Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (1095419), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Äèñêðåòíàÿ êîìïëåêñíàÿ ýêñïîíåíòà, îïèñûâàåìàÿ ñîîòíîøåíèåìx ( k ) = Ae jwTk ,èëè, ñ ó÷åòîì ôîðìóëû Ýéëåðàx ( k ) = A cos ( wTk ) + jA sin ( wTk ) .Èíòåðâàë âðåìåíè T, ÷åðåç êîòîðûé îòñ÷èòûâàþòñÿ çíà÷åíèÿíåïðåðûâíîãî ñèãíàëà õ(t), íàçûâàåòñÿ èíòåðâàëîì äèñêðåòèçàöèè. Îáðàòíàÿ âåëè÷èíà 1/T (îáîçíà÷èì åå fä) íàçûâàåòñÿ ÷àñòîòîéâçÿòèÿ îòñ÷åòîâ èëè ÷àñòîòîé äèñêðåòèçàöèè.Îòñ÷åòû íåïðåðûâíîãî ñèãíàëà ñëåäóåò áðàòü ñ òàêîé ÷àñòîòîé(èëè ÷åðåç òàêîé èíòåðâàë âðåìåíè), ÷òîáû óñïåâàòü îòñëåäèòü âñå,äàæå ñàìûå áûñòðûå, èçìåíåíèÿ ñèãíàëà. Èíà÷å, ïðè âîññòàíîâëåíèè ýòîãî ñèãíàëà ïî äèñêðåòíûì îòñ÷åòàì ÷àñòü èíôîðìàöèè áóäåòïîòåðÿíà è ôîðìà âîññòàíîâëåííîãî ñèãíàëà áóäåò îòëè÷àòüñÿ îòôîðìû èñõîäíîãî (ðèñ.
19.8). Åñëè îáðàòèòüñÿ ê ñõåìå ðèñ. 19.1,òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî çâóê íà ïðèåìå áóäåò âîñïðèíèìàòüñÿ ñ èñêàæåíèÿìè.Äëÿ ñèãíàëîâ ñ îãðàíè÷åííûì ñïåêòðîì, ò.å. ñèãíàëîâ, ó êîòîðûõ ñïåêòð îãðàíè÷åí íåêîòîðîé âåðõíåé ÷àñòîòîé wâ = 2pFâ ñóùåñòâóåò òåîðåìà Êîòåëüíèêîâà, îïðåäåëÿþùàÿ âûáîð èíòåðâàëàÐèñ. 19.8516äèñêðåòèçàöèè T (èëè, ÷òî òî æå, ÷àñòîòû äèñêðåòèçàöèè fä). Ýòàòåîðåìà âïåðâûå áûëà äîêàçàíà Â.À. Êîòåëüíèêîâûì â 1933 ã. âðàáîòå «Î ïðîïóñêíîé ñïîñîáíîñòè «ýôèðà» è ïðîâîëîêè â ýëåêòðîñâÿçè» ñòàâøåé îñíîâîïîëàãàþùåé â òåîðèè è òåõíèêå öèôðîâîé ñâÿçè.Òåîðåìà Êîòåëüíèêîâà.
Åñëè ôóíêöèÿ x(t) èìååò ñïåêòð, îãðàíè÷åííûé âåðõíåé ÷àñòîòîé Fâ, òî x(t) ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ñâîèõ çíà÷åíèé (îòñ÷åòîâ) â ìîìåíòû âðåìåíè, îòñòîÿùèå äðóã îò äðóãà íà ïåðèîä Ò 1/2Fâ.Ìàòåìàòè÷åñêè òåîðåìà Êîòåëüíèêîâà çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèìîáðàçîìx (t ) =¥åx ( kT )k =-¥sin w â ( t - kT ),w â ( t - kT )(19.3)ãäå wâ = 2pFâ; Ò = 1/2Fâ; x(kT) çíà÷åíèÿ (îòñ÷åòû) ôóíêöèèx(t) â ìîìåíòû kT.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Êîòåëüíèêîâà äàåòñÿ â îáùåé òåîðèè ñâÿçè.
Çäåñü æå îòìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ âèäà sin w ât¢ w ât¢ (t¢ = t kT)èçâåñòíà íàì êàê ôóíêöèÿ îòñ÷åòîâ (ñì. § 5.3), ïîýòîìó òåîðåìóÊîòåëüíèêîâà èíîãäà íàçûâàþò åùå òåîðåìîé îòñ÷åòîâ.Ôèçè÷åñêèé ñìûñë òåîðåìû Êîòåëüíèêîâà (19.3) çàêëþ÷àåòñÿ âòîì, ÷òî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ x(t) ñ îãðàíè÷åííûì ñïåêòðîì Fâïîëíîñòüþ ìîæåò áûòü âîññòàíîâëåíà, åñëè èçâåñòíû åå îòñ÷åòû,âçÿòûå ÷åðåç èíòåðâàë Ò 1/2Fâ. Ýòà òåîðåìà èãðàåò î÷åíü áîëüøóþ ðîëü â òåîðèè ñâÿçè, ò. ê.
ïîçâîëÿåò ïåðåäà÷ó àíàëîãîâûõñèãíàëîâ çàìåíèòü ïåðåäà÷åé äèñêðåòíûõ èëè öèôðîâûõ ñèãíàëîâ, ÷òî ïîçâîëÿåò ñóùåñòâåííî ïîâûñèòü ýôôåêòèâíîñòü ñèñòåìñâÿçè.Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñîãëàñíî òåîðåìû Êîòåëüíèêîâà ÷àñòîòà äèñêðåòèçàöèè f ä = 1 T … 2Fâ , ò.å. äîëæíà áûòü íå ìåíåå, ÷åì âäâîå ïðåâûøàòü âåðõíþþ ÷àñòîòó Fâ â ñïåêòðå àíàëîãîâîãî ñèãíàëà, òî ïðèàíàëèçå äèñêðåòíûõ ñèãíàëîâ è öåïåé â ÷àñòîòíîé îáëàñòè ÷àñòîââîäÿò ïîíÿòèå íîðìèðîâàííîé ÷àñòîòû:ff$ == fTfäèëèµ = wT .w(19.4)19.2.
Ñïåêòð äèñêðåòíîãî ñèãíàëàÏðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå äëÿ äèñêðåòíîãî ñèãíàëà. Îïðåäåëèìñâÿçü ìåæäó ñïåêòðîì X(jw) àíàëîãîâîãî ñèãíàëà x(t) è ñïåêòðîìXÒ(jw) äèñêðåòíîãî ñèãíàëà x Ò (t), îïðåäåëåííîãî ìîäåëüþ (19.2).Ó÷èòûâàÿ, ÷òî x Ò (t) = x(t)f(t) ñîãëàñíî òåîðåìû ñâåðòêè (9.30)ïîëó÷èì ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü äèñêðåòíîãî ñèãíàëà517X (w)õ (t )X ( w) = |X ( j w)|txÒ (t)T =a)_wwââwXÒ (w)11=f ä 2 Fâtá)_wwââw ä = 2pfäwÐèñ. 19.91 ¥X T ( jw ) =ò X ( jW ) X f ( jw - j W ) d W ,2p -¥(19.5)ãäå Xf (jw) ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü äèñêðåòèçèðóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (19.1).Äëÿ íàõîæäåíèÿ Xf (jw) ðàçëîæèì f(t) â êîìïëåêñíûé ðÿä Ôóðüå (5.6):1 ¥f (t ) =A ke jk w ät ,å2 k =-¥(19.6)ãäå wä = 2p/Ò ÷àñòîòà äèñêðåòèçàöèè,2Ak =TT 22- jk w ät× dt =ò f (t ) eT-T 2T 2òd ( t ) e - jk w ät × dt =-T 22.TÎòñþäà ñîãëàñíî (9.42) ïîëó÷àåìX f ( jw ) =2p ¥å d ( w - n w ä ).T n =-¥(19.7)Ïîäñòàâèâ (19.7) â ôîðìóëó (19.5) ïîñëå èçìåíåíèÿ ïîðÿäêàèíòåãðèðîâàíèÿ è ñóììèðîâàíèÿ è ñ ó÷åòîì ôèëüòðóþùåãî ñâîéñòâà d-ôóíêöèè îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì1X T ( jw ) =T¥ån =-¥X ( jw - jn w ä ).(19.8)Èç (19.8) ñëåäóåò âàæíûé âûâîä: ñïåêòð äèñêðåòíîãî ñèãíàëàx T (t) (ðèñ.
19.9 á) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó áåñêîíå÷íî áîëüøîãî ÷èñëà «êîïèé» ñïåêòðà àíàëîãîâîãî ñèãíàëà (ðèñ. 19.9, à),ðàñïîëîæåííûõ íà îñè ÷àñòîò ÷åðåç îäèíàêîâûå èíòåðâàëû.Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ñîãëàñíî (19.8) è ðèñ. 19.9, á ýíåðãèÿñïåêòðà äèñêðåòíîãî ñèãíàëà îêàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íî âåëèêà, ÷òî518ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì èäåàëèçàöèè ðåàëüíîãî ñèãíàëà ìîäåëüþ(19.2). Åñëè æå èñïîëüçîâàòü âìåñòî äèñêðåòèçèðóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (19.1) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìïóëüñîâ êîíå÷íîé ýíåðãèè(íàïðèìåð, ïðÿìîóãîëüíûõ èìïóëüñîâ), òî ïîëó÷èì ñïåêòð XÒ (jw),ýíåðãèÿ êîòîðîãî óáûâàåò ñ ðîñòîì w («êîïèè» X(jw) ñ ðîñòîì wóìåíüøàþòñÿ).
 òî æå âðåìÿ ñëåäóåò åùå ðàç ïîä÷åðêíóòü, ÷òîïðåäñòàâëåíèå äèñêðåòíîãî ñèãíàëà â ôîðìå (19.2) ñóùåñòâåííîóïðîùàåò àíàëèç äèñêðåòíûõ ñèãíàëîâ è öåïåé è øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ â ðàñ÷åòàõ.Ñïåêòð äèñêðåòíîãî ñèãíàëà XÒ (jw) ìîæíî íàéòè è íåïîñðåäñòâåííî èç ïðÿìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå (9.6) äëÿ äèñêðåòíîãîñèãíàëà (äåéñòâóåò â ìîìåíò t 0).X T ( jw ) ==¥òxT ( t ) e - jwtdt =0¥åk =0¥ò e - jwt0¥¥åx ( kT ) d ( t - kT ) dt =k =0x ( kT ) ò e - jwt d ( t - kT ) dt.0Îòñþäà ñ ó÷åòîì ôèëüòðóþùåãî ñâîéñòâà d-ôóíêöèè ïîëó÷èìïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå äëÿ äèñêðåòíûõ ñèãíàëîâ.X T ( jw ) =¥åx ( kT ) e - jwkT(19.9)k =0è îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå:1x ( kT ) =wä0,5 w äòXT ( jw ) e jwkT dw .(19.10)-0,5 w äÍà ïðàêòèêå â ôîðìóëàõ (19.9), (19.10) ÷àñòî âìåñòî çàâèñèìîñòè XÒ (jw) ðàññìàòðèâàþò çàâèñèìîñòè XÒ (jf), êîòîðûå ëåãêîìîæíî ïîëó÷èòü ïóòåì çàìåíû w = 2pf.Ïðèìåð.
Ðàññ÷èòàåì ñïåêòð äèñêðåòíîãî ñèãíàëà, ñîñòîÿùåãî èç îäíîãî îòñ÷åòà xÒ (t) = [a; 0; 0; 0; ...].Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (19.9), â êîòîðóþ ïîäñòàâèì çíà÷åíèÿ xt (t) çàäàííîãî ñèãíàëàXT( jf ) =¥å x ( kT ) e - j2pf k T= ae - j 2p f × 0 × T = a .k=0Ïðèìåð. Ðàññ÷èòàåì ñïåêòð ýêñïîíåíöèàëüíîé äèñêðåòíîé ôóíêöèè xÒ (t) =k= 0,5 , k 0.Ãðàôèê äèñêðåòíîé ôóíêöèè xÒ (t) ïðèâåäåí íà ðèñ. 19.10, à åå îòñ÷åòûìîæíî çàïèñàòü â âèäå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè x{k} = {1; 0,5; 0,25; 0,125;0,0625; ...}.Ñïåêòð äèñêðåòíîé ýêñïîíåíòû ðàññ÷èòàåì ïî ôîðìóëå (19.9)519xÒ (t)X( f )211...0123t40 0,1/T0,5/TÐèñ. 19.101/TfÐèñ. 19.11X ( jf ) ==¥åx [ kT ] e - j 2p f k T =k =-¥¥å 0,5 k e - j 2pf k T=k =0å ( 0,5e - j2pf T )k =0¥k=1,1 - 0,5e - j 2p f Tãäå äëÿ ñóììèðîâàíèÿ ðÿäà èñïîëüçîâàíà ôîðìóëà¥å ykk =0= 1 + y + y2 + y3 + K =1.1- yÈñïîëüçóÿ ôîðìóëó Ýéëåðà (e jx = cos x + j sin x) , ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿðàñ÷åòà ñïåêòðà àìïëèòóä X(f).X(f ) = 1[ 1 - 0,5 cos ( -2pf T ) ] 2 + [ 0,5 sin ( -2pf T ) ] 2 .Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà áóäåì çàäàâàòü çíà÷åíèÿ f îò 0 äî 1 / Ò ñ øàãîì0,1 / T è ðàññ÷èòûâàòü X(f).Ãðàôèê ñïåêòðà àìïëèòóä X(f) ýêñïîíåíöèàëüíîé äèñêðåòíîé ôóíêöèèkxT (t) = 0,5 ïðèâåäåí íà ðèñóíêå 19.11.Êàê âèäíî èç ãðàôèêà, ñïåêòð äèñêðåòíîãî ñèãíàëà ñïëîøíîé è ïåðèîäè÷åñêèé ñ ïåðèîäîì fä = 1 / Ò.Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî åñëè íå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå òåîðåìûÊîòåëüíèêîâà: fä 2fâ, òî ñïåêòðû â (19.8) ÷àñòè÷íî ïåðåêðûâàþòñÿ.
Íà ðèñ. 19.12, ðèñ. 19.13 ïîêàçàí õàðàêòåð èçìåíåíèÿ ñïåêòðàäèñêðåòíîãî ñèãíàëà XT (f) ïðè èçìåíåíèè ÷àñòîòû äèñêðåòèçàöèèñèãíàëà x T (t), îãðàíè÷åííîãî âî âðåìåíè èíòåðâàëîì Tñ (ðèñ.19.12) è íåîãðàíè÷åííîãî âî âðåìåíè (ðèñ. 19.13).Ðèñ. 19.12520Ðèñ. 19.13Êàê ñëåäóåò èç ïðåäñòàâëåííûõ ãðàôèêîâ óâåëè÷åíèå ïåðèîäàäèñêðåòèçàöèè T > 1/2Fâ; Fä < 2Fâ ïðèâîäèò ê íàëîæåíèþ ñìåæíûõ ñïåêòðîâ â (19.8), ÷òî ïðèâîäèò ê íàëîæåíèþ ñïåêòðà Õ T (f).Ýòè èñêàæåíèÿ íàçûâàþòñÿ îøèáêàìè íàëîæåíèÿ. ×òîáû èõ óñòðàíèòü íåîáõîäèìî ÷àñòîòó äèñêðåòèçàöèè óâåëè÷èòü äî Fä 2Fâ.Ïðèìåð. Ðàññ÷èòàåì èíòåðâàë äèñêðåòèçàöèè è ìèíèìàëüíî äîïóñòèìóþ÷àñòîòó äèñêðåòèçàöèè ñèãíàëà, ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü êîòîðîãî ðàâíà íóëþïðè çíà÷åíèÿõ ÷àñòîòû âûøå 100 êÃö.Èç óñëîâèÿ çàäà÷è ñëåäóåò, ÷òî ãðàíè÷íàÿ ÷àñòîòà ñïåêòðà Fâ ðàâíà100 êÃö.
Òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé Êîòåëüíèêîâà èìååì èíòåðâàë äèñêðåòèçàöèè11T=== 5 ìêñ .2Fâ 2 × 100 × 10 3Ìèíèìàëüíî äîïóñòèìàÿ ÷àñòîòà äèñêðåòèçàöèè fä = 2Fâ = 2 × 100 = 200 êÃö.Ïðèìåð. Îïðåäåëèì äèñêðåòíûå îòñ÷åòû ñèãíàëà äëèòåëüíîñòüþ tè = 3 ìñ,ïðèâåäåííîãî íà ðèñ. 19.14, à, åñëè â êà÷åñòâå ãðàíè÷íîé ÷àñòîòû ñïåêòðà Fâïðèíÿòü çíà÷åíèå 3 / tè, âûøå êîòîðîãî âñå çíà÷åíèÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòèóìåíüøàþòñÿ áîëåå ÷åì â 10 ðàç ïî ñðàâíåíèþ ñ ìàêñèìàëüíûì.x (t)x (k)4343221100,511,522,53t0a)123456ká)Ðèñ.
19.14521Õîòÿ ñèãíàë êîíå÷íîé äëèòåëüíîñòè èìååò áåñêîíå÷íûé ñïåêòð ÷àñòîò, îäíàêî ïî÷òè âñåãäà ìîæíî îïðåäåëèòü ãðàíè÷íóþ ÷àñòîòó ñïåêòðà òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû îòñåêàíèå ÷àñòîò ïðåâûøàþùèõ Fâ, ïðèâåëî ê ïðåíåáðåæèìî ìàëûì èçìåíåíèÿì ýíåðãèè èñõîäíîãî ñèãíàëà. Òàêîå óñëîâèå çàäàíî â ïðèìåðå.Ãðàíè÷íàÿ ÷àñòîòà ñïåêòðà Fâ = 3 / tè = 3 / (3 × 10 3) = 1 êÃö.Èíòåðâàë äèñêðåòèçàöèè T = 1 / (2Fâ) = 1 / (2 × 1 × 10 3) = 0,5 ìñ.Áåðåì îòñ÷åòû ñèãíàëà, ïðèâåäåííîãî íà ðèñ.
19.14, à, ÷åðåç èíòåðâàë âðåìåíè T = 0,5 ìñ è ïîëó÷àåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü x{k} = {0; 2; 3,2; 4; 1; 0,3; 0},èçîáðàæåííóþ ãðàôè÷åñêè íà ðèñ. 19.14, á.Îòìåòèì, ÷òî àíàëîãîâûé ñèãíàë x(t) ìîæíî ïîëíîñòüþ âîññòàíîâèòü ïî åãî äèñêðåòíûì îòñ÷åòàì x(kT) ñ ïîìîùüþ ÔÍ×, ÷àñòîòà ñðåçà êîòîðîãî wñ = 0,5wä = wâ.
Ýòîò âûâîä õîðîøî èëëþñòðèðóåò ðèñ. 19.13, à èç êîòîðîãî âèäíî, ÷òî ñïåêòð ñèãíàëà íà âûõîäåÔÍ× ñîâïàäàåò ñî ñïåêòðîì àíàëîãîâîãî ñèãíàëà x(t).Äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. Êàê ñëåäóåò èç ôîðìóëû(19.8) XT(jw) èìååò ïåðèîäè÷åñêóþ ñòðóêòóðó ñ wä = 2p/T. Ïðè÷åì, êàê è ñïåêòð àíàëîãîâîãî ñèãíàëà X(jw) ñïåêòð äèñêðåòíîãîñèãíàëà XT(jw) ÿâëÿåòñÿ ñïëîøíûì (ñì. ðèñ.
19.9, á). Âìåñòå ñòåì ïðè öèôðîâîé îáðàáîòêå ñèãíàëîâ èñïîëüçóåòñÿ íå òîëüêîäèñêðåòèçàöèÿ âî âðåìåíè, íî è äèñêðåòèçàöèÿ â ÷àñòîòíîé îáëàñòè.Ðèñ. 19.15522Äëÿ ñèãíàëà x(t) îãðàíè÷åííîãî âî âðåìåíè èíòåðâàëîì Tñ(ðèñ. 19.15, à) ñïðàâåäëèâà îáðàòíàÿ òåîðåìà Êîòåëüíèêîâà, êîòîðàÿìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç (19.3) ïóòåì çàìåíû t ® w; wâ ® Tñ/2; Ò ® Dw:X ( jw ) =Tc FâåX ( nDw )sinTc (w - nDw )2,(19.11)Tc (w - nDw )2ãäå Dw = 2p/Tñ; Tñ äëèòåëüíîñòü ñèãíàëà; X(nDw) îòñ÷åòûñïåêòðà ñèãíàëà â ÷àñòîòíîé îáëàñòè.Ïåðåõîäÿ ê äèñêðåòíîìó ñèãíàëó x T (t) (ðèñ.
19.15, á) îòìåòèì,÷òî îáùåå êîëè÷åñòâî îòñ÷åòîâ ñèãíàëà áóäåò ðàâíîn =-Tc FâN = Tc T ,ãäå T = 2p/wä = p/wâ.Äèñêðåòíûé ñïåêòð (ðèñ. 19.15, å) ìîæåò áûòü ïîëó÷åí ïóòåìïåðèîäè÷åñêîãî ïîâòîðåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {x(kT)} ñ ïåðèîäîìTñ = NT (ðèñ. 19.15, â). Ïðè ýòîì ÷àñòîòíûé èíòåðâàë ìåæäó äèñêðåòíûìè îòñ÷åòàìè ñïåêòðà (ðèñ. 19.15, å) ñîñòàâëÿåòDw = 2p Tc = 2p NT .(19.12)Ñ ó÷åòîì âûøåèçëîæåííîãî äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå(ÄÏÔ) ìîæíî ïîëó÷èòü, åñëè â ïðåîáðàçîâàíèè (19.9) ñäåëàòü çàìåíó w = nDw. Òîãäà ïîëó÷èìN -1XT ( jnDw ) =åx ( kT ) e - jnDwkTk =0èëè ñ ó÷åòîì (19.12)XT ( jnDw ) =N -1åx ( kT ) e- jn2pkN ,(19.13)k =0ãäå n = 0; ±1; ±2; ± ...
N/2.Äëÿ óïðîùåíèÿ çàïèñè àðãóìåíò nDw è kT îáû÷íî çàìåíÿþò èíäåêñîì n è k ñîîòâåòñòâåííî è îïóñêàþò èíäåêñ T, ïðè ýòîì (19.13)ïðèìåò âèäX ( jn ) =N -1åx (k) e-j2pknN ,(19.14)k =0êîòîðîå îïðåäåëÿåò ïðÿìîå ÄÏÔ.Ñ ïîìîùüþ (19.14) ìîæíî îïðåäåëèòü îòñ÷åòû ñïåêòðà X(jn) ïîâðåìåííûì îòñ÷åòàì ñèãíàëà x(k).Îáðàòíîå ÄÏÔ ìîæíî ïîëó÷èòü èç (19.14) âîñïîëüçîâàâøèñüäóàëüíîñòüþ ïðÿìîãî è îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèé Ôóðüå:5231x (k) =NN -1ån =0X ( jn ) ej2pknN.(19.15)Ïðè k < 0 îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå îïðåäåëèò x(k),ðàñïîëîæåííóþ ñëåâà îò 0 (ðèñ.
19.15, â).Äëÿ ÄÏÔ ïî àíàëîãèè ñ íåïðåðûâíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè Ôóðüå ñïðàâåäëèâû îñíîâíûå òåîðåìû è ñâîéñòâà (ñì. § 9.2). ÷àñòíîñòè, ñâîéñòâî ëèíåéíîñòènå al xl ( k ) B&l =1nå al Xl ( jn ),(19.16)l =1ñäâèã äèñêðåòíîãî ñèãíàëà:-j2pnmN,(19.17)x ( k - m ) B X ( jn ) e&ò.å. ñäâèã ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îòñ÷åòîâ ñèãíàëà íà m èíòåðâàëîâ ïðèâîäèò ëèøü ê èçìåíåíèþ ôàçîâîãî ñïåêòðà äèñêðåòíîãîñèãíàëà.Òåîðåìà ñâåðòêè:X1 ( n ) X 2 ( n ) B&N -1åk =0x1 ( m - k ) x 2 ( k ) ,(19.18)ãäå N = N1 + N2; N1, N2 ÷èñëî îòñ÷åòîâ õ1 è õ2 ñîîòâåòñòâåííî.Àíàëîãè÷íî ìîæíî çàïèñàòü è äðóãèå òåîðåìû äëÿ ÄÏÔ. Çàìåòèì, ÷òî ÄÏÔ ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ îïðåäåëåíèÿ íå òîëüêîñïåêòðà äèñêðåòíûõ ñèãíàëîâ, íî è ñïåêòðà àíàëîãîâûõ ñèãíàëîâ,äëÿ ÷åãî èõ íåîáõîäèìî äèñêðåòèçèðîâàòü ñîãëàñíî òåîðåìû Êîòåëüíèêîâà (19.3).Ïðèìåð. Ðàññ÷èòàåì ÄÏÔ äèñêðåòíîãî ïåðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëà, çàäàííîãîòðåìÿ îòñ÷åòàìè x{k} = {0; 1; 2}.Äëÿ ðàñ÷åòà âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé ÄÏÔ (19.14).X ( j0 ) = x ( 0 ) eX ( j1 ) = x ( 0 ) e- j 2p×0 ×0 ×- j 2p×0 ×1×o1313+ x (1) e+ x (1) eo- j 2p×1×0 ×- j 2p×1×1×1313+ x ( 2) e+ x ( 2) e- j 2p× 2×0 ×- j 2p× 2×1×1313= 0 + 1 + 2 = 3;oX ( j2 ) = 0 e - j 0 + 1 e - j 240 + 2 e - j 480 .Ïîñêîëüêóooe - j120 = e - j 480 =o1313-j, e - j 240 = - + j,2222òîX ( j1 ) =524o1( -3 + j 3 ) = 1,74 e j150 ,2oo= 0 + 1 e - j120 + 2 e - j 240 ;x ( k)X (n)23...1012345...1,5k0123456nÐèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
