (8.1) является необходимым и достаточным условием расположения точки М (х, у) на данном эллипсе. Используя формулу расстояния между двумя точками (см.
формулу (1.8) и. 2 ~ 3 гл. 1), получим ; =чг" )' .г', э =41:г' гь (8.2) ') Если М вЂ” точка эллипса (Рис 6 2), то )МГ~ ! Э 1МГг! = 2о, а так как сУмма двУх сторон Мдг и МГН треугольника Мд,ге больше третьей стороны Е,Гз = аг, то 2и э 2с. Случаи 2о = 2с естественно исключить, так как тогда точка М располагается на отрезке Гппг и эллипс вырождается в отрезок линии ВТОРОГО ИОРядкА !ш! 6 146 Из (6.1) и (6,2) вытекает, что соотноитение (6.3) представляет собой необходимое и достаточное условие расположения точки М с координатами х и у на данном эллипсе. Поэтому соотношение (6.3) можно рассматривать как уравнение эллипса. Путем стандартного приема «уничтожения радикалов» это уравнение приводится к виду х у — + — =1, 2 12 (6.4) где !2 2 2)) (6.5) с с г, =а+ — х, )2 =а — — х, а а (6.6) т.е.
г, + гз = 2а, и поэтому точка М располагается на эллипсе. Уравнение (6.4) называется каноническим уравнением эллипса. Величины а и Ь называются соответственно большой и малой полуосями эллипса (наименование «большая» и «малая» объясняется тем, что а > Ь). 3 а м е ч а н и е. Если полуоси эллипса а и Ь равны, то эллипс представляет собой окружность, радиус которой равен )т = а = Ь, а центр совпадает с началом координат.
) !1апомним, что о > с, и поэтому а — с > О. 2 2 ) Поскольку ~ х ~ < а и суп < 1 Заметим, что неравенство ~ х ~ < и непосредственно вытекает иа уравнения (6.4), иа которого ясно, что х~)от < !. Так как уравнение (6.4) представляет собой алгебраическое следствие уравнения эллипса (6.3), то координаты х и у любой точки М эллипса будут удовлетворять и уравнению (6.4). Поскольку при алгебраических преобразованиях, связанных с избавлением от радикалов, могли появиться «лишние корниьч мы должны убедиться в том, что любая точка М, координаты которой удовлетворяют уравнению (6.4), располагается на данном эллипсе.
Для этого, очевидно, достаточно доказать, что величины г, и гт для каждой точки удовлетворяют соотношению (6.1). Итак, пусть координаты х и у точки М удовлетворяют уравнению (6.4). Подставляя значение у из (6.4) в правую часть выражения (6.2) для ги после несложных с с 2 преобразований найдем, что г, = а + -х! . Так как а + — х > О ), то а а с с г, = а+ — х . Совершенно аналогично найдем, что сз — — а — — х. Таким а а образом, для рассматриваемой точки М КАН011ИЧВСКИВ УРАВНЕНИЯ 147 2. Гипербола. Определение. Ги пер бал ой назьсвается геометрическое место точек плоскости, для которой абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированньгх точек Р, и гв этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная ).
Для вывода канонического уравнения гиперболы выберем начало координат в середине отрезка Р,РФ а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 6.2. Пусть длина отрезка Р,г, равна 2с. Тогда в выбранной системе координат точки г", и га соответственно имеют координаты 1 — с, О) и 1с, О). Обозначим через 2а постоянную, о которой говорится в определении гиперболы. Очевидно, 2а < 2с, т.е.
а < с 2). Пусть М вЂ” точка плоскости с координатами (х, у) 1рис. 6.2). Обозначим через г, и га расстояния МР, и Мг"з Согласно определению гиперболы равенство ~г, — гз( =2а 16.7) является необходимым и достаточным условием расположения точки М на данной гиперболе. Используя выражения (6.2) для г~ и гз и соотношение (6.?), получим следующее необходимое и достаточное условие расположения точки М с координатами х и у на данной гиперболе: т1» )'+г'-4*- )'+г' =з' 16.8) Используя стандартный прием еуничтожения радикаловь, приведем уравнение 16.8) к виду х у — — =1, 16.9) а Ь где Аз=с' — а' (6.10) )т)ы должны убедиться в том, что уравнение (6.9), полученное путем алгебраических преобразований уравнения (6.8), не приобрело новых корней.
Для этого достаточно доказать, что для каждой точки М, координаты ) Фокусы Р, и Пз гиперболы естественно считать различными, ибо если указанная в определении гиперболы постоянная не равна нулю, то иет ни однои точки плоскости при совпадении Е, и Ез, которая бы удовлетворяла требованиям определения гиперболы. Если же зта постоянная равна нулю и Г, совпадает с си то любая точка плоскости удовлетворяет требованияы определения гиперболы. в) Если М вЂ” точка гиперболы, то ( МР, ! — )Мрз ! = 2о, а так как разность двух сторон МГ, и Мдз треугольника Мгг~дз меньше третьеи стороны Р, Рз = 2с, то 2о > 2с.
Случай 2о = зс естественно исключить, так как тогда точка М располагается на прямои Р<рз вне отрезка Е~ Ез и гипербола вырождается в два луча липни ВТОРОГО ИОРядкА 1гл б 14 И х и у которой удовлетворяют уравнению (6.9), величины г, и ге удовле- творяют соотношению 16.7). Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые были сделаны при выводе формул (6.6), найдем для интересую- ших нас величин г~ и гз следующие выражения ): с а+ — х при х>0, а с — а+ — х при х>0, а 16.
11) с -а — — х при х<0, а с а--х при х < О. а Таким образом, для рассматриваемой точки М имеем ~ г, — га~ = 2а, и поэтому она располагается на гиперболе. Уравнение 16.9) называется каноническим уравнением гиперболои Величины а и Ь называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. 3. Парабола. Определение.
Па р а бал о й называется геометрическоеместо точек плоскости, для которгях расстояние до некоторой фиксированной точки с этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, также расположенной в рассматриваемой плоскости. Указанная в определении точка Е называется фокусом параболы, а фиксированная прямая — директрисой д) параболы. Для вывода канонического уравнения параболы выберем начало О декартовой системы координат в середине отрезка сО, представляющего собой перпендикуляр, Рис бз опугценный из фокуса г" на директрису '), а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 6.3.
Пусть длина отрезка Ест равна р. Тогда в выбранной системе координат точка г имеет координаты (ртг2, О). Пусть М вЂ” точка плоскости с координатами 1х, у). Обозначим через г расстояние от М до Р, а через д — расстояние от М до директрисы 1рис. 6.3). Согласно определению параболы равенство 16. 12) ) При этом мы лолжны у ~есть, что ~ х ~ > о и с/и > 1. Заметим, что неравенство ~ х ~ > и непосредственно вытекает из уравнения 16 9).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
