Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (1095419), страница 88

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 88)

19.16x ( k)0,5...0,250_0,512 3456 789 k_0,25Ðèñ. 19.17X ( j2 ) =o1( -3 - j 3 ) = 1,74 e j210 .2Ãðàôèêè çàäàííîãî äèñêðåòíîãî ïåðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëà x(k) è ðàññ÷èòàííîãî äèñêðåòíîãî ïåðèîäè÷åñêîãî ñïåêòðà àìïëèòóä X(n) ïðèâåäåíû íàðèñ. 19.16.Ïðèìåð. Ðàññ÷èòàåì çíà÷åíèÿ äèñêðåòíîãî ñèãíàëà x(k), ÄÏÔ êîòîðîãîèìååò âèä X[n] = {0; 1; 0; 1}.Çíà÷åíèÿ äèñêðåòíîãî ñèãíàëà x(k) áóäåì ðàññ÷èòûâàòü ïî ôîðìóëå(19.15)ooo1 { ( ) j0 oX 0 e+ X ( 1 ) e j0 + X ( 2 ) e j 0 + X ( 3 ) e j0 } = 0,5 ;46ppüïjj1 ìï ( ) j 0 ojp2()()()()+X 1 e +X 2 e +X 3 e 4 ý=x 1 = íX 0 e4 îïþï1= { 0 + j1 + 0 - j1} = 0;4o1x ( 2 ) = { X ( 0 ) e j 0 + X ( 1 ) e j p + X ( 2 ) e j 2p + X ( 3 ) e j 3 p } =41{=0 - 1 + 0 - 1} = -0,5;43p9püïjj1 ìï ( ) j 0 oj3p2()()()()+X 1 e+X 2 e+X 3 e 2 ý=x 3 = íX 0 e4 îïþï1= { 0 - j + 0 + j } = 0.4x(0) =Ãðàôèê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè x{k} = {0,5; 0; –0,5; 0} ïðèâåäåí íàðèñ.

19.17. Ñèãíàë x(k) äèñêðåòíûé è ïåðèîäè÷åñêèé.Ïðèìåð. Îïðåäåëèòü ñ ïîìîùüþ ÄÏÔ ñïåêòð àíàëîãîâîãî ñèãíàëà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 19.18, à.5251x ( t ) = e-atX (jn )4321-T 0 T 2T 5TTñn0 1 2 3 4 5 6 7 8 9t10Tà)á)Ðèñ. 19.18Îãðàíè÷èì äëèòåëüíîñòü ñèãíàëà Tc, ãäå e -aTc = 1 (ðèñ. 9.18, à). Íàïðèìåð, ïðè Tc = 3/a, e -aTc = e -3 ; 0,05 . Âûáåðåì ÷èñëî îòñ÷åòîâ N = 10, îïðåäåëèì ÷àñòîòó äèñêðåòèçàöèèDw =2p2p2p==.TcN × T 10 × TÑîãëàñíî (19.14) íàõîäèì îòñ÷åòû ñïåêòðà ñèãíàëàX ( j0 ) = 1 × e - j 0 + 0,716 e - j 0 + 0,531 e - j 0 + 0,37 e - j 0 + 0,263 e - j 0 + 0,189 e - j 0 ++ 0,135 e - j 0 + 0,0934 e - j 0 + 0,07 e - j 0 + 0,05 e - j 0 = 3,41;.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .X ( j4 ) = 1 × e20-j p+0,189 e 5- j0+4-j p50,716 e24-j p+ 0,135 e 5++8-j p0,531 e 528-j p0,0934 e 5+ 0,37 e+-j12p532-j p0,07 e 5+ 0,263 e+-j16p536-j p0,05 e 5+= 0,6è ò.ä. òàáëèöå ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà ñïåêòðà,nX(jn)03,413,322,831,640,650,460,671,682,893,3à íà ðèñ. 19.18, á ñïåêòð ñèãíàëà X(jn). Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåìT (óìåíüøåíèå ÷èñëà îòñ÷åòîâ N) ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè x(t) óâåëè÷èâàåòñÿ (ñì. ðèñ. 19.8, à).Êàê ñëåäóåò èç âûøåïðèâåäåííûõ ïðèìåðîâ è ôîðìóë (19.14),(19.15), äëÿ âû÷èñëåíèÿ ÄÏÔ ñîäåðæàùèõ N îòñ÷åòîâ íåîáõîäèìî2îñóùåñòâèòü â îáùåì ñëó÷àå N îïåðàöèé ñ êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè. Åñëè äëèíà îáðàáàòûâàåìûõ ìàññèâîâ äîñòàòî÷íî âåëèêà, òîâû÷èñëåíèå ÄÏÔ äàæå íà ñîâðåìåííûõ áûñòðîäåéñòâóþùèõ ÝÂÌçàíèìàåò äîñòàòî÷íî ìíîãî âðåìåíè.

Äëÿ ñîêðàùåíèÿ âû÷èñëåíèéèñïîëüçóþò îáû÷íî àëãîðèòì áûñòðîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå(ÁÏÔ). Ñóùåñòâóåò ìíîãî ðàçíîâèäíîñòåé ÁÏÔ. Çäåñü ìû ðàññìîòðèì îäèí àëãîðèòì, îñíîâàííûé íà ïðîðåæèâàíèè ïî âðåìåíè.Áûñòðîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå. Ïîëîæèì, ÷òî ÷èñëî îòñ÷åòîâqN = 2 , ãäå q – öåëîå ÷èñëî. Ðàçîáüåì äèñêðåòíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îòñ÷åòîâ {x(k)} íå äâå ÷àñòè:÷åòíóþ{x(k)}÷ò = {x(2k)}526è íå÷åòíóþ {x(k)}í÷ = {x(2k + 1)}, ãäå k = 0, 1, 2, ... N/2 – 1.Ïðåäñòàâèì ñïåêòð (19.14) â âèäåX ( jn ) ==N-12åk =0N-12å2p- j 2knx ( 2k ) e N+N-12åx ( 2k + 1 ) e-j2p (2k +1 )nN=k =0x ( 2k ) e-j2pknN 2k =0+N-12pn 2-je Nx ( 2kk =0å(19.19)+ 1) e-j2pknN 2 .Èç (19.19) ñëåäóåò, ÷òîX ( jn ) = X ÷ò ( jn ) + e-j2pnN X í÷( jn ) ,(19.20)ãäå n = 0, 1, 2, ..., ((N/2) – 1).Èç (19.20) ñëåäóåò, ÷òî ïåðâàÿ ïîëîâèíà X(jn) (n = 0, 1, 2, ...,(N/2) – 1) âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ÄÏÔ äâóõ ÷àñòíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé: X÷ò(jn) è Xí÷(jn).

Âòîðóþ ïîëîâèíó (n … N/2) X(jn) ìîæíîíàéòè, åñëè ó÷åñòü ïåðèîäè÷íîñòü åãî ÷åòíîé è íå÷åòíîé ÷àñòè ñïåðèîäîì N/2:X ÷ò ( jn ) = X ÷ò [ j ( n + N 2 ) ] ; X í÷ ( jn ) = X í÷ [ j ( n + N 2 ) ]è ñîîòíîøåíèå (ïðè n  N/2):ej2p( (N 2) + n )N=e - jp×e-j2pnN= -e-j2pnN ,ïðè ýòîì ïîëó÷èìX éë j ( (N 2) + n ) ùû = X ÷ò ( jn ) - e-j2pnN× X í÷ ( jn ) .(19.21)Ôîðìóëà (19.20) è (19.21) ëåæèò â îñíîâå ÁÏÔ. Êàê ñëåäóåò èç2ýòèõ ôîðìóë äëÿ âû÷èñëåíèÿ X÷ò(jn) è Xí÷(jn) òðåáóåòñÿ (N/2)îïåðàöèé è äëÿ âûïîëíåíèÿ îïåðàöèè óìíîæåíèÿ íà exp { × } – Nîïåðàöèé:2NÁÏÔ = ( N 2 ) + N.(19.22)Äëÿ ÄÏÔ (19.14) òðåáóåòñÿ N ÄÏÔ = N 2 2 + N 2 2 = N 2 îïåðà3öèé, ÷òî ñóùåñòâåííî âûøå, ÷åì NÁÏÔ. Íàïðèìåð, ïðè N = 10 ,63ïîëó÷àåì NÄÏÔ = 10 , à NÁÏÔ » 250 × 10 , ò.å.

äëÿ ÁÏÔ òðåáóåòñÿâ ÷åòûðå ðàçà ìåíüøå îïåðàöèé, ÷åì ïðè ÄÏÔ. îáùåì ñëó÷àå ÷èñëî îïåðàöèé, íåîáõîäèìîå â ÁÏÔ ðàâíîNÁÏÔ = N log 2 N(19.23)è âûèãðûø ïî ñðàâíåíèþ ñ ÄÏÔ ðàâíîB=N2N log 2 N(19.24)527è ìîæåò äîñòèãàòü ñîòåí è òûñÿ÷ ðàç ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõâõîäíûõ ìàññèâàõ N. çàêëþ÷åíèè îòìåòèì, ÷òî ñàì ïðîöåññ âû÷èñëåíèÿ ïî ôîðìóëàì (19.19), (19.20) ïðîèçâîäÿò ïî èòåðàöèîííîìó ïðèíöèïó: ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îòñ÷åòîâ ñ ÷åòíûìè è íå÷åòíûìè íîìåðàìè ñíîâàðàçáèâàþò íà äâå ÷àñòè è ò.ä. Ïðîöåññ ðàçáèåíèÿ ïðîäîëæàåòñÿ äîòåõ ïîð, ïîêà íå ïîëó÷èòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñîñòîÿùàÿ èç îäíîãî ýëåìåíòà (èñõîäíîãî ÄÏÔ).

Áîëåå ïîäðîáíî ñ àëãîðèòìàìèÁÏÔ ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ â ñïåöèàëüíîé ëèòåðàòóðå (ñì. íàïðèìåð, Ãîëüäåíáåðã Ë.Ì., Ìàòþøêèí Á.Ä., Ïîëÿê Ì.Í. Öèôðîâàÿîáðàáîòêà ñèãíàëîâ. Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü. 1990).19.3. Z-ïðåîáðàçîâàíèå è åãî ñâîéñòâàÏðè àíàëèçå è ñèíòåçå äèñêðåòíûõ è öèôðîâûõ öåïåé øèðîêîïðèìåíÿþò òàê íàçûâàåìîå z-ïðåîáðàçîâàíèå. Ýòî ïðåîáðàçîâàíèåèãðàåò òàêóþ æå îñíîâîïîëàãàþùóþ ðîëü ïî îòíîøåíèþ ê äèñêðåòíûì ñèãíàëàì, êàê ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà ïî îòíîøåíèþ êàíàëîãîâûì ñèãíàëàì.Z-ïðåîáðàçîâàíèå äèñêðåòíîãî ñèãíàëà.

Çàìåíèì â óðàâíåíèè(19.9) jw íà êîìïëåêñíóþ ïåðåìåííóþ p:XT ( p ) =¥åx ( kT ) e - pkT ,(19.25)k =0òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èì èçîáðàæåíèå ïî Ëàïëàñó äèñêðåòíîãîñèãíàëà. Îðèãèíàë, ò.å. ñàì äèñêðåòíûé ñèãíàë ìîæíî îïðåäåëèòüñ ïîìîùüþ îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà (7.4):1 j¥()xT t =XT ( p ) e pT dp .ò2pj - j¥(19.26)Óðàâíåíèå (19.26) îïðåäåëÿåò âñþ äèñêðåòíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xT ( t ) = { x ( kT ) } .

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ îäíîãî, k-ãî îòñ÷åòàôîðìóëà (19.26) ïðèìåò âèäjp T1x ( kT ) = TXT ( p ) e pkT dp.ò2pj - jp T(19.27)Ñëåäóåò îäíàêî îòìåòèòü, ÷òî XT(p) ÿâëÿåòñÿ òðàíñöåíäåíòíîéôóíêöèåé ïåðåìåííîé ð âñëåäñòâèå íàëè÷èÿ â (19.25) è (19.27)±pkTìíîæèòåëÿ e.Äëÿ ïåðåõîäà ê ðàöèîíàëüíûì ôóíêöèÿì îñóùåñòâèì çàìåíóïåðåìåííûõ:e pT = z = x + jy.(19.28)Òîãäà ôîðìóëà (19.25) ïðèìåò âèä:528X(z) =¥åx ( k ) z -k .(19.29)k =0Ðàâåíñòâî (19.29) íàçûâàþò ïðÿìûì îäíîñòîðîííèì z-ïðåîáðàçîâàíèåì.Îáðàòíîå z-ïðåîáðàçîâàíèå îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé:x (k) =12pjX ( z ) z k -1dz,(19.30)z =1ãäå èíòåãðèðîâàíèå îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî îêðóæíîñòè ñ ðàäèóñîì |z| = 1.Äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü (19.30) ìîæíî ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü X(z) –ôóíêöèÿ êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé z, àíàëèòè÷åñêàÿ â îáëàñòè | z | > r0.

Ðàñêðîåì ðÿä (19.29):X ( z ) = x ( 0 ) + x ( 1 ) z -1 + x ( 2 ) z -2 + K + x ( k ) z -k .(19.31)k–1Äîìíîæèì ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòü (19.31) íà z:z k -1X ( z ) = x ( 0 ) z k -1 + x ( 1 ) z k - 2 + x ( 2 ) z k - 3 + K + x ( k ) z -1.(19.32)Âîçüìåì êîíòóðíûé èíòåãðàë îò ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòè (19.32) âäîëü êðèâîé,ëåæàùåé öåëèêîì â îáëàñòè àíàëèòè÷íîñòè è îõâàòûâàþùåé âñå ïîëþñû X(z)è ó÷òåì ðàâåíñòâî Êîøè:z n dz =z =1{2pj0ïðè n = -1ïðè n ¹ -1.Òîãäà âñå ñëàãàåìûå, êðîìå k-ãî îáðàòÿòñÿ â íóëü:X ( z ) z k -1 dz =z =1x ( k ) z -1 dz = x ( k )z =1z -1 dz = 2pjx ( k ) .z =1Îòñþäà íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò (19.30), ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Óñòàíîâèì ñâÿçü ìåæäó òî÷êàìè íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè p == a + jw è z-ïëîñêîñòè z = x + jy (ðèñ.

19.19).Åñëè ïîëîæèòü a = 0, òî ìû áóäåì ïåðåìåùàòüñÿ ïî îñè jw âïëîñêîñòè ð. Ïðè ïåðåõîäå â z-ïëîñêîñòü òî÷êè ìíèìîé îñè jw áój wTäóò ðàñïîëàãàòüñÿ íà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè z = e. Ïðè÷åì,òî÷êà j0 íà ð-ïëîñêîñòè ïåðåõîäèò â òî÷êó z = +1 íà âåùåñòâåííîéjwjyp-ïëîñêîñòü+j0,5w ä0_ j0,5wäz-ïëîñêîñòüea_1_ aT011xÐèñ. 19.19529îñè z-ïëîñêîñòè, à òî÷êè ± j0,5 w ä – â òî÷êó z = –1.

Ýòî îçíà÷àåò,÷òî òî÷êè îòðåçêà ( - j0,5 w ä ¸ j0,5 w ä ) ð-ïëîñêîñòè ïðîåêòèðóþòñÿ âòî÷êè íà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè z-ïëîñêîñòè. Òàê êàê ôóíêöèÿ± j wTeïåðèîäè÷åñêàÿ, òî ïîñëåäóþùèå îòðåçêè îñè jw íà p-ïëîñêîñòè òàêîé æå äëèíû áóäóò âíîâü ïðîåêòèðîâàòüñÿ íà åäèíè÷íóþîêðóæíîñòü.Òî÷êàì ëåâîé ð-ïîëóïëîñêîñòè ñîîòâåòñòâóþò òî÷êè âíóòðè åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè z-ïëîñêîñòè, à òî÷êàì ïðàâîé p-ïîëóïëîñêîñòè – òî÷êè âíå ýòîé îêðóæíîñòè.Ïðèìåð.

Ðàññ÷èòàåì z-ïðåîáðàçîâàíèå äèñêðåòíîãî ñèãíàëà x(k), èìåþùåãî âèäì 0, k  0ïx ( k ) = í1, k = 1, 2, 3ïî 0, k > 3.Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé (19.29), ïîëó÷èìX ( z ) = z -1 + z -2 + z -3 =z2 + z + 1.z3Ïðèìåð. Íàéäåì z-ïðåîáðàçîâàíèå X(z) äèñêðåòíîãî ýêñïîíåíöèàëüíîãî– kTñèãíàëà x(k) = e a .Ïîäñòàâèì çíà÷åíèå x(k) â ôîðìóëó (19.29), ïîëó÷èìX(z) =¥å x ( k ) × z -k =k =0¥å e -akT × z -k =k =0¥å ( e -a T × z -1 )k–aTÈç òåîðèè ðÿäîâ ñëåäóåò, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ | e– T –1ìà ðÿäà X(z) ðàâíà 1 / (1 – e a × z ) èëèX(z) =.k =0–1×z| < 1 ñóì-z.z - e -aTZ-ïðåîáðàçîâàíèå X(z) äèñêðåòíîãî ñèãíàëà x(k) îïðåäåëåíîòîëüêî äëÿ îáëàñòè z, â êîòîðîé ñòåïåííîé ðÿä (19.29) ñõîäèòñÿ.Ýòà îáëàñòü ñõîäèìîñòè âêëþ÷àåò â ñåáÿ âñå çíà÷åíèÿ z, íàõîäÿùèåñÿ âíå íåêîòîðîãî êðóãà íà êîìïëåêñíîé z-ïëîñêîñòè, ðàäèóñêîòîðîãî r0 íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì ñõîäèìîñòè (ðèñ.

19.20), ò.å. ïðè r0 < | z | < ¥jyðÿä ñõîäèòñÿ.  îáëàñòè ñõîäèìîñòèz-ïëîññóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòÎáëàñòüêîñòüñõîäèìîñòèâåòñòâèå ìåæäó X(z) è x(k), ò.å. êàæäîìó x(k) ñîîòâåòñòâóåò îäíî è òîëüêîr0îäíî X(z), îïðåäåëåííîå äëÿ | z | > r0 èxíàîáîðîò.Ðèñ. 19.20530Ïðèìåð. Îïðåäåëèì ðàäèóñ ñõîäèìîñòè äëÿz-ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèãíàëà, çàäàííîãî â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå.–akTÊàê óæå áûëî óñòàíîâëåíî, z-ïðåîáðàçîâàíèå ñèãíàëà x(k) = eèìååòâèäX (z) =zz - e -a T.– TÍóëü ôóíêöèè X(z) áóäåò â òî÷êå z0 = 0, ïîëþñ – â òî÷êå zk = e a . Ñëå– Täîâàòåëüíî, ðàäèóñ ñõîäèìîñòè r0 = e a , à ôóíêöèÿ X(z) ñõîäèòñÿ ïðè– T|z| > e a .– TÎêðóæíîñòü, èìåþùàÿ ðàäèóñ ñõîäèìîñòè r0 = e a , ïðèâåäåíà íàðèñ. 19.19.

Îáëàñòü ñõîäèìîñòè íàõîäèòñÿ çà ïðåäåëàìè ýòîé îêðóæíîñòè.kÏðèìåð. Íàéäåì z-ïðåîáðàçîâàíèå ñèãíàëà x(k) = Aa , k  0. Ýòîò äèñêðåòíûé ñèãíàë ïîêàçàí íà ðèñ. 19.21 äëÿ òðåõ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé a: à = 0,8;à = 1; à = –0,8. ñîîòâåòñòâèè ñ (19.29) z-ïðåîáðàçîâàíèå òàêîãî äèñêðåòíîãî ñèãíàëàðàâíî¥X ( z ) = A å a k z -k .(19.33)k =0x (k) = Aa kAj1a = 0,8_010,8 1_ j1k1 2 3 4 5 6 7 8 9 10z-ïëîñêîñòüz0 = 0zk = 0,8a)x (k) = Aa kAj1a=1...01 2 3 4 5 6 7 8 9 10_1z-ïëîñêîñòü1_ j1kz0 = 0zk = 1á)x (k) = Aa kAj110_0,8A325476...9810k_1_0,8z-ïëîñêîñòü1_ j1z0 = 0zk = _ 0,8â)Ðèñ.

19.21531Èç ìàòåìàòèêè èçâåñòíî, ÷òî ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèèX(z) =Az ,= A-1z-a1 - az(19.34)åñëè | az –1 | < 1 èëè | z | > a.Ôóíêöèÿ X(z) èìååò íóëü ïðè z = 0, à åå ïîëþñ zn = a ëåæèò íà îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R0 = a, îãðàíè÷èâàþùåé îáëàñòü ñõîäèìîñòè.Íà ðèñ. 19.21 ïîêàçàíî ðàñïîëîæåíèå íóëÿ è ïîëþñà ôóíêöèè X(z) â zïëîñêîñòè ïðè ðàçëè÷íûõ à.Íàõîæäåíèå äèñêðåòíîãî ñèãíàëà ïî åãî z-èçîáðàæåíèþ.

Характеристики

Список файлов книги