Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия (7-е изд., 2004) (1095460), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Отсюда вытекает, что точки эллипса и его центр расположены по одну сторону от каждой из его директрис. 3 а м е ч а н и е 4. Обозначим через р расстояние от фокуса эллипса до соответствующей этому фокусу директрисы. Поскольку расстояние от центра эллипса до директрисы равно а)е, а расстояние от центра зла липса до фокуса равно с, то р равно — — с ). Так как с = ае, то для р е получаем следующее выражение: р=а — — е =а (6.2?) Докажем теорему, выясняющую важное свойство отличного от окружности эллипса и его директрис.
Теорема 6.1. Отношение расстояния г, от точки М эллипса до фокуса с, к расстоянию й, от этой точки до отвечающей этому фокусу директрисьг 1), равно эксцентриситету е этого эллипса. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Е, и Ра — фокусы эллипса а). Выберем декартову прямоугольную систему координат так, как это указано в замечании ! этого пункта (см. рис. 6.10). В и. 1 З 1 этой главы мы выяснили, что при таком выборе системы координат расстояния г, и г, от точки М(х, у) эллипса до фокусов Е, и Еэ определяются формулами (6.6).
Так как отношение с?а равно эксцентриситету е этого эллипса, то для г, и гв мы получим выражения г, =ач-ех, ге=а — ех. (6,28) ) Напомним, по центр эллипса и его фокусы расположены на йолвпюй оси, которая перпендикулярна директрисам Поэтому с учетом расположения центра, фокуса и отвечаюгцей ему директрисы (рис 6 ) 0) р равно а?е — с. 0 так как эллипс отличен от окружности, то его фокусы не совпадают. как указано на рис.
6.10. Тогда, очевидно, уравнения директрис 1),() =1, 2) эллипса можно записать следующим образом: диРектРисы эллипсА, Ги!гг:Рьолы и ИАРАБОлы у з! Найдем теперь расстояния а*, от точки М эллипса до директрис О,. Используя уравнения директрис О,(см, формулы 16.26)), легко убедиться в том, что нормированные уравнения директрис имеют вид 1см. п. 7 з 1 гл. 5): нормированное уравнение директрисы Об — х — — = О, е (6.29) аеех и — ех йз е е 16.30) Используя формулы (6.28) и 16.30), найдем, что г,.,гд, = е, г = 1, 2. Теорема доказана. 2'. Директрисьг гипербольг.
Обозначим через с половину расстоя- ния между фокусами с"г и сз гиперболы, через а ее действительную по- луось и через О ее центр !рис. 6.11). Пусть е — эксцентриситет этой гиперболы и я — плоскость, в которой расположена гипербола. Мнимая ось гиперболы разбивает эту плоскость иа две полуплоскости. Обозначим через к, 1г = 1, 2) ту из этих полуплоскостей, в которой лежит фокус с, 1г = 1, 2). Определение. Директрисой О, 1г = 1, 2) гипербо,гы, отвечающей фокусу с", !! = 1, 2), назывиется прямая, расположенная в полуплоскости я, 1г = 1, 2) перпендикулярно действительнои оси гиперболы на расстоянии а!е от ее центра. 3 а м е ч а н и е 5. Выберем начало Рис Б!! декартовой прямоугольной системы координат в середине отрезка сггз, а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис.
6.1!. Тогда, очевидно, уравнения директрис О, 1г = 1, 2) гипер- больг можно записать следующим образом: уравнение директрисы Об х = -а/е, уравнение директрисы Оз! х = а/е. 16.31) а нормированное уравнение директрисы Оег х — — = 0 . е Так как точка М 1х, у) эллипса и начало координат находятся по одну сторону от каждой из директрис (см. замечание 3 этого пункта), то расстояние агг и йз от точки М 1х, у) до директрис О, и О, равны соответствующим отклонениям М!х, у) от О, и О.„взятым со знаком минус, и мы получим 1в силу (6.29) и теоремы 5.!): 1Щ1 6 линии ВТОРОГО ИОРядкА 160 3 а м е ч а н и е 6.
Директрисы гиперболы целиком расположены в области 6, не содержащей точек гиперболы 1см. 2' п. 2 Э 2 этой главы и рис. 6.6). В самом деле, в 2' п. 2 э 2 этой главы мы убедились, что полоса 6и определяемая в выбранной в замечании 5 системе координат Оху неравенством ~х ~ < а, содержится в области 6. Но эта полоса содержит директрисы гиперболы, так как, согласно (6.31), для точек директрис ~ х ~ = — < а, ибо для гиперболы е > 1. Расположение директрис гипербое лы указано на рис. 6.11. 3 а м е ч а н и е 7.
Только что сделанное замечание позволяет обосновать расположение директрис гиперболы, указанное на рис. 6.! 1. Именно, очевидно, что точки левой 1правой) ветви гипербольг и ее центр О расположены по разные сторонгы от директрисы Р, (Оа), а точки правой 1лееой) ветви гиперболы и ее центр О расположены по одну сторону от директрисьг 0,(7)а). 3 а м е ч а н и е 8. Обозначим через р расстояние от фокуса гиперболы до соответствующей этому фокусу директрисы. Поскольку расстояние от центра гиперболы до директрисы равно а/е, а расстояние от цена тра гиперболы до фокуса равно с, то р = с — — ').
Так как с = ае, то для р е получаем формулу 16.32) р=а е — — =а Докажем теорему, выясняющую важное свойство гиперболы и ее директрис. Теорема б.2. Отношение расстояния г, от точки М гиперболы до фокуса г", к расстоянию сГ, от этой точки до отвечающей этому фокусу директрисы 0; равно эксцентриситету е этой гиперболы. Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства этой теоремы нужно рассмотреть следующие четыре случая: 1) точка М находится на левой ветви гиперболы, исследуется фокус Р, и директриса ОП 2) точка М находится на правой ветви гиперболы; исследуется фокус с", и директриса Об 3) точка М находится на левой ветви, исследуется фокус Г, и директриса Ог) 4) точка М находится на правой ветви, исследуется фокус Ет и директриса Оа Так как рассуждения для каждого из случаев однотипны, то мы ограничимся лишь первым случаем.
Расположим систему координат так, как это указано в замечании 5 этого пункта. Так как абсцисса х любой точки М 1х, у) левой ветви гиперболы отрицательна, то расстояние г, от этой точки до фокуса Еи со- ) Напомним, что центр гиперболы и ее фокусы расположены на деиствительнои оси, которая перпендикулярна лиректрисам. Поэтому с учетом расположения центра, фокуса и отвечаюгцеи ему директрисы Гсм рис 6, 11) р =с — —. е ДИРЕКТРИСЫ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРЬОЛЫ И ПАРАБОЛЫ 43! 16! гласно формулам (6.11), равно — а — — х.
Так как с/а = е, то для г, полу- чим выражение (6.33) г = — а — ех. 1= Директриса О, определяется первым из уравнений (6.31). Согласно и. 7 Э 1 гл. 5 нормированное уравнение этой директрисы имеет вид а — х — — = О. е (6.34) Так как точка М левой ветви гиперболы и начало координат находятся по разные стороны от директрисы О, (см. замечание 7 этого пункта), то расстояние й! От точки М до директрисы О, равно отклонению М от ОО и мы получим (в силу (6.34) и теоремы 5.1) — а — ех й! = е (6.35) Используя формулы (6.33) и (6.35), найдем, что г1,1д! = е.
Для первого случая теорема доказана. Остальные случаи рассматриваются аналогично. 3. Определение эллипса н гиперболы, основанное на их свойстве по отношению к директрисам. Теоремы 6.1 и 6.2, доказанные в предыдущем пункте, выясняют свойство отличного от окружности эллипса и гиперболы, связанное с директри- О сами этих кривых. Убедимся в том, что это свойство эллипса и гиперболы может быть принято в качестве их определения.
Рассмотрим в плоскости и точку Г и прямую О (рис. 6.12). Будем предполагать, что точка Г не лежит на прямой О. Докажем следующее утверждение. Теорема б.З. Геометрическое место (М) точек М плоскости я, для которых атно!пение е расстояния г до точки Г к Рис, 6 !2 расстоянию й до прямой О есть величина постоянная, представляет собой эллипс (при е < 1) или гиперболу (при е > 1). При этом точка Г назь!вается фа к усом, а прямая Π— д ир е к т р и с о й рассматриваемого геометрического места.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Убедимся, что в некоторой, специально выбранной системе координат геометрическое место точек, удовлетворяющее требованиям сформулированной теоремы, определяется при е< 1 х у уравнением — + — = 1 (т.е. является эллипсом), а при е > 1 — уравнением 2 12 ЛИ!ЩИ ВТОРОГО ПОРЯДКА !ГЛ 6 а р (6.36) е 1 — е 2 Будем теперь считать прямую А с выбранным началол! О и направлением от г к гс осью абсцисс. Ось ординат направим так, как указано на рис. 6.12. В выбранной системе координат фокус Е имеет координаты (с, О), где э с=р, ), 1 — е а директриса Й определяется уравнением а р х= — = е 1 — е 2 ' (6.38) Перейдем теперь к выводу уравнения рассматриваемого геометричес- кого места точек.
Пусть М вЂ” точка плоскости с координатами (х, у) (см. рис. 6.12). Обозначим через г расстояние от точки М до фокуса Е и че- рез Н расстояние от точки М до директрисы 7). Соотноигение гу'д = е (6.39) является необходимым и достаточногм условием расположения точки М на геометрическом месте (М). Используя формулу расстояния между двумя точками М и Е (см. формулу (1.8) п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
