Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия (7-е изд., 2004) (1095460), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Используя первую и вторую из формул (6.63), можно, очевидно, выражению для аз, придать следующий вид: азз (а!3 1 а13) хо 1 (а23 1 а23) Уо+ аЗЗ (6.64) 2'. Преобразование коэффит(иентов при повороте. Пусть декартова прямоугольная система координат Ох'у' получена поворотом системы Оху на угол ср(при этом не исключается поворот на угол ср, равный нулю). Как известно, старые и новые координаты точки связаны соотно- шениями х = х' соз ср — у' з|п ср, у = х ' ып ср + у ' соз ср (6 65) а|',х "2 + 2а,'вх'у'+ аззу'2 + 2а,'зх'+ 2аззу'+ азз — — О, (6.66) где ) 1 1 а,', = агз з|п 2ср + — (а„— а22) сов 2ср + — (а,1+ а22), 2 2 1 а,'2 = — — (ан — а22)з|п21р+ агз соз21р, 2 ! 1 а22 — — — а|2 з|п 2ср — — (а), — а22) сов 2ср + — (а,|+ а22), (6.67) а,'3 — — ам соз тр ч- арл з|п ср, аз! —— аз! соз ср — а)3 31п ср, азз = азз. ) При выводе этих 1 — соз зч а|п ср= —, соз ср о форыул использовались равенства 2 з1п ср соь ср= э!п 2Е, 1 э Гоз зэз 2 (см.
гл. 3, э 1, формулы (3.13)). Подставляя выражения (6.65) для х и у в левую часть (6.60) и группируя коэффициенты при различных степенях х' и у', мы получим уравнение Л в системе Ох'у'. Очевидно, это урав- нение имеет вид ли)ии ВТОРОГО ИОРядкА ~гл б Мы можем сделать следующий важный вывод: ПРи повоРоте системы кооРдинат коэффиЦиенты а,'и а,'т, а,,'2 группы старших членов уравнения (6.66) взыражаются лишь через угол ер поворота и через коэффициентся ап, аы, ааг групп!я старших членов уравнения (6.60); коэффициенты а,', и а,;з уравнения (6.60) выражаются лишь через угол ер и коэффициенты а,з и азз уравнения (6.60); свободныи член не изменяется (т.е.
аз, — — ап). 3 а м е ч а н и е 2. Обозначим через А, В и С соответственно вели- чины ! 2 2 2 (а!!+а22) .а!з еаза. 1 Введем, далее, угол и, считая сова = — "-, з(пи = при А в 0 а„в (а! ! — а22) А А и О=О при А =О, пугал р, считая соз () = азат'С, з(п ))= ад/Сири СлО и (з=О при С=О'). Тогда, очевидно, выражения (6.67) для коэффициентов а„' можно переписать в следующем виде: а,', =А з(п (2орч-и) еВ, а;2 = А сов (2ер + а), а 22 = — А ьцп (2цз + со) + В, а,'т = С з(п (тр е ))), а,'з — — С соз (ор+ )3), азз = азз.
(6.68) )'(а~! ам " азз) =)'(а!), а!2, азз). Докажем следующую теорему. ') Известно, что, каковы бы ни были величины Р и Ц. удовлетворяющие условию Р О Р + О ко, можно нанти такои утол у, что соку = — и юо у =— ,/Р та /Р. Оз Отметим, что величины А, В и С и углы а и !з не зависят от гр. 2. Инварианты уравнения линии второго порядка.
Понятие типа линии второго порядка. Назовем инвариантом уравнения (6.60) линии второго порядка относительно преобразований декартовой системы координат такую функцию ~(ап, а,ю, аз,) от коэффициентов ан этого уравнения, значения которой не меняются при переходе к навои декартовой прямоугольной системе координат. Таким образом, если )'(ап, аы,, аз,) — инвариант и а,', — коэффициенты уравнения линии второго порядка в новой системе декартовых координат, то кривыь второ)о порядка 173 'Теорема б.д.
Величины ап а,г и,з аы агг агз и!з агз азз ап ам 1, = аг! -~ азп 1, =, 1з = а!2 агг 16.69) а!! а!2 а!3 ам агг агз а!3 а22 азз Вычитая из последней строки этого определителя первую строку, умноженную на хо, и вторую, умноженную на уо (хо и уо — координаты нового начала О'), и используя при этом выражения для а;, и а;, формул (6.63) и выражение (6.64) для а;з, найдем, что этот определитель равен ') азз ан аы пм аг. агз а,з пл аззхо + пгзуо и- пзз Если теперь вычесть из последнего столбца полученного определителя первый столбец, умноженный на хо, и второй, умноженный на уо, и использовать пРи этом выРажениЯ длЯ а;з и агз из фоРмУл (6.63), то в Результате получится определитель, стоящий в правой части выражения для 12 в формулах (6.69).
Итак, инвариантность 12 при параллельном переносе системы координат доказана. Рассмотрим теперь поворот декартовой системы координат. В 2' предыдущего пункта мы нашли, что при этом преобразовании коэффициенты а,', уравнения линии 1. в новой системе связаны с коэффициентами ао уравнения этой линии в старой системе с помощью формул (6.68) ) Напои!пни, что при указанных преобразованиях значение определителя не меняется !ск! Дополнение к тл 1) являются инвариантами уравнения 16.60) линии второго порядка относительно преобразований декартовой системы координат. Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, инвариантность величин 1ь 12, 12 достаточно доказать отдельно для параллельного переноса системы координат и для поворота. Рассмотрим сначала параллельный перенос системы координат.Мы установили в 1' предыдущего пункта, что при этом преобразовании координат коэффициенты группы старших членов не изменяются.
Поэтому не изменяются и величины 1, и 12. Займемся величиной 1,. В новой системе координат О'х'у' величина 1, равна ли1ии ВТОРОГО ИОРядкА 1Щ1 6 174 (см. замечание 2 предыдущего пункта). Докажем теперь инвариантность 1ц !2 и 11. Имеем, согласно (6.68), 1; = а,', е а22 — — 2В = ац е а22, 2 22 12 — — а,'1а;2 — а,'2 — —  — А = аца22 — а12. Таким образом, инвариантность 1, и !2 доказана. Обратимся теперь к ац ац й12 й(2 а(2 й22 йз аз а22 Разлагая этот определитель по элементам последнего столоца, учитывая только что доказанную инвариантность 1,, т.е. равенство ац а,2 а,~ йц = 12 й(2 й22 а~2 й22 и равенство азз — — а„(см. последнюю из формул (6.67)), получим а12 й2, ац а12 !з = а1з ° ° азз ° ° + паз!2.
(3 й22 й!2 й23 (6.70) а,'2 а!2 А соя(242+ а) -Аз)п (222+ а) + В а,',, = Сз)п(гр+ 14) й~з а22 С21п(22+()) С соя(22+ Р) = С2 з)п(<р-» 1))(Асов(<р 4- а — ()) — В з)п (1р+ 12)). (671) Совершенно аналогично получается равенство азз " " — — С соз(2р+ р)(А з1п(гр 4- а — р) ч- В сов(2р 4-р)). (6.72) а12 а2: Из соотношений (6.70)-(6.72) получаем 1з = АС" з!и (2Р— а) — ВС 2+ азз12 (6.73) Так как величины А, В, С, углы а, 12 и !2 не зависят от угла 1р (это вытекает из инвариантности 12 и замечания 2 предыдущего пункта), то из (6.
73) следует, что 12 также не зависит от угла 2р, т.е. при любом значении ср имеет одно и то же значение. Но а,', = а„при 2р = О, и поэтому 1,'= 1,. Таким образом, инвариантность 11 также установлена. Теорема доказана. Согласно формулам (6.68) первое слагаемое в правой части (6.70) мо- жет быть преобразовано следующим образом: 175 кгиныв втогого пооядкл 4 51 Геометрические характеристики линий второго порядка и их расположение вполне определяются значениями инвариантов ?о ?г и 7,. В зависимости от знака инварианта !г эти линии разделяют на следующие три типа: эллиптичгскии тип, если ?г > О, гиперболическии тип, если ?г < О, параболический тип, если ?г = О. Очевидно, тип линии не меняется при изменении декартовой системы координат. Ниже мы дадим полную классификацию каждого из указанных типов линий. 3.
Центр линии второго порядка. В предыдущем пункте мы установили, что при параллельном переносе декартовой системы изменяются лишь коэффициенты группы линейных членов уравнения линии второго порядка. Попытаемся найти такую декартову систему координат О'х'у'(полученную параллельным переносом системы Оху), в которой уравнение (6.62) данной линии 7. второго порядка не содержало бы слагаемых 2а;,х ' и 2аг,у', т.е. коэффициенты а;з и а~з были бы равны нулю.
Пусть хо и уо — координаты начала О' искомой системы. Обращаясь к формулам (6.63), найдем, что величины хо, уо представляют собой решение следующей системы линейных уравнении: а~ ~хо ч- а|гуо+ а1з = О, а,гхо ч- аггуо ч- агз = 0 (6 74) Уравнения (6.74) называются уравнениями центра линии второго порядка, а точка О' с координатами (хо, уо), где х„и уо — решения системы (6.74), называется центром этой линии. Поясним смысл наименования «центрч линии. Пусть начало координат перенесено в центр О'. Тогда уравнение линии Л примет вид а„х'г ч. 2а1гх'У'.ь аггу ч.
азз — — О. г (6.?5) Пусть точка М (х', у') расположена на 7.. Это означает, что ее координаты х' и у' удовлетворяют уравнению (6.75). Очевидно, точка Мч( — х', — у'), симметричная с М относительно О', также расположена на Л, ибо ее координаты также удовлетворяют уравнению (6. 75). Таким образом, если у линии 7.
существует центр О', то относительно центра почки 7 располагаются симметрично парами, т.е. центр линии ь является гг центром симметрии. 3 а м е ч а н и е 3, Если линия Л второго порядка имеет центр, то инварианты ?г, ?з и свободный член а;, в уравнении (6.75) связаны соотношением (6.76) ?з = ?газ ЛИПИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ~ГЛ 6 176 В самом деле, в силу инвариантности 1з получим в системе координат О'х'у' ап аы О 1з = а„а„О О О а,', аих' ч- 2а!ах'у' е атау' е — = О. 2 Гз 1т (6.77) Действительно, после переноса начала в центр уравнение линии примет вид(6.75). Так как для центральной линии 1а и О, то из формулы (6.76) найдем, что азз — — 1зтт!ь ПодставлЯЯ это выРажение длЯ аз, в фоРмУлУ (6.75), мы получим уравнение (6.77). 4. Стандартное упрощение любого уравнения линии второго порядка путем поворота осей.
Докажем, что любое уравнение (6.60) линии Е второго порядка путем специального поворота координатной системы может быть приведено к уравнению, е котором не будет содержаться слагаемое 2а;„х'у', т.е. коэффициент а, 'будет равен нулю. Такое упрощение уравнения второго порядка мы будем называть стандартным. Естественно, мы будем предполагать, что е исходном уравнении (6.60) коэффициент а,, не равен нулю, ибо в случае аы — — 0 поставленный вопрос является решенным.
Пусть ср — угол поворота искомой повернутой системы координат. Обращаясь ко второй из формул (6.67), найдем, что искомый угол ср является решением следующего тригонометрического уравнения; ! — — (а„— азз)сбп2ср ч-аш соз2тр = О, 2 ) Таким образом, центральная линия имеет единственныи центр Из последней формулы и вытекает соотношение (6.76). Наличие центра у линии второго порядка связано с разрешимостью уравнений центра (6.74). Если уравнения центра имеют единственное решение, то линию Л второго порядка будем называть и е н тр а л ь н о и' '), Так как определитель системы (6.74) равен 1а, а необходимым и достаточным условием существования единственного решения этой системы является неравенство нулю ее определителя, то мы можем сделать следующий важный вывод: линии эллиптического типа (1а > 0) и гиперболического типа (1а < 0) — и только эти линии — являются центральными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
