Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия (7-е изд., 2004) (1095460), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки, не лежащие на одной прямой. Поставим перед собой цель— вывести уравнение плоскости, проходящей через три различные точки М,(хы уы г,), М,(хю ую га) и Мз(хм уз, гз), не лежащие на одной прямой. Так как указанные три точки не лежат на одной прямой, векторы М М, = (ха — х,, у. — ун г, — г, ) и М Мз = (хз — хы у, — уи гз — г, ) не коллинеарны, а поэтому точка М (х, у, г) лежит в однои плоскости с точками Ми Ма и Мз тогда и только тогда, когда векторы М,М М,Мз и М,М = (х — хн у — уи г — г,) компланарны, т.е. тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих трех векторов равно нулю (см.
гл. 2, э 3, п. 4). Используя выражение смешанного произведения в координатах, мы получим необходимое и достаточное условие принадлежности М(х, у, г) к указанной плоскости в виде (см. гл. 2, 3 3, п. 7) ЛИ1П:ИНЫВ ОЬРДЗЫ 1Зк 1гл 5 Уравнение первой степени (5.39) и является уравнением искомой плоскости. 5. Нормированное уравнение плоскости. Отклонение точки от плоскости. Рассмотрим какую угодно плоскость л. Проведем через начало координат О прямую и, перпендикулярную плоскости л, и обозначим буквой Р точку пересечения прямой и и плоскости л (рис. 5.9). На прямой и а, р возьмем единичный вектор и, направление которо- го совпадает с направлением отрезка ОР (в случае к совпадения точек О и Р направление и выберем прах извольно). Поставим перед собой цель — выразить уравнеРис.
5 9 ние плоскости л через следующие параметры: 1) длину р отрезка ОР; 2) углы а, )з и у наклона вектора п к осям Ох, Оу и Ог соответственно. Так как и — единичный вектор, то его координаты, соответственно равные его проекциям на оси координат, имеют вид ) (5.40) и = (соз О., со5 )в, со5 у). Очевидно, точка М (х, у, г) лежит на рассматриваемой плоскости л тогда и только тогда, когда проекция вектора ОМ на ось, определяемую вектором и, равна р, т.е.
при условии (5.41) пр„ОМ = р. Так как и — единичный вектор, то в силу определения 2 скалярного произведения (см. п. 1 3 2 гл. 2) (5.42) пр„ОМ =и. ОМ. Имея в виду, что ОМ = (х, у, г), а вектор и определяется равенством (5.40), мы получим следующее выражение для скалярного произведения этих векторов: и. ОМ =х соз а+усов 13+г соз у. (5. 43) Из сопоставления (5.41), (5.42) и (5.43) вытекает, что точка М (х, у, г) лежит на плоскости л тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют уравнению х соз а+ у соз 1з+ г соз у — р = О. (5. 44) (5.44) и есть искомое уравнение плоскости л, выраженное через параметры р, а, р и у. Это уравнение нззывается нормированным уравнением плоскости.
1 В силу того, что нроекнив вектора на любую осв равна модулю этого вектора. умноженному на косинус угла наклона к оси (см и. 5 ф 1 гл 2) 133 РАЗЛИЧНЬЦ ВИДЫ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ 4 31 Введем теперь фундаментальное понятие отклонения произвольной точки М от даннои плоскости л. Пусть число с( обозначает расстояние от точки М до плоскости и. Назовем отклонением 5точкиМотплоскостипчислоч-д в случае, когда точка М и начало координат О лежат по разные стороны от плоскости к, и число — д е случае, когда М и О лежат по одну сторону от п. Если же начало координат О лежит на плоскости к, положим отклонение равным ьд в случае, когда М лежит по ту сторону от и, куда направлен вектор п, и равным -с( в противном случае.
Имеет место следующее важное утверждение. Теорема 5.8. Левая часть нормированного уравнения плоскости (5.44) равна отклонению точки М с координатами х, у, г от плоскости к, определяемой уравнением (5.44). Д о к а з а т е л ь с т в о, Спроецируем точку М на ось, определяемую вектором п. Пусть Π— проекция точки М (рис. 5.9). Отклонение Ь точки М от плоскости и равно РО, где РЯ обозначает величину направленного отрезка РЯ оси, определяемой вектором п. Далее, из основного тождества (см. гл. 1) очевидно (см. рис. 5.9), что (5.45) 5= РО = ОΠ— ОР= ОΠ— р. Но ОО = пр„ОМ, а последняя проекция в силу формул (5.42) и (5.43) равна х соз а ч- у соз '))ч- г соз у.
Итак, (5.46) ОО = х соз а+ у соз 1з+ г соз у. Сопоставляя формулы (5.45) и (5.46), получим 5 = х соз а+ у сов ()+ + г соз у — р. Теорема доказана. Теорема 5.3 приводит нас к следующему п р а в н л у: для нахождения отклонения 5 точки Мо(хы уо, го) от плоскости к следует в левую часть нормированного уравнения плоскости и подставить на место х, у и г координаты хо, уо и го точки Мо. Разумеется, это правило позволяет отыскивать и расстояние от точки М до плоскости к, ибо расстояние равно модулю отклонения. В заключение укажем алгоритм приведения общего уравнения плоскости (5.3!) к нормированному виду (5.44). Так как указанное общее уравнение и уравнение (5.44) должны определять одну и ту же плоскост1ь то (в силу замечания в конце п.
1 этого параграфа) найдется число (такое, что (А=сов сс (В=сов (3, (С=сов у, Ю= — р. (5.47) Возвышая в квадрат первые три равенства (5.47), складывая их и учитывая, что сумма квадратов направляющих косинусов равна единице (см. п. 9 9 1 гл. 2), получим Г '(А ' + В + С з) = 1, откуда 1 ° Вв вв+В' ЛИ1П:ИНЫД ОЬГКЗЫ 134 1гл з Остается уточнить, какой из знаков + следует взять в формуле (5.48). Так как по смыслу расстояние р всегда неотрицательно, то из последнего равенства (5.47) заключаем, что знак ( противоположен знаку О.
Итак, для приведения общего уравнения плоскости Ах+ Ву+ + Сг+ 0 = О к нормированному виду (5.44) следует умножить его на нормирующий множитель (5.48), знак которого противоположен знаку Р. 6. Пучки и связки плоскостей. Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую Е, называется и у ч к ам плоскостей (с центром в Е).
В полной аналогии с теоремой 5.2, относящейся к пучку прямых, доказывается следующее утверждение: Если А,х+ В,у+ С,г+ О, = 0 и А,х+ Взу+ С,г+ О, = 0 суть уравнения двух различных и не параллельных плоскостей, пересечением которых служит некоторая прямая Е, а а и )) — какие угодно не равные одновременно нулю числа, то а (А,х+ В,у ж С,г ж Р,) -ь )) (Азх ч- Вгу+ Стг ж О,) = 0 (5.49) есть уравнение плоскости, проходящей через прямую Е.
Более того, какова бы ни была наперед заданная проходящая через прямую Е плоскость, она определяется уравнением (5.49) при некоторых а и 1). Доказательство этого утверждения (не содержащее по сравнению с доказательством теоремы 5.2 никаких новых идей) представляем читателю.
Сформулированное утверждение позволяет задавать прямую Е, являющуюся линией пересечения двух не совпадающих и не параллельных плоскостей А,х+ В,у+ С,г+ О, = 0 и Азх+ Вау+ + Саг+ От=О, не только двумя уравнениями этих плоскостей, но и любыми двумя различными уравнениями пучка (5.49) (полученными при каких угодно а и ))). Совокупность всех плоскостей, проходяи(их через данную точку Мо(хо,ум го) называется связкой плоскостей (с центром в Мо).
Легко убедиться в том, что уравнение связки с центром в Мь(хо, уь, гь) имеет вид А(х — хо)+В(у уо) ьС(г — го)=0 (5.50) где А, В и С вЂ” какие угодно числа, не равные одновременно нулю. В самом деле, всякая плоскость, определяемая уравнением (5.50), проходит через точку Мь(хо, уо, гь). С другой стороны, если к — наперед заданная плоскость, проходящая через точку Мо(хо, у„, го), то эта плоскость однозначно определяется заданием, кроме точки Мо(хы уо, го), еще нормального вектора н = (А, В, С) и потому определяется уравнением (5.33) (см. п. 1 этого параграфа), совпадающим с уравнением (5,50), ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ В 4. Прямая линия в пространстве 1Зб х —.с, у — у, г — г, т и (5.51) Уравнения (5.51) суть искомые уравнения прямой, проходящей через точку М,(х,, ун г,) и коллинеарной вектору д) =(1, т, и).
Эти уравнения принято называть каноническими уравнениями прямой. Заметим, что в канонических уравнениях (5.51) одно или два из чисел 1,т и и могут оказаться равными нулю (все три числа 1,т и п равняться нулю не могут, так как вектор с( = (1,т, и) ненулевой). Так как всякую пропорцию а1(т = с,1с) мы договорились понимать как равенство асу = бс, обращение в нуль одного из знаменателей в (5.51) означает обращение в нуль и соответствующего числителя. В самом деле, пусть, например, 1= О, а и и О (хотя бы одно из трех чисел 1, т и и не х — х, г — г, равно нулю). Тогда из пропорции = , эквивалентной равен- 1 п ству (х — х,)п=(г — г,)1, заключаем, что х — х, =О. В заключение покажем, как прямую, заданную уравнениями двух различных и не параллельных плоскостей А,х+ В,у еС1г+ О, = О, Азх ж Взу+ С,г+ 7)г = О, (5.52) ') Из п.
3 13 следует, что для тото, чтобы плоскости, определяемые уразпенияии Ах е В~у е Сг е Р1 —— О и Аьх + Вту ч Сзг е Рг = О, не соападати и не были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы наруптачась хотя бы одна из пропорции А, ./Аз — — В~ 1Вт — — С~,'Сз. 1. Канонические уравнения прямой в пространстве. Выше (см. и. 6 предыдущего параграфа) уже отмечалось, что прямую линию в пространстве, являющуюся линией пересечения двух различных и не параллельныхплоскостей,определяемыхуравнениямиА х+В у+ С г+1), =О иАах+ Вау+ Сг+ Оа = О '), можно задаватьлибодвумя уравнениями этих плоскостей, либо двумя любыми различными уравнениями пучка и (А,х + В,у + С,г + 7),) + 1) (Азх е Взу + Сзг -Р 1)г) = О (отвечающими произвольно взятым числам а и ))), При решении многих задач более удобным является специальный вид уравнений прямой в пространстве, к выводу которого мы и переходим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
