Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия (7-е изд., 2004) (1095460), страница 32
Текст из файла (страница 32)
) Слово директриса означает иилривляюгиия. з) Естественно считать, что фокус Р ие лежит па лиректрисе, ибо в противном случае точки плоскости, для которых были бы выполнены условия определения параболы, располагались на прямои, проходягдеи через Е перпендикулярно директ рисе, т е парабола выролилась бы в прямую. ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ ЭЛЛИПСА. ГИПБРБОЛЫ И ПАРАБОЛЫ 149 является необходимогм и достаточным условием расположения точ- ки М на данной параболе.
Так как х--) +у, д=-+х ), Р 2) 2 (6. 13) то, согласно (6.!2), соотношение х — — )+у = — +х Р е Р 2) 2 (6. 14) представляет собой необходимое и достаточное условие расположения точки М с координатами х и у на данной параболе. Поэтому соотношение (6.14) можно рассматривать как уравнение параболы. Путем стандартного приема еуничтожения радикалов э это уравнение приводится к виду у = 2рх. (6. 15) 2 2. Исследование формы эллипса, гиперболы и параболы по их каноническим уравнениям Мы уже имеем наглядное представление о форме эллипса, гиперболы и параболы (см. рис.
6.1). Исследование канонических уравнений этих линий позволяет выяснить свойства, более точно характеризующие их форму. ) Э ~ а формула верна лишь для точек с неотрицательными абсциссами х. Для точек с отрицательными абсциссами, как легко видеть, выполняется соотношение г > и, и поэтаму такие то гки можно исключить иэ рассмотрения. Убедимся в том, что уравнение (6.15), полученное путем алгебраических преобразований уравнения (6.14), не приобрело новых корней. Для этого достаточно доказать, что для каждой точки М, координаты х и у которой удовлетворяют уравнению (6.! 5), величины г и д равны (выполнено соотношение (6. !2)).
Из соотношения (6.15) вытекает, что абсциссы х рассматриваемых точек неотрицательны, т,е. х > О. Для точек с неотрицательными абсциссами д = — + х . Найдем теперь выражение для расстояния г от точ- Р 2 ки М до г". Подставляя у из выражения (6.15) в правую часть выражения для г(6.!3) и учитывая, что х > О, найдем, что г = — + х . Таким образом, Р 2 для рассматриваемых точек г= д, т.е. они располагаются на параболе. Уравнение (6.!5) называется каноническим уравнением параболвг. Величина р называется параметром параболы. ли! Вчи ВТОРОГО ИОРядкА ~ГЛ б 150 1. Исследование формы эллипса. Для удобства запишем еще раз каноническое уравнение эллипса (6,4): х у — ч- — = 1. а Ь (6.4) уе — + — =1.
а Ь (6.1 6) ) Если эллипс представляет собой окружность, ~о любая прямая, проходищая через центр окружности, является осью симметрии. Отметим. что центром эллипса является точка пересе ~ения главных осеи. При этом будем считать а > Ь. 1'. Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса) ).
Действительно, в уравнении (6.4) величины х и у фигурируют в четных степенях. Следовательно, если координаты х и у точки М удовлетворяют уравнению (6.4) (т.е, точка М располагается на эллипсе), то этому уравнению удовлетворяют координаты ( — х, у) и (х, — у) симметричных ей точек относительно осей координат и координаты (-х, -у) точки, симметричной М относительно начала координат (рис. 6А).
Таким образом, если эллипс задан своим каноническим уравнением (6.4), то главными осями этого эллипса являются оси координат, а центром эллипса — начало координат. Точки пересечения эллипса с главными осями называются вершинами эллипса. Точки А, В, С, О на рис. 6.4 — вершины эллипса. Очевидно, эти вершины имеют соответственно координаты ( — а, 0), (О, Ь), (а, 0), (О, — Ь). 3 а м е ч а н и е 1. Очевидно, длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2а и 2Ь. Так как 2а > 2Ь, то главная ось, образуюшая в пересечении с эллипсом отрезок 2а, называется большой осью эллипса, Другая главная ось называется малой осью эллипса. Если эллипс задан уравнением (6.4), то при а > Ь большой осью будет ось Ох, а малой — ось Оу.
При Ь > а большой осью будет ось Оу, а малой — ось Ох. 3 а м е ч а н и е 2. Очевидно, фокусы эллипса располагаются на его большой оси. 2'. Весь эллипс содержится внутри прямоугольника ~х~ < а, ~ у ~ < Ь (на рис. 6.4 этот прямоугольник не заштрихован). В самом деле, из канонического уравнения (6.4) вытекает, что хт/аа < 1 и уа,ГЬа < 1. Эти неравенства, очевидно, эквивалентны неравенствам 1х~ < а и ~у~ <Ь.
3'. Эллипс может быть получен посредством равномерного сжатия окружности. Рассмотрим окружность (рис. 6.5), заданную урав- нением ИССЛЕДОВАПИЕ ФОРМЫ ЭЛЛИПСА. 1ИПЕРВОЛЫ И ПАРАЕОЛЫ 151 Ь 21 Произведем теперь равномерное сжатие плоскости к оси Ох, т.е. такое преобразование, при котором точка с координатами (х, у) перейдет Ь в точку с координатами (У, у), причем х = х, а у = — у . Очевидно, при а этом преобразовании окружность (6.16) перейдет в кривую, определяе- х у мую уравнением —, Р— = 1, т.е.
в эллипс. а Ь Рис бя Рис 55 2. Исследование формы гиперболы. Обратимся к каноническому уравнению гиперболы (6.9) х у — — — =!. аз Ь2 1'. Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и иентр симметрии (центр гиперболь1). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, которые называются вершинами гиперболы. Эта ось называется действительной осью гиперболь1. Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и поэтому называется мнимой осью гиперболы. Таким образом, мнимая ось гиперболы разделяет плоскость на правую и левую полуплоскости, в которых расположены симметричные относительно этой оси правая и левая ветви гиперболь1.
Справедливость указанного свойства симметрии гиперболы вытекает из того, что в уравнении (6.9) величины х и у фигурируют в четных степенях. Следовательно, если координаты х н у точки М удовлетворяют уравнению (6.9) (т.е. точка М располагается на гиперболе), то этому уравнению удовлетворяют координаты ( — х, у) и (х, — у) симметричных ей точек относительно осей координат и координаты (-х, -у) точки, симметричной М относительно начала координат (рис. 6.6). Таким образом, если гипербола задана своим каноническим уравнением (6.9), то главными осями этой гиперболь1 являются оси координат, а центром гиперболы — начало координат.
)ш1 6 ЛИПИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 152 Убедимся теперь, что ось Ох является действипгельной осью гиперболы, точки А (-а, О) и В(а, О) — веризинами гиперболы и ось Оу является мнимой осью гиперболы. Для этого достаточно доказать, что У ось Ох пересекает гиперболу в точках А и В, а ось Оу не имеет обших 6 точек с гиперболой. Так как ордина- ты точек оси Ох равны нулю, то для (-х,у) , М(ху) выяснения величины абсцисс точек ! пересечения этой оси с гиперболой 1 нужно в уравнении (б.9) положить Р 1 у = О. После этого мы получим уравне(-х,-у) (х -У) ние хз/аз = 1, из которого находятся абсциссы точек пересечения оси Ох с гиперболой.
Полученное уравнение имеет решения х = — а и х = а. СледоРис. 6.6 вательно, ось Ох пересекает гипер- болу(т.е.является еедействительной осью) в точках А (-а, О) и В (а, О) (т.е. эти точки и есть вершины гиперболы). Поскольку абсциссы точек оси Оу равны нулю, то для ординат точек пересечения этой оси с гиперболой получаем из (6.9) уравнение -у,)Ь = 1, которое не имеет действительных решений.
Следователь- 2 З но, ось Оу является мнимой осью гиперболы. 3 а м е ч а н и е. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси. 2'. Рассмотрим область 6, которая получена объединением прямоугольника Р, координаты х и у точек которого удовлетворяют неравенствам ~ х ~ < а, ~ у ~ < Ь, и тех двух углов, образованных диагоналями этого прямоугольника, в которых располагается мнимая ось гиперболы (на рис. б.б эта область заштрихована).
Убедимся, что в области 6 неп) точек гиперболы. Разобьем область 6 на две части 6, и 62 где 6, представляет собой полосу, абсциссы х точек которой удовлетворяют неравенству )х~ < а, а 62 — остальная часть области 6 ). Очевидно, в полосе 6, нет точек гиперболы, так как абсциссы х точек, расположенных на гиперболе, удовлетворяют неравенству ~ х ~ > а '). Обратимся теперь к точкам области 6,.
Заметим, что каждая точка 62 либо лежит на диагонали прямоугольника Р, либо за его диагональю з). Поскольку диагонали Р опре- ) Область Р! представляет собои, очевидно, полосу, заключенную мсжлу безгранично продолженных~и вертикальными сторонами прямоугольника Р. Область 02 состоит из четырех частей, каждая из которых располагается в одном из координатных углов т ) Из канонического уравнения гиперболы вытекает, что --- =1+ —, т.е, х )а 1.
е ь~ Последнее неравенство эквивалентно неравенству )к) > а ) Будеы говорить, что точка М плоскости лежит за диагональю прямоугольника Р, если перле| жикуляр, опуженныи из М па ось Ок, пересекает эту диагональ. 4 21 ИССЛБДОВАНИЕ ФОРМЫ ЭЛЛИПСА, |'ИПЕРБОЛЪ| И ПАРАБОЛЫ 153 'Х Ч гиперболы — — †' = 1, то в области 62 нет точек гиперболы.
а2 ь2 3'. Установим важное свойство гиперболы, связанное с ее расположением относительно диагоналей прямоугольника Р, о котором говорилось выше. В общих чертах это свойство заключается в том, что ветви гиперболы приближаются к диагоналям прямоугольника Р. В силу симметрии гиперболы это свойство достаточно выяснить для части гиперболы, расположенной в первой четверти. Координаты х и у точек гиперболы, расположенных в первой четверти, удовлетворяют условиям х > а, у > 0 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
