Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (1095419), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Íàéäåì ÷àñòîòíóþ õàðàêòåðèñòèêó äèñêðåòíîé öåïè ñ èìïóëüñíîéõàðàêòåðèñòèêîé h{ k } = {1,5; 1; 0,5}.Çàïèøåì ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ H(z) öèôðîâîãî ôèëüòðà, âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîéH(z) =¥å h ( k ) z -k .k=0Ïîëó÷èì H ( z ) = 1,5 + z -1 + 0,5 z -2 ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ íåðåêóðñèâíîé öåïè.H( W )32100,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0Ðèñ. 19.48554WH( W )432100,10,51,0WÐèñ.
19.49Íàéäåì À×Õ ýòîé öåïè, ïîäñòàâëÿÿ â ôîðìóëó (19.48) çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ óñèëåíèÿ a0 = 1,5; a1 = 1; a2 = 0,5,H(W) ==( a0 + a1 cos 2pW + a2 cos 4pW ) 2 + ( a1 sin 2pW + a2 sin 4pW ) 2=( 1,5 + cos 2pW + 0,5 cos 4pW ) 2 + ( sin 2pW + 0,5 sin 4pW ) 2 .Ãðàôèê À×Õ èçîáðàæåí íà ðèñ. 19.48.Ïðèìåð. Èçìåíèì êîýôôèöèåíòû óñèëåíèÿ â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå. Âûáåðåì a0 = a2 = 1, a1 = 2.
Âíîâü íàéäåì âûðàæåíèå H(W) è ïîñòðîèì ãðàôèêåãî àìïëèòóäíî-÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè.Çàìåíèì â ôîðìóëå äëÿ H(W), ïîëó÷åííîé â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ a0, a1 è a2. Ïîëó÷èìH(W) =( 1 - 2 cos 2pW + cos 4pW ) 2 + ( -2 sin 2pW + sin 4pW ) 2 .Ãðàôèê À×Õ èçîáðàæåí íà ðèñ. 19.49. Èç ãðàôèêà âèäíî, ÷òî íåðåêóðñèâíàÿ öåïü ñ òàêèìè çíà÷åíèÿìè êîýôôèöèåíòîâ óñèëåíèÿ ýòî ðåæåêòîðíûéôèëüòð.19.5. Òèïîâûå çâåíüÿ äèñêðåòíûõ öåïåéÇâåíüÿ 1-ãî è 2-ãî ïîðÿäêîâ.  ëèòåðàòóðå òèïîâûìè çâåíüÿìèäèñêðåòíûõ öåïåé ñ÷èòàþòñÿ çâåíüÿ 1-ãî è 2-ãî ïîðÿäêîâ. Îíè ïîëó÷àþòñÿ èç îáùåé ñòðóêòóðû ðèñ.
19.44, åñëè îñòàâèòü â íåéòîëüêî îäèí ëèáî äâà ýëåìåíòà çàäåðæêè.Íà ðèñ. 19.50, à ïîêàçàíî çâåíî 1-ãî ïîðÿäêà ñ ïåðåäàòî÷íîéôóíêöèåéH(z) =a 0 + a1z -11 - b1z -1è À×ÕH(W) =( a0 + a1 cos 2pW ) 2 + ( a1 sin 2pW ) 2.221bcos2pW+bsin2pW() ( 1)1Òèïîâîå çâåíî 2-ãî ïîðÿäêà èçîáðàæåíî íà ðèñ. 19.50, á. Åãîïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ555x ( k)x ( k)a0+y (k)+a0+y ( k)Ta1b1TTa1b1+a2b2a)á)Ðèñ. 19.50H(z) =è À×ÕH(W) =a0 + a1z -1 + a 2z -21 - b1z -1 - b2z -2( a0 +a1 cos 2pW +a2 cos 4pW ) 2 + ( a1 sin 2pW + a2 sin 4pW ) 2.22( 1 - b1 cos 2pW - b2 cos 4pW ) + ( b1 sin 2pW + b2 sin 4pW )Ïðèìåð. Ïîñòðîèì ãðàôèê À×Õ çâåíà ïåðâîãî ïîðÿäêà, ó êîòîðîãî a0 = 1,a1 = 0.Ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ òàêîãî çâåíà ïåðâîãî ïîðÿäêàH(z) =a 0 + a1z -11.=-11 - b1z1 - b1z -1Àìïëèòóäíî-÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêàH(W) =1( 1 - b1 cos 2pW )2+ ( b1 sin 2pW )2=11 + b12 - 2b1 cos 2pW.Ïîñêîëüêó ïîëþñ zn ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè H(z) ðàâåí b1, òî äëÿ òîãî,÷òîáû öåïü áûëà óñòîé÷èâîé íåîáõîäèìî âûáèðàòü çíà÷åíèÿ b1 òàêèìè, ÷òîáûâûïîëíÿëîñü óñëîâèå | b1 | < 1.Íà ðèñ.
19.51 ïðèâåäåíû ãðàôèêè À×Õ, ïîñòðîåííûå äëÿ çíà÷åíèé b1 = 0,5è b1 = 0,5.H( W )_b1 = 0,5210 0,142b1 = 0,50,5Ðèñ. 19.51556H( W )1,0W0 0,1H2 ( W )H( W )H1 ( W )0,5Ðèñ. 19.521,0WÀ×Õ ðàññìàòðèâàåìîãî ôèëüòðà çàâèñèò îò çíàêà êîýôôèöèåíòà b1. Ïðèb1 > 0 ïîëó÷àåì ðåæåêòîðíûé ôèëüòð, ïðè b1 < 0 ïîëîñîâîé.Ïðèìåð. Íàéäåì ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ è ïîñòðîèì ãðàôèê À×Õ çâåíà 2ãî ïîðÿäêà (ðèñ. 19.50, á) ïðè a0 = a2 = 1, a1 = 2, b1 = 0,2 è b2 = 0,4.Ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ òàêîãî çâåíàH(z) =a0 + a1z -1 + a 2 z -21 + z -1 - 2z -2.=1 - b1z -1 - b2 z -21 - 0,2z -1 + 0,4 z -2Êàê óêàçûâàëîñü ðàíåå, ðåêóðñèâíóþ öåïü ñ ïðÿìûìè è îáðàòíûìè ñâÿçÿìè ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê êàñêàäíîå ñîåäèíåíèå ðåêóðñèâíîãî ôèëüòðà ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé H1(z) è íåðåêóðñèâíîãî ôèëüòðà ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé H2(z).
 íàøåì ñëó÷àå, äëÿ çâåíà âòîðîãî ïîðÿäêà,H1 ( z ) =11 - 0,2z-1+ 0,4 z-2H 2 ( z ) = 1 - z -1 - 2z -2,,H ( z ) = H1 ( z ) × H 2 ( z ) .Ãðàôèê À×Õ äëÿ H2(z) óæå áûë ïîñòðîåí è ïðèâåäåí íà ðèñ. 19.49. À×ÕH1(W) ðåêóðñèâíîãî ôèëüòðà ðàññ÷èòûâàåòñÿ ïî ôîðìóëåH1 ( W ) =1( 1 - 0,2 cos 2pW + 0,4 cos 4pW )2+ ( -0,2sin 2pW + 0,4 sin 4pW )2.Ãðàôèêè H1(W), H2(W) è H(W) = H1(W) × H2(W) èçîáðàæåíû íà ðèñ. 19.52.Ñîåäèíåíèå òèïîâûõ çâåíüåâ.
Òèïîâûå çâåíüÿ ìîãóò ñîåäèíÿòüñÿ êàñêàäíî (ðèñ. 19.53, à); ïðè ýòîì èõ ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèèïåðåìíîæàþòñÿ:H ( z ) = H1 ( z ) × H 2 ( z ) × H 3 ( z ) ,ãäå H1, H2, H3 ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèè çâåíüåâ.Ðèñ. 19.53557Ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè çâåíüåâ (ðèñ. 19.53, á) îáùàÿïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàêH ( z ) = H1 ( z ) + H 2 ( z ) + H 3 ( z ) .Ñîåäèíåíèå, ïîêàçàííîå íà ðèñ. 19.53, â, íàçûâàþò âêëþ÷åíèåìöåïè H2 â îáðàòíóþ ñâÿçü öåïè H1, ïðè÷åìH1 ( z )H(z) =.1 - H1 ( z ) × H 2 ( z )Ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî âñå ñîåäèíåíèÿ, èçîáðàæåííûå íàðèñ.
19.53, ñïðàâåäëèâû íå òîëüêî äëÿ òèïîâûõ çâåíüåâ, íî è äëÿëþáûõ äðóãèõ ñòðóêòóð.Ïðèìåð. Íàéäåì ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèè ïðè ðàçëè÷íûõ ñïîñîáàõ ñîåäèíåíèÿ ðåêóðñèâíîé è íåðåêóðñèâíîé öåïåé, èìåþùèõ H1 ( z ) = 1 ( 1 - 0,3 z -1 ) èH 2 ( z ) = 0,2 + z -1 + z -2 .Ïðè êàñêàäíîì ñîåäèíåíèè ýòèõ öåïåéH ( z ) = H1 ( z ) × H 2 ( z ) =0,2 + z -1 + z -2;1 - 0,3 z -1ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèèH ( z ) = H1 ( z ) + H 2 ( z ) =1,2 + 0, 4z -1 + 0,7 z -2 - 0,3z -3;1 - 0,3 z -1ïðè âêëþ÷åíèè öåïè H2 â îáðàòíóþ ñâÿçü öåïè H1H(z) =H1 ( z )1,25=.1 - H1 ( z ) H 2 ( z )1 - 1,625 z -1 - 1,25 z -2Ïðèìåð.
Íàéäåì ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ äèñêðåòíîé öåïè, èçîáðàæåííîéíà ðèñ. 19.54.Öåïü, ïðèâåäåííàÿ íà ðèñ. 19.54, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êàñêàäíîå ñîåäèíåíèå òèïîâûõ çâåíüåâ 1-ãî è 2-ãî ïîðÿäêîâ. Ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ ñîåäèíåíèÿèìååò âèäa+ a1 z -1 a¢0 + a1¢ z -1 + a¢2 z -2.H(z) = 0×1 - b1 × z -11 - b¢1 z -1 - b¢2 z -2x (n)+++TTTÐèñ. 19.54558y (n)Ïîäñòàâëÿÿ â âûðàæåíèå äëÿ H(z) çàäàííûå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ óñèëåíèÿ a0 = 1, a1 = 0,5, b1 = 1 è a¢0 = 0,5, a1¢ = 1,5, a¢2 = 1,2, b¢1 = 0,2,b2¢ = 0,4, ïîëó÷àåìH(z) =0,5 + 1,75 z -1 - 0,45 z -2 - 6 z -3.1 + 1,2 z -1 - 0,2 z -2 - 0,4 z -319.6. Ìåòîä ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ äèñêðåòíûõ öåïåé ï.
6.7 áûë ðàññìîòðåí ìåòîä ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ ïðèìåíèòåëüíî ê àíàëîãîâûì öåïÿì. Ïðè ýòîì ìåòîä ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿïîçâîëÿåò âìåñòî ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé m-ãî ïîðÿäêà (6.3) ëèíåéíóþ öåïü îïèñàòü ñèñòåìîé èç m äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé 1-ãî ïîðÿäêà, íàçûâàåìûõ óðàâíåíèÿìè ñîñòîÿíèÿöåïèÀíàëîãè÷íûì îáðàçîì äëÿ îïèñàíèÿ äèñêðåòíûõ öåïåé â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèÿ âìåñòî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ (19.39) N-ãîïîðÿäêà ðàññìîòðèì ñèñòåìó èç N ëèíåéíûõ ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé 1-ãî ïîðÿäêà. êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ðåêóðñèâíóþ öåïü 2-ãî ïîðÿäêà,îïèñûâàåìóþ óðàâíåíèåìy n = a0 x n + a1x n -1 + a 2 x n - 2 + b1y n -1 + b2 y n - 2 .Êàíîíè÷åñêàÿ ñõåìà ýòîé öåïè èçîáðàæåíà íà ðèñ.
19.55.Ââåäåì ïåðåìåííûå ñîñòîÿíèé äèñêðåòíîé öåïè êàê ñèãíàëû q1(n)è q2(n) íà âûõîäå ýëåìåíòîâ çàäåðæêè (ðèñ. 19.55).Èç ðèñ. 19.55 ñëåäóåò, ÷òîq 2 ( n + 1 ) = q1 ( n ) ,(19.51)q1 ( n + 1 ) = q 0 ( n ) ,(19.52)q 0 ( n ) = x ( n ) + b1q1 ( n ) + b2q 2 ( n ) ,(19.53)Åñëè ó÷òåì, ÷òîÐèñ. 19.55559òî ïîñëå ïîäñòàíîâêè (19.53) â óðàâíåíèå (19.52) ïîëó÷èì ñèñòåìó2-õ äèñêðåòíûõ ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ äèñêðåòíóþöåïü â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèÿì q 2 ( n + 1 ) = 0 × q 2 ( n ) + 1 × q1 ( n ) + 0 × x ( n ) ,í (î q1 n + 1 ) = b2 × q 2 ( n ) + b1 × q1 ( n ) + 1 × x ( n ) .(19.54)Èëè îáîçíà÷èâq2 ( n );q1 ( n )q(n) =A=0 1;b2 b1B=0,1(*)ïîëó÷èì óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ äèñêðåòíîé öåïè â ìàòðè÷íîé ôîðìå:q ( n + 1) = A × q ( n ) + B × x ( n ) .(19.55)Óðàâíåíèå ðåàêöèè öåïè y(n) ìîæíî ïîëó÷èòü ïî àíàëîãèè ñ(6.95) êàê ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ è âåêòîðà âîçäåéñòâèÿ:y (n ) = C × q (n ) + D × x (n ),(19.56)ãäå C, D ìàòðèöû ïàðàìåòðîâ äèñêðåòíîé öåïè.
Íàïðèìåð, äëÿöåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 19.55 ìàòðèöû C è D ìîæíî íàéòè èçóðàâíåíèÿy ( n ) = a0q 0 ( n ) + a1q1 ( n ) + a 2q 2 ( n ) .Èëè ñ ó÷åòîì (19.53)y ( n ) = a0 [ x ( n ) + b1q1 ( n ) + b2q 2 ( n ) ] + a1q1 ( n ) + a 2q 2 ( n ) == ( a0b1 + a1 ) q1 ( n ) + ( a0b2 + a 2 ) q 2 ( n ) + a0 x ( n ) .Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òîC = ( a0b1 + a1 )( a 0 b2 + a 2 );D = a0 .(**)Ìåòîäû ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ äèñêðåòíûõ ñèñòåì.Ðåøåíèå âî âðåìåííîé îáëàñòè. Ðåøåíèå óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿìîæåò îñóùåñòâëÿòüñÿ êàê âî âðåìåííîé îáëàñòè, òàê è â z-îáëàñòè. Ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ âî âðåìåííîé îáëàñòè èñïîëüçóåòñÿ ðåêóððåíòíàÿ ïðîöåäóðà ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ (19.55) ïðè çàäàííîì íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè q ( 0 ) è èçâåñòíîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè âõîäíîãî ñèãíàëà x(k):q (1) = A × q ( 0 ) + B × x ( 0 ) ,q ( 2 ) = A × q (1) + B × x (1) = A 2 × q ( 0 ) + A × B × x ( 0 ) + B × x (1) ,(19.57)LLLLq (n) = An × q (0) +n -1å A n -1-kB × x ( k ) ,k =0560ãäå A 0 = I åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà.Òàêèì îáðàçîì, çíàÿ íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå äèñêðåòíîé öåïèq ( 0 ) , ìîæíî âû÷èñëèòü êîìïîíåíòû âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ q ( n ) íàëþáîì øàãå n (ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè).
Ïðè÷åì, êàê è â ñëó÷àåàíàëîãîâîé öåïè (6.98) ðåøåíèå (19.57) ñîäåðæèò äâå ñîñòàâëÿþùèõ: ïåðâàÿ ðåàêöèÿ öåïè ïðè íóëåâîì âõîäíîì ñèãíàëå; âòîðàÿ ðåàêöèÿ öåïè ïðè íóëåâîì íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè.Óðàâíåíèå ðåàêöèè öåïè (19.56) ïðè ýòîì ïðèìåò âèä:n -1y ( n ) = C × A n × q ( 0 ) + C å A n -1-k B × x ( k ) + D × x ( n )(19.58)k =0Íà îñíîâàíèè (19.58) ìîæíî íàéòè îòñ÷åòû èìïóëüñíîé è ïåðåõîäíîé õàðàêòåðèñòèê äèñêðåòíîé öåïè.Ïðèìåð.
Îïðåäåëèòü èìïóëüñíóþ õàðàêòåðèñòèêó öåïè, èçîáðàæåííîé íàðèñ. 19.55.Ðåøåíèå. Ó÷òÿ, ÷òî èìïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà öåïè ýòî åå ðåàêöèÿ íàåäèíè÷íûé èìïóëüñ x0(n) = {1, 0, 0, ¾} è ïðèíÿâ q ( 0 ) , ïîëó÷èì èç (19.58)óðàâíåíèå èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêè öåïèn -1h ( n ) = C å A n -1-kB × x 0 ( k ) + D × x 0 ( n ) .k =0Îòñþäà ìîæíî ïîëó÷èòü ñ ó÷åòîì (*), (**) îòñ÷åòû èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêèh ( 0 ) = D × x 0 ( n ) = a0 × x 0 ( n ) = a0 ,h (1) = C × A 0 × B = C × I × B =( a0b1 + a1 ) ( a0b2 + a2 )= a0b2 + a 2,h ( 2) = C × A × B =( a0b1 + a1 ) ( a0b2 + a2 )´´0=10 10´=b2 b11= a 2 + b1a1 + b12a0 + b2a0è ò.ä.Äëÿ n-ãî îòñ÷åòà èìååì (n > 0)h ( n ) = C × A n -1B .(19.59)Êàê ñëåäóåò èç (19.59) äëÿ âû÷èñëåíèÿ âûõîäíîé ðåàêöèè äèñêðåòíîé öåïè òðåáóåòñÿ âû÷èñëåíèå áîëüøèõ ñòåïåíåé ìàòðèöû A .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
