Гоноровский И.С. Основы радиотехники (2-е издание, 1957) (1095421), страница 32
Текст из файла (страница 32)
34) ~. 6+к„,Я,'+ 193 ток как величину, сопряже„„, енну,„, (Ео 1 ов Фо ахоП на Е,, найдем сопротивление „ , " ухоо. Еа 4(па 11а(оа Ма)1 (631) Но 2 „- не зависит от фазы Е,. Поэтому Е, можно считать чн часто вещественной величиной. Ооозпачим через Ем, Зов и )хо1 средние за период зна воя соответствующих энергетических функций при Ев = 1,. гхо вместо выражения (6.31) получим или после выделения действительной и мнимой частеи; Представив, наконец, сопротивление двухпоаиосника в фора Ах (оа) =)Свх (оо) +1Хвх (1") =Явх е и основываясь на положительности Го1, Лов и )хо1, пр нходоо к следующим выводам о свойствах пассивных двухполюсвнх инков: а) вещественная часть сопротивления люоого пассивного (т .. о тоут ечетяо) полюсника является функцией четной, а мнимая часть — не"е относительно частоты (см.
ф-лу (6.32)); то же относится « к ого водимости; ти аог б) вещественная часть сопротивления (и проводимости) "о ных зао сивного двухполюсника не может принимать отрицательно чений; ка яол"' в) аргумент ав (фазовый угол) для любого двухполюсника я и, мод)з ется функцией нечетной относительно частоты ао.
Четность . след)' ввх (ов) относительно ы очевидна. Из выражения (6.33) .'ов также, что ав (ы) может обращаться в нуль только при Равен упериод) суммарных значений энергии, запасаемых Родни, 'ивностями и всеми емкостями системы. Такое поло., (за 'пер всеми место при резонансах. ср 'иидУктивн ,кение ' , е„ьные сведения о частотных свойствах двухио' Лополн"д~„'дятся в следующем параграфе.
Ников при ,ногих радиотехнических задач существенное значение дтя мно , астотные свойства двухполюсников, составлеВных из ирониею '„числа индуктивностей и ймкостсй и Обладающих бОль- ВЗЗОЛЬИОГО Ч ом резонансных частот. Так как активные сопротивления Шива ЧИСЛО в под б,х системах обычно малы по сравнению с сопротивлениями реактивных элементов, то Ряд важных для практики свойств двухполюсников можно выявить из рассмотрения случая реактивного двухполюсника.
реактивные двухполюсники (без потерь) обладают тем свойОм, что наклон кривой, выражающей зависимость сопротнвле„ия двухполюсиика от частоты, всегда положителен. В случае простейших комбинаций из элементов Е и С это, положение о завидно (рис. 6.3). Для дока доказательства его в общем случае, при сколь угодно Реактивном двухполюснике, обратимся опять к системе УР-ний (6.3), п а ), полагая амплитуды Е не зависимыми от частоты. а' и', кр( Р ицировав уравнения этой системы по оа и обозначая ОщвоДВУю штрихом, получим; Здесь Н.
= ХчзЕз + 3чз/з+ + г'„1„ и ч з Нч ~чз ч м (6.37) ° (636) ч=з ()з+ч й4 з. Ез 1 =:— з †. з Хвх й4чз = Мзч. 4чз — 4 ' то очевидно, что и ) .—. И 1 ) Хвх/ . Е, /азХвх'з Можно позтому написать: (6.38) Х' Етчнчз Х' Е/члзч Ез = — ~~в — = — Е~ —— д Е а ч-з ч=1 (6,36') — 3. зЗзч а — з.' Ез †ДЕз/ =-з (6. 39) а,з а,з а,з а= азз азз азз ам а,з аьз ч Е Нч/ч=з 4 (Ео+~"о)з Отззуда ч=з чн 199 19з (6.3в) Замечаем, что система ур-ний (6,34) отличается от ур. р.ний ~6 только правыми частями. Можно позтому для реп,е 3) щения '. относительно Е,' воспользоваться ф-лой (6.8), заменив в ней на ЕЕ„ ней Еч Ранее при выводе ф-лы (6.9) отмечалось, что алгебраиче дополнение А„, связано с минором Езачз соотношением 1ческсе Поскольку для минора действительно равннствод) Но в соответствии с выражением (6.8') Таким образом, выражение (6.36') переходит в следующее — з 11 = ~ Е Нч/»' Езч=з ') Это положение нетрудно пояснить нв прастом примере.
Возьмем впрок визель в виде в образуем, например, сиервв минор Етзз ам, азз Лтзз=~ ' =ам азз — аззазз аз, аз, Для минора Лззз будем иметь аз, аз, Мм —. ~ ~ = азз азз — аз а з. а„а Так квк азз- -а,„и а„а, то, очевидно, и Др.,=лтзз. „и,'без потерь, составленной из чисто реактивных зледля цеп амплитуда тока Еч в любой из ветвей равна взятой , зонтов, — ьв м знаком сопряженной амплитуде Е„, позтому с обРатным 6 другой стороны, обозначив входное сопротивление чисто реакт ,, аной цепи через (Хвх, можем написать откуда прямым дифференцированием по пз находим производную Подставив это выражение в левую часть ф-лы (6.37) и решая его относительно ††, получим аХвх ам Теперь остается использовать выражение (6.35) для Н и, кро- ме того че , у сть, что производные Узл в отсутствии потерь равны з ч ~м='(Е'ь+с — мз). ' ' ' ' (6.40) 1 С~лез Тогда в соо ответствип с выражениями (6.28) и (6.29) получим Учитывая, наконец, выражение (6.31), которое для ц пенн потерь принимает вид Еа 1Х,„1 — „( „., окончательно получим Х„Е« (Х,+Г;) а!и 4«42 Фа-Гва)' (6,41 Как и в ф-ле (6.31), величину Ез следует считать вещест Из выражения (6.4!) следует, что, поскольку энергетич иней .еенне функции Ее и )22 всегда положительны, наклон криво,", ражающей зависимость Х, от частоты, для и нц.
не сивного двухполюсника не может принимать о р нательного значения. Это важное положение иногда называют теоремой о рь активном сопротивлении. На основании этой теоремы можно установить характер рз, положения резонансных частот двухполюсника в любом чаевзт, ном диапазоне, а также установить правила построения схецц двухполюсника по заданным резонансным частотам. С этой кельи обратимся к выражению (6.10') и приведем его к виду, белы удобному для выяснения частотных свойств сопротивления двух. полюсника.
Входящие в это выражение определитель Л и минор Мзз веж. но представить в виде полиномов от ! еа. Степень этих полвноцюз нетрудно установить. Очевидно, что определитель, равный сукне произведений вида (см. ф-лу (6.4)) Лаа ° 222 ... л, 222 222 ... ° л„а и т. д., при подстановке (в случае 242- — -О) 1 (6.41) Са оудет приводить к наибольшей положительной степени 1м, рзз ной и, и к наибольшей отрицательной степени, также равно(4 в Минор Мм, состоящий из суммы произведений вида (си.
Ф.л) (6.12)): Лм Л,~ ... Л, Л„.2~, ... ° Е„, и т. д., приводит к с42' пеням (и — 1) и — (и — !). для того, чтобы освободиться от отрицательных степев енеА умножим выражение (6.42) на ! вм 4 еа 242 = (! м)2 7,2+— 1 6.4х) Сга Тесле и подставим 1м Лэл вместо 242 в выражения (6.4) и (6.12) вместо Ь и М„получим новый определитель 41« = Ь 6 еа)" и новыи минор Маза =М44 (1 еа)" '. М«44 н подставляя Ь= — '«и Мм — — .
4 в выражер« 2- в 124=Р Оооэначив е (6 . 0) получим л« 2«2 = Р (6.45) (6,42') ясно, что Ь* и М,"', могут быть преды аження Пэ р ледующих полипомов: ,ы в виде с ставлены (6.46) (6.47) йз«р + ~24«-1~ Р + ' ' ' + 442 Р + е' ,1 представляют собой и корней уравнения где ра Рз Рз -а Д =О, а р„ра,...р,„, — (и — 1) корней уравнения М,,=О. Оощее выра. кение для корней имеет вид: ра = (! ма)2 = — о« ' рз =.
-'1 и, (6.46) Подставляя выражения (6.46') — (6.47') в (6.45), получим Л =- — '- =К м — — 'е) — (г.; Р' — ''(Р—, -';='-. (6.49) Ф~" Р( ч — Р") (Рг- рйе Ь' — Р«~4-2) 3десь обозначено «ав К= Заы и ереходя обратно от р к 1«4, можем представить сопротивление двухполюсника в форме (и'-иВ0' — Ю "( '- аег ) «42(ьа — 4««а)(«42 — иВ... 0«~ — ш'«2) вх, ~казать, что частоты 4«, еаз, . «42 4 являются нуляали '"асжно сзц сопротивления 7.,2, а частоты ., «44,... «4«„2 — полю- 22;,н " проводимости У'„,2, наоборот, частоты «44, еаз,...о,„ а чее полюсазви, а частоты еэ и..., м — нулями.
ФизиНзякэтея кв зто 244'''2 — 2 ОэваЧаст, ЧтО ПРИ ЧаетОтаХ О„, О,... Мзв, ЦЕПЬ ажения входят только четные степени р. Можно В эти выражен честве независимого переменного выбрать р, а поли- 2 (6 46) н (6.47) можно выразить в форме: еэтому в качеств , невы (б. ) н Ь«=-я (рз 2) (, 4ие -и (Рз — рэ) (р' — рр 188 настраивается в последовательный резонанс и, если теРь, вхоДное сопРотивленпе обРаЩаетсЯ в нУль. 1)а нат 211,... м, 2 соответствует резонанс токов, при которо сто» „ 4 ' ' нм-2 нхн-. сопротивление обращается в бесконечность. Из выраже,п, следует, что задание резонансных частот реактивно ( .
люсника — нулей и полюсов — однозначно определи~~ дну с постыл до постоянного коэффициента сопротивление дну» люсника ва всем частотном диапазоне. ' уха Из доказанной выше положительности наклона кРив~й Х следует, в частности, что нули и полюсы входного сопро „„'1( издан чередуются, т. е.
выполняется условие 0 <щ1 <и2 « ма~ 2 <со (6,51 Действительно, если допустить наличие на оси астат последовательность двух нулей илн двух полюсов, то ахат Хвл (21) должна меж указанными точками „, х) менить знак наклон3 что невозможно, ))о му изменение Хм („) а 21 для реактивного двухаа х оч аа 12 люсника слеДует арал.
ставлять себе н ння функции, изображенн21 на рис. 6.4. Рис. 6А На нулевой и беса печных частотах Хм(н) может обращаться в нуль или в бесконечность, смотря по струи. туре цепи. Нетрудно убедиться, что изображенный на рнс. 63 хоД зависимости Ха (м) соответствУет слУчаю, когДа ДвУхполпа пик не пропускает постоянного тока. Пример подобного двухполюсника, содержащего последовательно включенный конденсатор Са, показан на рис. 6.5. Если двухполюсник про- 6, пускает постоянный ток, то зависимость Х„х (м) должна иметь характер, показанный на рис. 6.6, Полученные результаты позволяют также установить минимальное Рнс. 6.6 число индуктивных и емкостных эле- сан" ментов, необходимое для получения заданного числа резо зонзна" частот.
Действительно, из выражения (6.50) следует, что '" число нулей и полюсов, не считая точек м 0 н м= 2 и — 1 (и корней числителя и и — 1 корней знаменателя) образом, общее число резонансов, как последовательны~' и параллельных, равно 2 и — 1. 200 ,' что при выводе выражения (6,50) через я было Капом „, ло контуров (ветвей), содержащих как индуктвввбвзна „'и ~мкость, и обладающих сопротивлением нв , так и ! г,,= м С„,+-.—— 1Ц'Ста лу (6.42)]. (с.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
