Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия (7-е изд., 2004) (1095460), страница 46
Текст из файла (страница 46)
В силу первой основной теоремы на пополненной прямой а можно ввести координаты 1в этой теореме аксиомы 1, 1 — 3 и 11 использовались лишь в форме возможности установления на данной прямой порядка следования точек). Мы получим, что каждой точке пополненной прямой а отвечает определенное весдественное число, причем разным точкам отвечают различные вещественные числа. Но отсюда следует, что те вещественные числа, которые отвечают точкам, производящим пополнение, не будут соответствовать ни одной точке исходной прямой а. Необходимость доказана.
Вторая основная теорема полностью доказана. 6. Аксиома параллельности. Самая последняя аксиома играет в геометрии фундаментальную роль, определяя разделение геометрии на две логически непротиворечивые и взаимно исключающие друг друга системы: евклидову и неевклидову геометрии. В геометрии Евклида эта аксиома формулируется так: «7. Пусть а — произвольная прямая и А — точка, лежащая вне прямой а, тогда в плоскости и, определяемой точкой А и прямой а, существует не более одной прямой, проходящей через А и не пересекающей а.
Долгое время геометры выясняли вопрос о том, не является ли аксиома параллельности ту следствием всех остальных аксиом!, 11, П1, 1Ч. Этот вопрос был решен Лобачевским '), который доказал, что аксиома Ъ' не является следствием аксиом 1-1Ч. По-другому результат Лобачевского можно сформулировать так: если к аксиомам 1 — 1Ч присоединить утверждение, отрицающее справедливость аксиомы Ч, то следствия всех этих положений будут составлять логически непротиворечивую систему 1неевклидову геометрию Лобачевского). ') ))иколви Иванович Лобачевский — великии русскии мвтемвтик () 793 — ! 856). 2)7 НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ ГЕОМЕТРИИ ЕВКЛИДД Схема доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского излагается в ~ 3 настоящего Приложения. Здесь же мы отметим, что систему следствий, вытекающих из одних только аксиом 1-1)7, обычно называют абсолютной геометрией.
Абсолютная геометрия является общей частью как евклидовой, так и неевклидовой геометрий, ибо все предложения, которые могут быть доказаны только с помощью аксиом 1 — 1Ч, верны как в геометрии Евклида, так и в геометрии Лобачевского (примеры таких предложений читатель найдет в предыдущих пунктах).
ф 2. Схема доказательства непротиворечивости геометрии Евклида Наметим схему доказательства непротиворечивости всех пяти групп аксиом геометрии Евклида. Ради простоты ограничимся доказательством н е и р о т и в о р е ч ивости планиметрии Евклида, т.е. установим непротиворечивость системы аксиом 1, 1 — 3, 11 — тг, Для доказательства достаточно построить какую-нибудь конкретную реализацию совокупности объектов, удовлетворяющих всем указанным аксиомам.
Мы построим так называемую декартову или арифметическую реализацию совокупности объектов, удовлетворяющих аксиомам планиметрии. Тем самым вопрос о непротиворечивости планиметрии Евклида будет сведен к вопросу о непротиворечивости арифметики. Назовем точкой любую упорядоченную пару вещественных чисел (х, у), а прямой — отношение трех вещественных чисел (и: о: из) при условии, что и + оа м О ). Будем гово рить, что точка (х, у) принадлежит прямой (и: о: ш), если справедливо равенство (П.
6) их+ оу+ и = О. Докажем справедливость аксиом 1, 1-3. Каковы бы ни были две различные точки (хн у,) и (хш уа), прямая ') (у~ — у: х — х,: х,уа — хву~), как легко убедиться, содержит эти точки (аксиома 1, 1). Далее из уравнений их, +оу)+из=О, мха+пуз+то=О ) Отношением (и: о: ш) называется совокупность трех вещественных чисел и, о, ш при условии, что при тобом ли 0 совокупности и, о, ю и Хл, Хо, кп рассматриваются как тождественные 2 с)Так как точки (хну~) и (х,, уз) различны. то (х~ — хз) е (у~ — Уз) мО ИРиложн1ис иРОвлемы ОО1ювхиии ГВОмвтРии 21 В вь1текзет, что и: и: ш = (У, — Уз): (хз — х,): (х,У, — хзУ,), так что точками (хь у,) и (хв уз) определяется только одна прямая (и; о: га) (аксиома 1, 2) Наконец, справедливость аксиомы 1, 3 вытекает из того, что уравнение (П.б) с двумя неизвестными х и у всегда имеет бесчисленное множество решений и не всякая пара х и у есть решение уравнения (П.б). з 2 Теперь определим соотношение»лежит между».
Так как и + и ~ О, то либо и~О, либо о~О. Если и ~ О, то будем говорить, что точка (хв уз) лежит между (хи у,) и (хз, уз), если либо х, < хз < хз, либо х, > х > хз. Если же и = 0 (при этом заведомо и ~ 0), то будем говорить, что точка (хз, уз) лежит между (хь у,) и (х,, уз), если либо у, < уз < у,, либо у, > уз > уз. Справедливость аксиом 11, 1-3 проверяется тривиально.
Несколько кропотливую проверку аксиомы Паша Ц, 4 мы опустим. Обратимся теперь к определению соотношения «конг ру энте н»н С этой целью рассмотрим так называемое ортогональное преобразование. Преобразование х'= а,х+ Ь,у+ си у'= аах+ Ьзу+ се, (П. 7) переводя1цее произвольную точку (х, у) в определенную точку (х', у'), называется ортогональным, если выполнены соотношения а, + Ь1 — — 1, аз + Ьз — — 1, а1аз+ Ь1Ь —— О. з (П.8) Легко доказать, что всякое ортогональное преобразование (П.7), (П.8) можно представить в одной из следующих форм: либо в виде Х = О1Х вЂ” ))У Э СИ У = 1)Х + СОУ Э Сть (П.9) либо в виде х ' = гхх -~ ~)у -~ с1, у ' = ~)х — ау + сз, (П.10) причем в обоих случаях о1з + 1) = 1.
Преобразования (П9) и (П.10) обычно называют ортогональнь»ми преобразованиями соответственно первого и второго рода. Пусть даны произвольная прямая (и: о: ш) и на ней некоторая точка (хо, уо), так что ихо+ пуп+ га = О. Легко убедиться в том, что совокупность точек (х, у), где (П.11) х=хоэо( у=ус принадлежит прямой (и: о: гь) для любого вещественного числа Ц Далее ясно, что при ( > 0 все указанные точки (х, у) лежат по одну сторону от точки (хо, уо), а при ( < 0 эти точки лежат по другую сторону от (хо уо).
2!9 НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ ГЕОМЕТРИИ ЕВКЛИДА Иными словами, уравнения (П.11) при всевозможных положительных ! определяют все точки полупрямой, исходящей из точки (хо, уь) и лежащей на прямой (и: о: ю). Эту полупрямую мы будем обозначать символом (хо, уо, о, -и). Оказывается, всякое ортогональное преобразование (как первого, так и второго рода) переводит люоую полупрямую снова в полупрямую. Более точно, справедливо следующее утверждение: ортогональное преобразование (П.9) или (П.10) переводит полупрямую (хь, уь, о, -и) в полупрямую (х„', уь, о', — и'), где для случая преобразования (П.9) хо = охо !)Уо+ с1 Уо = !)хо+ Г"Уо+ са о'=ао+))и, и'=-!зо — Гти, и для случая преобразования (П. !0) хо = охо+ !)Уо+ с! Уо = ))хо ОУВ+ см о' = о'.о — !Зи, и '= -!)о — аи, Теперь назовем отрезок АВ конгрузнтным отрезку А'В', если сушествует ортогональное преобразование, которое переводит точку А в точку А ', а точку В в точку В'.
Угол г.(й, я) назовем конгруэнтным л(й', й'), если существует ортогональное преобразование, переводящее полупрямую и в полупрямую и' и полупрямую )ь в полупрямую я'. Далее нужно перейти к проверке аксиом 111, 1 — 5. Аксиома 111, 2 вытекает из групповых свойств ортогонального преобразования, в силу которых как последовательное проведение двух ортогональных преобразований, так и преобразование, обратное к ортогональному, снова являются ортогональными преобразованиями. Проверка остальных аксиом группы 1!1 требует кропотливой техники и использования указанного выше утверждения, и мы ее опустим.
Что же касается аксиом непрерывности, то аксиома Архимеда 1Н, 1 проверяется непосредственно, а справедливость аксиомы полноты 1Н, 2 вытекает из того, что между всеми точками любой прямой и всеми вещественными числами можно установить взаимно однозначное соответствие (см. вторую основную теорему из и. 5 ф 1). Нам остается еше проверить справедливость аксиомы параллельности Н.
Пусть (и: о: Го) — произвольная прямая н (х„, уо) — точка вне ее, так что ихо+ оуь+ ю ~ О. Пусть (и': о': ю') — прямая, проходящая через точку (хь, у„), т.е. удовлетворяющая условию и хо ч- о Уо+ Го ' = О. (П. 12) пеиложкниг. нгоьчшмы основании гкомвтяии Поскольку эта прямая не пересекает прямую (и: о: ш), должна быть несовместна система уравнений (П. 13) и'х+о'у+те'=О, их+ ну+ ш=О. Из несовместности системы (П.13) заключаем, что и': и = о'; о, или, что то же самое, и'= ).и, о'= ) о, где ). — некоторое число.
Ио тогда из (П 12) получим те' =-Х(ихг ь оуа), т е. и': о' . ю' = и: о: -(ихо+ оуо). Итак, отношения и': о' . ю' однозначно определены, т.е. существует единственная прямая (и': о': те'), проходящая через (х„, уо) и не пересекающая прямой (и: о: ю). Тем самым доказательство непротиворечивости планиметрии Евклида завершено. Замечание. Аналогично доказывается не п р о т и в о ре ч ив ос т ь с те р е о м е три и Е в кл и да.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
