Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия (7-е изд., 2004) (1095460), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Обращаясь к уравнению (6.9), мы видим, что при указанных условиях это уравнение эквивалентно соотношению х у =Ь ~ —,-1. (6.17) Иными словами, рассматриваемая часть гиперболы представляет собой график функции (6.! 7) '), Легко убедиться, что эта функция мо- жет быть представлена в следующей форме: Ь Ь у= — х— х + тГхз — аз (6.18) Обратимся теперь к диагонали прямоугольника Р, расположенной в первой четверти. Она определяется уравнением Ь у = — х. а (6. 19) Сравним величины ординат у и у рассматриваемой диагонали и части гиперболы для одного и того же значения х, т.е.
рассмотрим разность )' — у (рис. 6.7 а). Используя соотношения (6.18) и (6.19), получим Ь (6.20) — у— х ж чГх — а ') Абсциссы х точек 02 нс равны нулю ) В силу свойства й' гиперболы (6.9) абсциссы ее точек уловлетворяют условию )х ! > а Для точек первои четверти зто условие к2олсет быть записана в виде х > и. '|) По поводу понятия график функции сы вып 1, гл 1, Э 2, и 4 ь ь делаются уравнениями у = — х и у = — — х, то координаты х и у точек а а 62 в силу их расположения удовлетворяют неравенству Ь,га < ~ у ~ у' ) х ~ ). Из этого неравенства вытекает неравенство ) х ~ )2а < )у!)г Ь, из которого х у в свою очередь следуют неравенства — „— —, < О < 1, а так как для точек а Ь 1гл б 154 ЛИ1ШИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Из соотношения (6.20) следует, что при х — э 0 разность У вЂ” у стремится к нулю. Абсолютная величина ) У вЂ” у( равна длине отрезка МАГ(рис.
6 7 а). Так как расстояние МР от точки М гиперболы до рассматриваемой диагонали не превышает длины отрезка МАГ, то при удалении точки М гипербольг в бесконечность (т.е. при х — + О) расстояние МР стремится к нулю. Следовательно, рассматриваемая часть ветви гиперболы приближается к соответствующей диагонали прямоугольника О. В силу симметрии аналогичным свойством обладают и другие части гиперболы, расположенные во второй, третьей и четвертой четвертях. Рис. 6 7 Диагонали прямоугольника В обычно называются асимптотами гиперболы. Отметим, что асимптоты гиперболы определяются уравнениями Ь Ь у= — х и у= — — х. (6.21) а а 4'. Наряду с гиперболой (6.9) рассматривают так называемую сопряженную по отноидению к ней гиперболу. Сопряженная гипербола определяется каноническим уравнением (6.22) На рис.6.7 б изображены гипербола (6.9) и сопряженная ей гипербола (6,22).
Очевидно, что сопряженная гипербола имеет те же асимптоты, что и данная. Иными словами, асимптоты сопряженной гиперболы определяются уравнениями (6.21). Заметим, что гипербола (6.9) в свою очередь является сопряженной по отношению к гиперболе (6.22). ') Чтобы убедиться, что уравнение 16 22) определяет гиперболу, достаточно положить х = Р, у = х и уииожить обе части етого уравнении па — 1. ДИРЕКТРИСЫ ЭЛЛИПСА, ГИНЕРЬОЛЫ И ПАРАБОЛЫ у 3! 3. Исследование формы параболы. Обратимся к каноническому уравнению параболы (6.15): у = 2рх.
(6. 15) 1'. Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершинои параболы. Действительно, в уравнении (6.15) величина у фигурирует вчетной степени. Следовательно, если х , М(х, координаты х и у точки М удовлетворяют уравнению (6.15) (т.е. точка М располагается на параболе), то этому уравнению удовлетворяют координаты (х, — у) симметричной ей точки относительно оси Ох (рис.
6.8). Таким образом, если парабола задана своим каноническим уравнением (6.15), то осью этой параболь! является Р'т ось Ох. Очевидно, вершиной параболы является начало координат. 2'. Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху. В самом деле, так как р > О, то уравнению (6.15) удовлетворяют координаты точек лишь с неотрицательными абсциссами. Такие точки располагаются в правой полуплоскости.
3'. Из рассуждений п. 3 ~ 1 этой главы вытекает, что директриса параболы, определяемой каноническим уравнением (6.15), имеет уравнение у) у = — р!!2 й 3. Директрисы эллипса, гиперболы и параболы Определение параболы, данное в п.
3 ~ 1 этой главы, базировалось на свойстве этой кривой, которое связано с ее фокусом и директрисой. (6.23) 4'. Любые две параболы подобны друг другу. Пусть уа = 2рх и у = 2р*х — канонические уравнения этих парабол в декартовой системе Оху; у = йх — уравнение произвольной прямой, проходящей через О, а (х, у) и (х", у*) — координаты точек пересечения этой прямой с параболами. Используя канонические уравнения, получим х = 2р/йз, у = ч.2р/й, хл = 2р"'/й, у' =ч.2р'"г!й. Из последних формул вытекает, что — = р/р", — = р!!р*. Но эти равенства означают подобие рассматри- Х ваемых парабол относительно точки О. 5'. Отметим, что кривая у' = 2рх при р < О также является параболой, которая целиком располагается в левой полуплоскости плоскости Оху.
Чтобы убедиться в этом, достаточно заменить х на -х и -р на р. ЛИ1ШИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1гл б 156 Это свойство можно сформулировать также и следующим образом: парабола есть геометрическое место точек плоскости, для которых отношение расстояния до фокуса к рассптоянию до отвечающей этому фокусу директрисы есть величина постоянная, равная единице. Оказывается, отличный от окружности эллипс и гипербола обладают аналогичным свойством: для каждого фокуса ') эллипса или гиперболья можно указать такую прямую, называемую д ир е к т р ис о и, что отношение расстояния от точек этих кривых до фокуса к расстоянию до отвечающей этому фокусу директрисы есть величина постоянная.
Данный параграф посвящен выяснению этого свойства эллипса и гиперболы. 1. Эксцентриситет эллипса и гиперболы. Обратимся к эллипсу (гиперболе). Пусть с — половина расстояния между фокусами эллипса )(гиперболы), а — большая полуось эллипса (действительная полуось гиперболы). Определение. 3 к сцен т р и си тетом эллипса (гипербольг) называется величина е, равная отношению с)а: е = с,Га.
(6.24) 3 а м е ч а н и е 1. Учитывая связь величины с с длинами а и Ь большой и малой полуосей эллипса (с длинами действительной и мнимой полуосей гиперболы) (см. формулы (6 5) и (6.! О)), легко получить следующие выражения для эксцентриситета е: Г Ь для эллипса е = ~1- —,, а (6.25) Г ь' для гиперболы е = ~1е —, а (6.25') ) Напомним, что отличный от окружности эллипс и гипсроола имеют по два фокуса аэ ) Голи эллипс представляет собои окружность, то с = О.
й Напомним, что величина Ь как для эллипса, так и для гиперболы не равна нулю Из формул (6.25) и (6.25') вытекает, что эксцентриситет эллипса меньше единицы, а эксцентриситет гипербольг больше единицы а), Отметим, что эксцентриситет окружности равен нулю (для окружности Ь = а). 3 а м е ч а н и е 2. Два эллипса (две гиперболы), имеющих одинаковый эксцентриситет, подобны. В самом деле, из формулы (6.25) для эксцентриситета эллипса (из формулы (6.25') для зксцентриситета гиперболы) вытекает, что эллипсы с одинаковым эксцентриситетом имеют одинаковое отношение Ь,Га малой и большой полуосей (гиперболы с 157 ДИРЕКТРИСЫ ЗЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ И ПАРАБОЛЫ У 31 одинаковым зксцентриситетом имеют одинаковое отношение Ь,га мнимой и действительной полуосей).
Такие эллипсы (гиперболы) подобны '). 3 а м е ч а н и е 3. Эксцентриситет эллипса можно рассматривать как меру его «вытянутости»: чем больше эксцентриситет е (см. формулу 16.25)), тем меньше отношение Ьуа малой полуоси эллипса Ь к его большой полуоси а. На рис. 6.9 изображены эллипсы с разными эксцентриситетами, но с одинаковой большой полуосью а. 3 а м е ч а н и е 4.
Эксцентриситет гиперболы можно рассматривать как числовую характеристику величины раствора угла между ее асимптотами. В самом деле, отношение Ьуа равно тангенсу половины угла между асимптотами гиперболы. 2. Директрисы эллипса и гиперболы. 1'. Директрисьг эллипса. Мы выяснили, что любой, отличный от окружности эллипс имеет большую и малую оси и центр — точку пересечения этих осей (см.
п. 1 ~ 2 этой главы). Обозначим через с половину расстояния между фокусами с"г и сг эллипса, через а его большую полуось и через О его центр (рис. 6.!О). с=о Рис. Б.10 Рис 69 Пусть е — эксцентриситет этого эллипса (так как эллипс отличен от окружности, то е м О) и л — плоскость, в которой расположен эллипс. Малая ось эллипса разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Обозначим через и, (г = 1, 2) ту из этих полуплоскостей, в которой лежит фокус г" г (г = 1, 2).
Определение. Д и р е к т р и с о й О, 11'= 1, 2) эллипса, отвечающей фокусу сг 1)= 1, 2), назьгвается прямая, расположенная в полуплоскости и, (г' = 1, 2) перпендикулярно большой оси эллипса на расстоянии а/е от его центра. 3 а м е ч а н и е 1. Выберем начало декартовой прямоугольной системы координат в середине отрезка г" гсд, а оси Ох и Оу направим так, ') Чтобы убедиться в атом, лостато*шо расположить тти аллнпсы 1соответственно гиперболы) так.
чтобы их пентры н одноименные главные оси совпадали Тогда иа канонических уравнении легко следует подобие кривых с равными отношениями Ь)а. линии ВТОРОГО ИОРядкА ~ГЛ 6 уравнение директрисы О,: х = -а?е, уравнение директрисы 1лз. .х = атге. (6.26) 3 а м е ч а н и е 2. Директрисы эллипса расположены вне эллипса. Действительно, эллипс расположен в прямоугольнике )х( < а,)у) < Ь (см. п. 1 ~ 2 этой главы и рис.
6.4), стороны которого перпендикулярны большой и малой осям эллипса. Из определения директрис вытекает, что они параллельны двум перпендикулярным большой оси эллипса сторонам этого прямоугольника. Поскольку упомянутые стороны отстоят от центра эллипса на расстоянии а, а директрисы — на расстоянии а?е > а (О < е < 1), то директрисы расположены вне прямоугольника, а следовательно, и вне эллипса. 3 а м е ч а н и е 3. Мы только что выяснили, что директрисы расположены вне эллипса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
