Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия (7-е изд., 2004) (1095460), страница 30
Текст из файла (страница 30)
На одной из биссектральных плоскостей (отвечающей тому двугранному углу, в котором лежит начало координат) эти отклонения равны и по модулю, и по знаку, на другой биссектральной плоскости отклонения 6, и 5, равны по модулю и противоположны по знаку. Таким образом, уравнения искомых биссектральных плоскостей имеют вид (х соз аз + У соз 1), + г соз У, — Р,)— — (х с05 па+ У с05 ~)з+ г с05 (з — Ра) = О, (х сов зхз + У соз(зз + г соз У, — Р,) + + (х соз аз + У соз ))я + г соз Уз — Рз) = О. В самом деле, всякая прямая, определяемая уравнениями (5.61), проходит через точку М,(хь уо г,).
С другой стороны, если С вЂ” наперед заданная прямая, проходязцая через точку М,(хо уо г,), то эта прямая однозначно определяется заданием, кроме точки М,(хь уь г,), еще направляющего вектора 41 = ((, т, и) и потому определяется каноническими уравнениями (5.51), совпадающими с уравнениями (5.61). У 51 некОтОРые зАдАчи нА ПРямк10 и плоское гьв ПРОстРАЕк:тва 141 3. Условия, при которых данная плоскость пересекает дан- ный отрезок АВ. Записав уравнение данной плоскости в н о р м и- р о в а н н о м виде и подставив в левую часть последнего уравнения сначала координаты точки А, а затем координаты точки В, найдем от- клонения Ьл и Ьз точек А и В соответственно от данной плоскости. Для того чтобы данная плоскость пересекала отрезок АВ, необходи- мо и достаточно, чтобы точки А и В лежали по разные стороны от плос- кости, т.е.
необходимо и достаточно, чтобы отклонения Ьл и Ьз имели разные знаки. 4. Определение местоположения двух данных точек А и В относительно двугранных углов, образованных данными плос- костями. Пусть заданы две пересекающиеся плоскости и требуется определить: в одном, в смежных или в вертикальных углах, образо- ванных двумя данными плоскостями, лежат две данные точки А и В.
Записав уравнения данных плоскостей в нормированном виде, вы- числим отклонения Ьлен и Ьлеое точки А от первой и второй плоскостей и отклонения Ьз11' и Ьзд~~ точки В от первой и второй плоскостей. По знакам этих четырех отклонений заключаем, по одну или по разные стороны от каждой из плоскостей лежит каждая из точек А и В. Очевидно, если точки А и В лежат по одну сторону от первой плоскости и по одну сторо- ну от второй плоскости, то эти точки лежат в о д н о м у г л у, образо- ванном данными плоскостями.
Если точки А и В лежат по одну сторону от одной плоскости и по разные стороны от другой плоскости, то эти точки лежат в с м е ж н ы х у г л а х. Если, наконец, точки А и В ле- жат по разные стороны и от той, и от другой плоскости, то эти точки лежат в вертикальных углах. 5. Уравнения прямой, проходящей через данную точку М,(хп уп г,) и перпендикулярной данной плоскости Ах+ Ву+ Сг+ х — х, у — у, г — г, 4-0=0.
Эти уравнения имеют вид ' = ' = ', ибо направ- А В С ляюгцим вектором искомой прямой служит нормальный вектор плоско- сти и =(А, В, С). 6. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку Мо(хо, Уо, го) и паРаллельной заданной плоскости А,х+ ВЕУ+ СЕг+ +ААЕ = О. Это уравнение имеет вид А,(х-хо) + В,(у -уо)+ С,(г — го) = О. В самом деле, искомая плоскость принадлежит связке плоскостей (5.50) и имеет тот же нормальный вектор и = (Аь Вн С, ), что и данная плоскость.
7. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку х — х 1 Мо(хо, уо1 го) и перпендикулярной заданной прямой у — уе 2 — г, — — Это уравнение имеет вид 1(х — хо) + т(У вЂ” Уо) + ЕИ л + а(г — г„) =О. В самом деле, искомая плоскость принадлежит связке плоскостей (5.50) и имеет в качестве нормального вектора направляю- щий вектор заданной прямой 4) = (й т, а). ли!ь-:ньпп:. оврдзы ~гл з А(х, — хо)-«В(у, — уо)+С(г, — го) =О, А! + Вт + Сп = О.
(5.64) Точка Мо(хо, уо, го) по условию не лежит на данной прямой. Это ознахо У1 Уо чает, что нарушается хотя бы одна из пропорции т г, — го ", и поэтому из системы (5.64) два из коэффициентов А, В, С п можно определить через третий. Выбрав затем произвольно этот тре- тий коэффициент (например, положив его равным единице), мы по- лучим уравнение искомой плоскости.
9. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую х — х, у — у, г — г, и параллельной другой данной прямой т, в, х — х у — у г — г 2 2 2 '). Пусть Ах+ Ву+Сг+0=0 — уравнение (2 та ва искомой плоскости. Используя условия (5.60) принадлежности данной прямой к искомой плоскости, получим Ах, + Ву, + Сг, + д) = О, А(, + Вт, + Сп, = О. Кроме того, используя условие (5.59) парал- лельности искомой плоскости и второй данной прямой, получим А(г+ Втд+ Сп, = О. В результате получим систему трех уравнений: Ах, + Ву, + Сг, +() =О, А(, -«Вт ~ 4- Сп! - — О, А(з+ Втз+ Спз = О, из которой три из коэффициентов А, В, С, 0 могут быть выражены через четвертый (в силу того, что две данные прямые не параллельны и наруша- етсЯ хотЯ бы одна из пРопоРций ! )(г = тнгтг = и (пд, полУчим, что хотЯ бы один из определителей третьего порядка матрицы х, у, г, ! т, п, гпп пд О ) Предполагается, по две данные пряные не парааяе.ъны 8.
Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую х — х, у — у, г — г, 1 т в и через заданную не лежащую на этой прямой точку Мо(хо, уо, го). Искомая плоскость принадлежит связке плоскостей (5 50), т.е. определяется уравнением А (х — хо) + В (у — уо) + + С (г — го) = О. Используя условия (5.60) принадлежности данной прямой к искомой плоскости, получим следующие равенства: У 51 иекотОРьп: зАДАчи пА ИРямую и плоскостьв ПРОстРА!к:тве 143 отличен от нуля, и поэтому какие-то три из коэффициентов А, В, С, 1) можно выразить через четвертый). Положив указанный четвертый коэффициент равным единице, мы получим уравнение искомой плоскости. 10.
Уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую Ь, и перпендикулярной заданной плоскости н. Эта задача сводится к предыдущей. Чтобы убедиться в этом, мы сначала через точки М, прямой Е, проведем прямую 7.5 перпендикулярную плоскости и (такая задача решена в п. 5), и затем через прямую 7ч проведем плоскость, параллельную прямой Лм 11. Уравнения перпендикуляра, опущенного из заданной точки Мо на данную прямую Ц.
Искомый перпендикуляр представляет собой линию пересечения двух плоскостей: 1) плоскости, проходящей через точку Мс и прямую 7., (такая плоскость найдена в и. 8); 2) плоскости, проходящей через точку Мс и перпендикулярной к прямой 1ч (такая плоскость найдена в п. 7). 12. Нахождение расстояния от данной точки Мо до данной прямой Ц. В предыдущем пункте найдены уравнения перпендикуляра ).е, опущенного из точки Мс на прямую Л Р Решая совместно уравнения прямых ~, и Лз мы найдем точку М, основания указанного перпендикуляра, а затем и искомое расстояние, равное длине отрезка МоМ, . 13.
Нахождение общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым 1ч и Ьз. Проведем через прямую Л, плоскость кс, параллельную прямой Ц (эта задача решена в п. 9). После этого проведем две плоскости и и и.„, перпендикулярные плоскости и„ и проходящие через прямые ~, и Л, соответственно (см. п. 10). Искомый перпендикуляр представляет собой линию пересечения плоскостей и, их, 14. Нахождение кратчайшего расстояния между двумя данными скрещивающимисн прямыми Ь, и Ьз.
Для решения этой задачи достаточно построить плоскость яс, указанную в предыдущем пункте, и найти расстояния от любой точки прямой Лз до плоскости пс. ГЛАВА б ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В этой главе изучаются геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы, представляющих собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершины. Эти линии часто встречаются в различных вопросах естествознания.
Например, движение материальной точки под воздействием центрального поля силы тяжести происходит по одной из этих линий. Исследуются также кривые второго порядка, т.е. линии, определяемые в декартовых координатах, алгебраическими уравнениями второй степени. В частности, выясняется, что эллипс, гипербола и парабола являются такими линиями и что этими тремя линиями и изученными в предыдущей главе линейными образами исчерпываются все линии, определяемые алгебраическими уравнениями второй степени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
