Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия (7-е изд., 2004) (1095460), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Отсюда и вытекает, что число нз верхнего класса больше числа из нижнего класса. Далее заметим, что оба класса не являются пустыми: нижнему классу заведомо принадлежит рациональное число нуль, а для установления непустоты верхнего класса достаточно положить и = 1 и заметить, что аксиома Архимеда 1У, 1 гарантирует существование такого натурального числа т, что при и = 1 справедливо неравенство (П.1).
213 ЛКСИОМЫ ЭЛЕМЕНТЛРНОИ ГЕОМЕТРИИ В силу теоремы о точных гранях непустого ограниченного сверху (снизу) множества ) существует точная верхняя грань х рациональных чисел нижнего класса и точная нижняя грань х рациональных чисел верхнего класса. Убедимся в том, что эти грани х и х заключены между как угодно близкими рациона гьными числами и поэтому совпадают. Достаточно доказать, что суи!ествуют как угодно близкие числа разных классов, а это вытекает из того, что для как угодно большого номера и найдется номер т такой, что рациональное число (т ж 1)(и принадлежит верхнему классу, а рациональное число тггп принадлежит нижнему классу ). д Положим теперь х = х = х и поставим вещественное число х в соответствие точке М, назвав его координатой этой точки.
Требование 1' обосновано. Пусть теперь М, и М, — какие угодно дее точки, лежащие по ту же сторону от О, что и Е, и такие, что М, лежит между О и М.„т.е, ОМа > ОМ,. Докажем, что если х, и х, — координать1 точек М, и М, соответственно, то хз > хн Выберем номер и настолько большим, чтобы разность отрезков ОМ, и ОМО повторенная и раз, превзошла отрезок ОЕ (это можно сделать в силу все той же аксиомы Архимеда 1Н, 1). Тогда, обозначая через т наибольшее целое число, для которого и ОМ >т ОЕ, мы получим, что и ОМ1<(тч-1) ОЕ, (П.З) и в силу сделанного выше выбора номера и и ОМ >(те 1) ОЕ.
(П.4) Из (П.З) заключаем, что рациональное число (т+1))п относится к верхнему классу по отношению к точке Мн т е. (т + 1)/и > х О а из (П 4) заключаем, что то же самое рациональное число (т+ 1) уп относится к нижнему классу по отношению к точке Мш и поэтому ха > (т+ 1),гп. Тем самым неравенство хз > х, доказано. Если теперь мы имеем на прямой а какое угодно число точек, идущих в порядке О, М1, Ми..., М„(в сторону Е )), то из только что доказанного утверждения для координат этих точек получим О < х, < х, «... х„. Тем самым для случая расположения точек по ту же сторону от О, что и Е, требование 2' доказано. Для точек М, лежащих на прямой а по ') См.
вып 1, теорему 2.! ) Тот факт, что для любого номера п наидется указанный номер т (такси, ято справедливо (11.1)). с~шва вытекает из аксиомы Лркимеда )У, 1. ') В дальнейшем зта сторона именуется положишелзной. ИРИЛОЖШ1ИЕ ПРОБЛЕМЫ ОСПОВАИИИ ГЕОМЕ1'РИИ 214 другую сторону от О, совершенно аналогично вводятся отрицательные координаты и повторением тех же рассуждений мы устанавливаем требования! ' и 2' в общем виде. Для установления требований 3' и 4' мы сначала докажем, что если на прямой а в по гожительную сторону от О взяты точки Ми Мз и М, причем М, лежит между О и М и отрезки М,М и ОМг конеруэнтны, то х = х, + хз (здесь х, хг и хг — координаты точек М, М, и Ме соответственно).
Возьмем из нижних классов, отвечающих координатам х, и х,„два произвольньгх рациональных числа, обозначив их (после приведения к общему знаменателю и) соответственно через тгу'и и т,.уп. Тогда и ОМ,>т, ° ОЕ, и ОМЕ>тз ОЕ. Складывая последние два неравенства, получим и ОМ > (тг4-тв) ОЕ. (П. 5) Точнее говоря, в левой части (П.5) мы получим сумму и раз отложенного отрезка ОМ, и и раз отложенного отрезка ОМ.„но после перегруппировки слагаемых мы и получим и раз повторенную сумму отрезков ОМ, и ОМ„т.е.
и ОМ ). т, те Из неравенства (П.5) заключаем, что рациональное число — + = принадлежит н и ж н е м у классу, отвечающему координате х. Совершенно аналогично, взяв любые рациональные числа т, у и и тгу и из верхних классов, отвечающих координатам х, и хг, мы убедимся в том, что рациональное число †' + †' принадлежит верхнему классу, отвечающему координате х. Но тогда из определения суммы вещественных чисел и из того, что рациональные числа как из верхнего, так и из нижнего классов как угодно точно приближают соответствующую координату, мы получим, что вещественное число х равно сумме х, + хз. Тем самым нами доказано, что отложить от точки М, с координатой х, (в положительную сторону) отрезок ОМг — это все равно, что построить точку М с координатой х, удовлетворяюи(ей условию х = х, + х„где хз > Π— координата точки Мд Это утверждение мы доказали для случая х, > О, но легко распространить его и на общий случай (предоставляем зто читателю).
Из дока! ) То, что в геометрическои сумме отрезков мы можем, не меняя суммы. переставлять слагаемые, вытекает из следуюгдих соображении Достаточно убедиться в возможности перестановки для лвух слагаемых, а это непосрелственно вытекает из аксиомы 1и, 3, в формулировке которои ничего не сказано о порядке, в котором яприставляютсюг друг к другу слагаемые отрезки Л'В' и В'С' При любом их порядке сулгма Л'С' конгруэнтна отрезку ЛС.
215 ЛКСИОМЫ ЭЛЕМЕНТЛРНОИ ГЕОМЕТРИИ ванного утверждения сразу же вытекает требование 4', а для доказательства утверждения 3' достаточно заметить, что откладывание данного отрезка равносильно добавлению к координате точки постоянного слагаемого. Первая основная теорема полностью доказана ). 3 а м е ч а н и е. Особо подчеркнем, что в первой основной теореме не утверждается, что каждому вещественному числу х соответствует определенная точка на прямой !т.е. не утверждается, что соответствие между точками прямой и вещественными числами является взаимно однозначным). Мы сейчас увидим, что это невозможно доказать, опираясь только на аксиомы 1, 1 — 3, !1, Ш, ! — 2 и !Ч, ! и не привлекая аксиому линейной полноты 1Ч, 2, Вторая основная теорема.
Пусть справедливы аксиома 1, 1 — 3, 11, 111, ! — 3, 1Ъ', ! и на прямой а введены координаты. Тогда, для того чтобь! каждому вещественному числу х отпвечала некоторая точка прямой а, т.е. для того, чтобы между всеми точками прямой а и всеми вещественными числами суи!ествовало взаимно однозначное соответствие, необходимо и достаточно, чтобы была справед,гиви аксиома линейной полноты 1)т, 2.
Д о к а з а т е л ь с т в о. !) Д о с т а т о ч н о с т ь. Докажем, что если су!цествуют вегцественные числа х, которым не отвечает никакая точка прямой а, то аксиома 1Ч, 2 заведомо несправедлива. Пусть существуют указанные вещественные числа х.
Каждое из них мы назовем новой точкой и присоединим все новые точки к совокупности прежних точек прямой а. На пополненной прямой (назовем ее а ) уже каждому вещественному числу отвечает точка, и обратно. Определим на а соотношения «лежит между» и «конгруэнтен». Будем говорить, что точка Мг прямой а лежит между М, и Мз, если либо х, < хл с х,, либо х, > хг > х,, где под хп хг и х, нужно понимать координату соответствующей точки Мн М, и М,, если эта точка прежняя, и саму эту точку, если она новая, Очевидно, что в применении к прежним точкам определенное на а соотношение «лежит между» сохраняет старый смысл.
Будем говорить, что отрезок М,Мг прямой а конгрузнтен отрезку той же прямой М;Мг, если х — х, = хе — х;, где под хп хг, х,' и х,' нужно понимать координату соответствующей точки Мп Мг, М,' и М;, если эта точка прежняя, и саму эту точку, если она новая. Снова очевидно, что в применении к прежним точкам определенное на а соотношение «конгруэнтен» сохраняет старый смысл.
) Подчеркнем, что нри докезетельстее еереон осноенои теоремы аксиомы 1, 1-3 и 11 аспольловалась «ашь для усмановленая порядка следования мочек на ° рямой приложкниг. проьлвмы основы)ии гвомшрии 2)6 Очевидно также, что для точек пополненной прямой а определен порядок следования и справедливы аксиомы конгруэнтности 111, 1-3 и аксиома Архимеда 1Ъ', 1. Тем самым мы установили возможность пополнения прямой, противоречащую аксиоме линейной полноты 1Ъ', 2. Достаточность доказана. 2.
Н е о б х о д и м о с т ь. Докажем, что если аксиома линейной полноты 1Ч, 2 не имеет места, то координаты всех точек прямой а не исчерпывают всех вещественных чисел. Если аксиома ут1, 2 не имеет места, то существует пополненная новыми точками прямая а, для всех точек которой определены соотношения «лежит между« и «конгруэнтен«, определен порядок следования и справедливы аксиомы конгруэнтности 111, 1-3 и аксиома Архимеда 1т7, 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
