Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (1095419), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Íà ðèñ. 19.40 ïðèâåäåíî z-èçîáðàæåíèå ýòîéäèñêðåòíîé öåïè.X (z)z_1- 1,5X (z) z_1+4Y (z) = 4 X (z) - 1,5X (z) zH (z) = 4 - 1,5 z__114X (z)Ðèñ. 19.40547Ïðèìåð. Íàéäåì ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ äèñêðåòíîé öåïè, âõîäíàÿ è âûõîäíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîòîðîé èìåþò âèäx{ k } = {1; 0; 1; 2},y{ k } = {0; 1; 2; 1}.Z-èçîáðàæåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé¥X(z) =Y(z) =å x ( k ) × z -kk =0¥å y ( k ) × z -k= 1 + z -2 + 2 z -3 ;= z -1 + 2 z -2 + z -3 .k =0Ñëåäîâàòåëüíî, ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿH(z) =Y ( z ) z -1 + 2 z -2 + z -3=.X(z)1 + z -2 + 2 z -3Çíàÿ ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ äèñêðåòíîé öåïè H(z) ñ ïîìîùüþôîðìóëûY(z) = X(z)H(z)(19.44)ìîæíî íàéòè z-èçîáðàæåíèå âûõîäíîãî ñèãíàëà Y(z) ïî z-èçîáðàæåíèþ âõîäíîãî Õ(z).Äëÿ íàõîæäåíèÿ îòñ÷åòîâ âûõîäíîãî ñèãíàëà y(k) ïî åãî z-èçîáðàæåíèþY(z) ìîæíî òî÷íî òàêæå êàê è äëÿ àíàëîãîâûõ öåïåé èñïîëüçîâàòü òåîðåìóðàçëîæåíèÿ (ñì.
§ 7.2), êîòîðàÿ ïðèìåíèòåëüíî ê äèñêðåòíûì öåïÿì äëÿ ïðàâèëüíîé äðîáíî-ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè Y(z) = P(z)/Q(z) (ãäå P(z), Q(z) ïîëèíîìû) èìååò âèäy(n) =Må yl ( n ) =l =1Må Al zln ,(19.45)l =1ãäå Al êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ Y(z):AlP(z) MY(z) ==å, zl ïðîñòûå ïîëþñà Y(z).Q ( z ) l =1 1 - zl z -1Êîýôôèöèåíò Al ìîæåò áûòü íàéäåíé P(z) ùAl = êúë dQ ( z ) dz û z = zlâû÷åò ôóíêöèè Y(z) â ïîëþñå z = zl.Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî îòñ÷åòû y(k) äëÿ íåðåêóðñèâíîé öåïè ìîãóò áûòü íàéäåíû êàê êîýôôèöèåíòû ïðè îòðèöàòåëüíûõ ñòåïåíÿõz â óðàâíåíèè äëÿ Y(z).Ïðèìåð. Íàéäåì îòñ÷åòû âûõîäíîãî ñèãíàëà y(k) äèñêðåòíîé öåïè, z-èçîáðàæåíèå êîòîðîé ïðèâåäåíî íà ðèñ.
19.41, à âõîäíîé ñèãíàë x{ k } = {2; 1; 2; 1}.Íàéäåì z-èçîáðàæåíèå âõîäíîãî ñèãíàëà x(k):X(z) =¥å x ( k ) × z -kk =0= x ( 0 ) + x ( 1 ) z -1 + x ( 2 ) z -2 + x ( 3 ) z -3 == -2 + z -1 + 2 z -2 - z -3 .548_X (z)z_1_1z_11- X (z)_22X (z) z+H (z) = - 1 + z 1 + 2 z_12 X (z) z_2Y (z) = X (z) . H (z) = -X (z) + X (z) z_1+ 2 X (z) z_2Ðèñ. 19.41Ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ öåïè (ðèñ. 19.41) H ( z ) = -1 + z -1 + 2 z -2 . Îíà íàõîäèòñÿ íåïîñðåäñòâåííî ïî ñõåìå ëèáî êàê z-èçîáðàæåíèå äèñêðåòíîé èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêè h{ k } = {1; 1; 2}.Íàéäåì z-èçîáðàæåíèå âûõîäíîãî ñèãíàëàY ( z ) = X ( z ) × H ( z ) = ( 2 + z -1 + 2 z -2 - z -3 ) ( -1 + z -1 + 2 z -2 ) == 2 - 3 z -1 - 5z -2 + 5z -3 + 3 z -4 - 2z -5 .Êîýôôèöèåíòû ïðè z â îòðèöàòåëüíûõ ñòåïåíÿõ â ýòîì âûðàæåíèè ÿâëÿþòñÿîòñ÷åòàìè âûõîäíîãî ñèãíàëà y(k) (ðèñ.
19.29):y{ k } = {2; 3; 5; 5; 3; 2}.Ïðèìåð. Íàéäåì îòñ÷åòû âûõîäíîãî ñèãíàëà íåðåêóðñèâíîé äèñêðåòíîéöåïè, èìåþùåé äèñêðåòíóþ èìïóëüñíóþ ðåàêöèþ h{ k } = {1; 0,6; 1,5; 1},ïðè âîçäåéñòâèè íà íåå äèñêðåòíîãî ñèãíàëà x{ k } = {1; 0; 1; 0}.Îòñ÷åòû äèñêðåòíîé èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêè ýòî êîýôôèöèåíòûóñèëåíèÿ a 0 = 1; a 1 = 0,6; a 2 = 1,5; a 3 = 1.
Ñòðóêòóðíàÿ ñõåìà íåðåêóðñèâíîé äèñêðåòíîé öåïè ñ çàäàííîé èìïóëüñíîé ðåàêöèåé ïðèâåäåíà íàðèñ. 19.42.Âûõîäíîé äèñêðåòíûé ñèãíàë y(k) íàéäåì, èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå (19.38)y ( k ) = a0 x ( k ) + a1x ( k - 1 ) + a 2 x ( k - 2 ) + a 3 x ( k - 3 ) == x ( k ) - 0,6 x ( k - 1 ) - 1,5 x ( k - 2 ) + x ( k - 3 ) .x (n)1x (n)T- 0,6 x (n - 1)T-1,5 x (n - 2)T1+y (n) = x (n) - 0,6 x (n - 1) - 1,5 x (n - 2) ++ x (n - 3)x (n - 3)Ðèñ. 19.42549x ( k)y ( k)221110_123k0_112345kÐèñ. 19.43Îòñ÷åòû ñèãíàëà y(k) íàéäåì, ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ x(k) â ïîëó÷åííîåðàçíîñòíîå óðàâíåíèå.y (0) = x (0) = 1;y ( 1 ) = x ( 1 ) - 0,6 x ( 0 ) = 0 - 0,6 × 1 = -0,6 ;y ( 2 ) = x ( 2 ) - 0,6 x ( 1 ) - 1,5 x ( 0 ) = 1 - 0,6 × 0 - 1,5 × 1 = -0,5 ;y ( 3 ) = x ( 3 ) - 0,6 x ( 2 ) - 1,5 x ( 1 ) + x ( 0 ) = 0 - 0,6 × 1 - 1,5 × 0 + 1 = 0,4 .Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ðàññ÷èòûâàåì y(4) = 1,5; y(5) = 1; y(6) = 0.
Âñåîñòàëüíûå îòñ÷åòû òàêæå ðàâíû íóëþ.Òàêèì îáðàçîì, âûõîäíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü y{ k } = {1; 0,6; 0,5; 0,4;1,5; 1}. Ãðàôèêè x(k) è y(k) ïðèâåäåíû íà ðèñ. 19.43.Èç ðèñ. 19.37 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ðåàëèçàöèè àëãîðèòìîâ ðåêóðñèâíîé îáðàáîòêè ñèãíàëà äèñêðåòíàÿ öåïü äîëæíà èìåòü áîëüøîåêîëè÷åñòâî ÿ÷ååê ïàìÿòè, ÷òî ñóùåñòâåííî óñëîæíÿåò ñõåìó. Äëÿóïðîùåíèÿ äèñêðåòíîé öåïè èñïîëüçóþò, òàê íàçûâàåìóþ êàíîíè÷åñêóþ ñõåìó. Êàíîíè÷åñêàÿ ñõåìà ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç(19.43), åñëè ïðåäñòàâèòü Y(z) â âèäå:Y(z) = W (z)Nå a k z -k ,(19.46)k =0x ( k)a0+Ta1b1Ta2b2TaNbMÐèñ. 19.44550+y (k)x ( k)a0++a0a1a2b1b2Ta1b1Ta2b2y ( k)=1_= 1=1= 0,5_= 0,5Ðèñ. 19.45ãäå W(z) z-ïðåîáðàçîâàíèå ïðîìåæóòî÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòèW (z) =X(z)1-M.(19.47)å bl z -ll =1Òîãäà ñîãëàñíî (19.46) àëãîðèòì äèñêðåòíîé îáðàáîòêè ñèãíàëàçàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî âíà÷àëå ðåàëèçóåòñÿ ðåêóðñèâíîå ïðåîáðàçîâàíèå (19.47), à çàòåì íåðåêóðñèâíîå (ðèñ.
19.44).Ïðèìåð. Íàéäåì ðåàêöèþ äèñêðåòíîé öåïè íà âîçäåéñòâèå x{ k } = {1; 1;1; 1}, åñëè ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ öåïè èìååò âèäH(z) =1 - z -1 + z -2.1 - 0,5 z -1 + 0,5z -2Ñîñòàâèì ñòðóêòóðíóþ êàíîíè÷åñêóþ ñõåìó äèñêðåòíîé öåïè ñ çàäàííîéïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé (ðèñ. 19.45). Êîýôôèöèåíòû óñèëåíèÿ èçâåñòíû:a0 = 1; a1 = 1; a2 = 1; b1 = 0,5; b2 = 0,5.Íàéäåì âûõîäíîé ñèãíàë y(k) öåïè, èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå (19.38) èëè íåïîñðåäñòâåííî ïî ñõåìå:y ( k ) = a0 x ( k ) + a1x ( k - 1 ) + a 2 x ( k - 2 ) + b 1y ( k - 1 ) + b2 y ( k - 2 ) == x ( k ) - x ( k - 1 ) + x ( k - 2 ) + 0,5y ( k - 1 ) - 0,5y ( k - 2 ) .Ðàññ÷èòàåì îòñ÷åòû y(k):y (0) = x (0) = 1;y ( 1 ) = x ( 1 ) - x ( 0 ) + 0,5y ( 0 ) = -1 - 1 + 0,5 × 1 = -1,5 ;y ( 2 ) = x ( 2 ) - x ( 1 ) + x ( 0 ) + 0,5 y ( 1 ) - 0,5 y ( 0 ) == 1 + 1 + 1 + 0,5 ( -1,5 ) = 2,25.Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ðàññ÷èòûâàåì y(3) = 1,125, y(4) = 1,3125 è ò.ä.Óñòîé÷èâîñòü ðåêóðñèâíûõ öåïåé. Äèñêðåòíàÿ öåïü ñ÷èòàåòñÿíåóñòîé÷èâîé, åñëè îãðàíè÷åííîå ïî àìïëèòóäå âõîäíîå âîçäåéñòâèå âûçûâàåò íà åå âûõîäå áåñêîíå÷íî íàðàñòàþùèé îòêëèê.
Íà551îáîðîò, äèñêðåòíàÿ öåïü óñòîé÷èâà, êîãäà îòêëèê íà îãðàíè÷åííîåâîçäåéñòâèå òàêæå îãðàíè÷åí.Èçâåñòíî, ÷òî ó óñòîé÷èâîé àíàëîãîâîé öåïè ïîëþñû ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè ðàñïîëàãàþòñÿ â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè ïåðåìåííîé p.Ïðè ïåðåõîäå îò àíàëîãîâîé öåïè ê äèñêðåòíîé è çàìåíå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà z-ïðåîáðàçîâàíèåì òî÷êè ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè pïëîñêîñòè ïåðåõîäÿò â òî÷êè, ëåæàùèå âíóòðè åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè z-ïëîñêîñòè (ðèñ. 19.19). Òàêèì îáðàçîì, ïîëþñû ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè óñòîé÷èâîé äèñêðåòíîé öåïè ðàñïîëàãàþòñÿ âíóòðèåäèíè÷íîé îêðóæíîñòè z-ïëîñêîñòè.Íåðåêóðñèâíûå öåïè âñåãäà óñòîé÷èâû.Ïðèìåð.
Îïðåäåëèì óñòîé÷èâîñòü öåïåé, èìåþùèõ ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèè:1 - z -1à) H1 ( z ) =,1 - 0,3 z -11 - z -1,1 - 2z -11 - z -2,â) H 3 ( z ) =1 - 1,8 z -1 + 0,97 z -2á) H 2 ( z ) =1 - z -2.1 - 2,4z -1 + 1,69 z -2Ïîëþñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèèã) H 4 ( z ) =H1 ( z ) =1 - z -11 - 0, 3 z -1íàéäåì, ïðèðàâíÿâ çíàìåíàòåëü H1(z) ê íóëþ, 1 0,3z 1 = 0.( )Ïîëó÷àåì ïîëþñ z 11 = 0,3, êîòîðûé íàõîäèòñÿ âíóòðè åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè z-ïëîñêîñòè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî öåïü óñòîé÷èâà.Ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿH2 ( z ) =1 - z -11 - 2z -1( )èìååò ïîëþñ â òî÷êå z 12 = 2; òàêàÿ öåïü íåóñòîé÷èâà.Ïîëþñû ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèèH3 ( z ) =1 - z -21 - 1,8 z -1 + 0,97 z -2( )( )ÿâëÿþòñÿ êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûìè z 13 = 0,9 + j0, 4 è z 23 = 0,9 - j0,4 .
Ïîñêîëüêó ýòè ïîëþñû ëåæàò âíóòðè åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè (èõ ìîäóëè(3)(3)z1 = z 2 < 1 ), òî äàííàÿ äèñêðåòíàÿ öåïü óñòîé÷èâà.Ïðèìåðîì íåóñòîé÷èâîé öåïè ñëóæèò öåïü ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåéH4 ( z ) =( )( )1 - z -2,1 - 2, 4 z -1 + 1,69 z -2( )ó êîòîðîé z 14 = 1,2 + j0,5 è z 24 = 1,2 - j0,5 è z 1 4552( )= z 24> 1.×àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè. Äëÿ ïåðåõîäà îò ïåðåäàòî÷íîéôóíêöèè H(z) ê ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêå H(jf) íåîáõîäèìî ïðîèçâåñòè çàìåíóz = e jwt = e j 2 p f T .Îáû÷íî ââîäÿò â ðàññìîòðåíèå íîðìèðîâàííóþ ÷àñòîòó W == f T = f / fä. Ñ ó÷åòîì ýòîãî ôîðìóëà (19.41) ïðèìåò âèä:H ( jW ) = H ( e j 2pW ) =a0 + a1e - j 2pW + a 2e - j 4 pW + K + a N e - j 2pNW==1 - b1e - j 2pW - b2e - j 4 pW - K - bM e - j 2pMW( a + a1 cos 2pW + a2 cos 4pW + K + a N cos 2pNW ) - (19.48)= 0´(1 - b1 cos 2pW - b2 cos 4pW - K - bM cos 2pMW ) +- j ( a1 sin 2pW + a 2 sin 4pW + K + a N sin 2pNW )´.+ j ( b1 sin 2pW + b2 sin 4pW + K + bM sin 2pMW )Èç (19.48) ëåãêî ïîëó÷èòü àìïëèòóäíî-÷àñòîòíóþ è ôàçî-÷àñòîòíóþ õàðàêòåðèñòèêè äèñêðåòíîé öåïè.
 ÷àñòíîñòè, àìïëèòóäíî÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà áóäåò ïðåäñòàâëåíà âûðàæåíèåì2a0 + a1 cos 2pW + a 2 cos 4pW + K ) +(H ( W ) = H ( jW ) =( 1 - b1 cos 2pW - b2 cos 4pW - K ) 2 +2+ ( a1 sin 2pW + a 2 sin 4pW + K ).´2+ ( b1 sin 2pW + b2 sin 4pW + K )´(19.49)Ïðèìåð. Äèñêðåòíàÿ öåïü 3-ãî ïîðÿäêà îïèñûâàåòñÿ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåéx(n)z-ïëîñêîñòüy(n)+z 2(6)z 1(6 )T1z 3(6)Tz 1(6) = 0,544ÏîëþñûTz 2(6) = 0,731 e + j 0,544_z 3(6) = 0,731 e j 0,544a)á)Ðèñ. 19.46553H( W ) = | H ( j W )|100,10,5W1,0Ðèñ.
19.47H6 ( z ) =( )1 - 1,785 z-10,1317+ 1,202 z -2 - 0,2853 z -3(19.50)( )6= 0,731e ± j 0,544 . Ðàñïîëîæåíèå ïîëþñîâ â ïëîññ ïîëþñàìè z 16 = 0,544 è z 2,3êîñòè z ïîêàçàíî íà ðèñ. 19.46, à. Çäåñü æå ïðèâåäåíà ñòðóêòóðíàÿ ñõåìà äèñêðåòíîé öåïè (ðèñ. 19.46, á). Îïðåäåëèòü À×Õ öåïè.Ïîäñòàâèì â (19.50)H(W) =´0,1317( 1 - 1,785 cos 2pW + 1,202 cos 4pW - 0,2853 cos 6pW ) 2 ++ ( 1,785 sin 2pW - 1,202 sin 4pW + 0,2853 sin 6pW )2´.Íà ðèñ.
19.47 èçîáðàæåí ãðàôèê À×Õ H(W) öåïè. Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òîÀ×Õ ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé (19.50) ñîîòâåòñòâóåò ÔÍ× Áàòòåðâîðòà. Êàê èñëåäîâàëî îæèäàòü, àìïëèòóäíî-÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà äèñêðåòíîé öåïè ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé (òàê êàê H(jW) åñòü ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå îòäèñêðåòíîé èìïóëüñíîé ðåàêöèè). Åå ïåðèîä ðàâåí fä = 1 / T èëè W = fä × T = 1.Ïîýòîìó îíà èñïîëüçóåòñÿ â äèàïàçîíå ÷àñòîò îò 0 äî 0,5fä (èëè äî W = 0,5).Öåïü óñòîé÷èâà.Ïðèìåð.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
