Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (1095419), страница 93
Текст из файла (страница 93)
 ëèòåðàòóðå îïèñàíû ïðîöåäóðû, óïðîùàþùèå ýòè îïåðàöèè (ñì. íàïðèìåð, [1] «Îñíîâû öèôðîâîé îáðàáîòêè ñèãíàëîâ Ñïá: ÁÕ Ïåòåðáóðã 2003, 608 ñ.»).Ðåøåíèå â z-îáëàñòè. Ïî àíàëîãèè ñ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ àíàëîãîâîé öåïè îïåðàòîðíûì ìåòîäîì (7.38), (7.39) ìîæíî ðåøèòü óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ äëÿ äèñêðåòíîé öåïè â z-îáëàñòè.Ïðèìåíèì ïðÿìîå z-ïðåîáðàçîâàíèå ê óðàâíåíèÿì (19.55) è(19.56) è ó÷òåì ñâîéñòâà z-ïðåîáðàçîâàíèÿ:z [Q ( z ) - q ( 0 )] = A × Q ( z ) + B × X ( z ) ,(19.60)561Y ( z) = C×Q(z) + D×X( z),(19.61)ãäå Q ( z ) , Y ( z ) , X ( z ) z-èçîáðàæåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âåêòîðîâ ñîñòîÿíèÿ q ( n ) , âûõîäíîãî y(n) è âõîäíîãî x(n) ñèãíàëîâ ñîîòâåòñòâåííî.Èç (19.60) ïîëó÷àåì íåïîñðåäñòâåííîå ðåøåíèåQ ( z ) = ( zI - A )-1( B × X ( z ) + zq ( 0 ) ) .(19.62)Èëè ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ ( q ( 0 ) = 0):Q ( z ) = ( zI - A )-1B×X( z).(19.63)Îòñþäà ìîæíî íàéòè èñêîìûé âåêòîð ñîñòîÿíèÿ äèñêðåòíîé öåïèq( z) Q( z).19.7.
Äèñêðåòíûå ôèëüòðû è èõ ñèíòåçÏîñòàíîâêà çàäà÷è è ýòàïû ñèíòåçà. Äèñêðåòíàÿ öåïü ìîæåòîñóùåñòâëÿòü ëþáûå îïåðàöèè: ôèëüòðàöèþ ñèãíàëà, êîððåêòèðîâàíèå õàðàêòåðèñòèê è ò.ï., ò.å. âûïîëíÿòü ôóíêöèè ëþáîé àíàëîãîâîé öåïè. ÷àñòíîñòè, ïðè ñèíòåçå äèñêðåòíûõ ÷àñòîòíûõ ôèëüòðîâ íóæíî íàéòè òàêèå êîýôôèöèåíòû ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè (19.41), èëè(19.42), ÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà êîòîðîé óäîâëåòâîðÿëà áû íîð-10H( f )H(W a)11_0,1DA10fïfç 0,5 fä_0,1Amin10__0,1DA10W aï = 1 W açf0,1A( f )_0,1AminWaÀ(W a )A( f )AminA( f ) =_= 20 lg H( f )DADA0fïfç 0,5fäfa)W aï = 1 W açá)Ðèñ. 19.56562H ( f ) = 10Waìàì îñëàáëåíèÿ ôèëüòðà â ïîëîñàõ ïðîïóñêàíèÿ è íåïðîïóñêàíèÿ(ðèñ. 19.56, à). Îïðåäåëåíèå êîýôôèöèåíòîâ ýòî çàäà÷à àïïðîêñèìàöèè.
Èçâåñòåí öåëûé ðÿä ìåòîäîâ åå ðåøåíèÿ. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûì ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùèé ìåòîä. Ñíà÷àëà ðàññ÷èòûâàþòàíàëîãîâûé Í×-ïðîòîòèï è ïîëó÷àþò åãî ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþH(p), çàòåì ïóòåì çàìåíû êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé p = Ô{ z} ïåðåõîäÿò îò H(p) ê ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè äèñêðåòíîé öåïè H(z).pTÈñïîëüçîâàíèå ñòàíäàðòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ z = eèëè p == ( 1 T ) ln z íå ïðèâåäåò ê äðîáíî-ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè. Ïîýòîìóäëÿ ÔÍ× ïðèìåíÿþò áèëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèåp=g1 - z -11+ z-1=gz -1z +1(19.64)(g íåêîòîðûé ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü), êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ïåðâûìïðèáëèæåíèåì ñòàíäàðòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðè ðàçëîæåíèè åãî âðÿä Òåéëîðà:35ù12 é z - 1 1 ( z - 1)1 ( z - 1)+++Kp = ln z = êú.TT ë z + 1 3 ( z + 1)3 5 ( z + 1)5û(19.65)Èç ðàçëîæåíèÿ (19.65) ñëåäóåò, ÷òî íåîáõîäèìî âûáèðàòüg = 2 T . Îäíàêî, äàëåå ìû ïîêàæåì, ÷òî óäîáíåå áðàòü äðóãèå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòà g.Áèëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå (19.64) ïåðåâîäèò âñå òî÷êè èç ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè ïåðåìåííîé p â òî÷êè íà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòèïëîñêîñòè z.
Òàê ÷òî, åñëè áûëà óñòîé÷èâà àíàëîãîâàÿ öåïü, áóäåòóñòîé÷èâîé è äèñêðåòíàÿ. Ïîäòâåðäèì ýòè óòâåðæäåíèÿ íà ïðèìåðå.Ïðèìåð. Íàéäåì ïîëîæåíèÿ òî÷åê íà z-ïëîñêîñòè, ñîîòâåòñòâóþùèõ ñëåäóþùèì çíà÷åíèÿì ïåðåìåííîé p: p1 = 2; p2 = 2 + j2; p3 = j2.Èç ôîðìóëû (19.64) íàéäåì âûðàæåíèå äëÿ ðàñ÷åòà z:z=g+p.g-pÏîäñòàâëÿÿ â ýòó ôîðìóëó çíà÷åíèå ïîëþñà p = p1 = 2, ëåæàùåãî â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè ïëîñêîñòè p, ïîëó÷àåìz=g-2.g+2Ïîñêîëüêó g ÷èñëî âåùåñòâåííîå è ïîëîæèòåëüíîå, òî ÷èñëèòåëü (g 2)ìåíüøå çíàìåíàòåëÿ (g + 2), è çíà÷èò z < 1, ò.
å. òî÷êà z ëåæèò âíóòðè åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè, ÷òî ãîâîðèò îá óñòîé÷èâîñòè öåïè.Ïðè p = p2 = 2 + j2 ïîëó÷àåìz=g - 2 + j2.g + 2 - j2Íàéäåì ìîäóëü z563z=( g - 2 ) 2 + 22( g + 2 ) 2 + 22.Îí ìåíüøå åäèíèöû, ïîñêîëüêó ìîäóëü ÷èñëèòåëÿ ìåíüøå ìîäóëÿ çíàìåíàòåëÿ, ò. å. òî÷êà z òàêæå ëåæèò âíóòðè åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè.Ïðè p = p3 = j2 ïîëó÷àåìg + j2z==g - j2g2 + 4g2 + 4ej 2 arctg2g.Ìîäóëü z ðàâåí 1, ò.å. òî÷êà p = j2, ëåæàùàÿ íà ìíèìîé îñè ïëîñêîñòè p,ïåðåõîäèò â òî÷êó íà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè ïëîñêîñòè z ïðè èñïîëüçîâàíèèáèëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ.Ïåðåõîä ê àíàëîãîâîìó ïðîòîòèïó ïðèìåíÿåòñÿ îáû÷íî äëÿäèñêðåòíûõ ôèëüòðîâ, èìåþùèõ áåñêîíå÷íóþ èìïóëüñíóþ õàðàêòåðèñòèêó h(k), ïðèíèìàþùóþ íåíóëåâûå çíà÷åíèÿ íà áåñêîíå÷íîììíîæåñòâå çíà÷åíèé k = 0, 1, ...
.Äèñêðåòíûå öåïè ñ êîíå÷íîé èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêîé,ïðèíèìàþùåé íåíóëåâûå çíà÷åíèÿ ëèøü ïðè k = 0, 1, ..., N 1,íå èìåþò àíàëîãîâ ñðåäè ïàññèâíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ ôèëüòðîâ, ïîýòîìó äëÿ èõ ðàñ÷åòà ïðèìåíÿþòñÿ äðóãèå ìåòîäû.Íåðåêóðñèâíûå ôèëüòðû ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé (19.43) âñåãäà èìåþò êîíå÷íûå èìïóëüñíûå õàðàêòåðèñòèêè. Ðåêóðñèâíûåôèëüòðû ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé (19.41) ìîãóò èìåòü êàê êîíå÷íûå, òàê è áåñêîíå÷íûå èìïóëüñíûå õàðàêòåðèñòèêè.Ïðèìåð.
Íàéäåì äèñêðåòíûå èìïóëüñíûå õàðàêòåðèñòèêè ôèëüòðîâ, èìåþùèõ ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèèH1 ( z ) = 2 + 0,5z -1 - 3z -2 ,H 2 ( z ) = 1 ( 1 - 0,5z -1 ) ,1 - z -5().H3 z =1 - z -1Äèñêðåòíàÿ èìïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà h(k) ñâÿçàíà ñ ïåðåäàòî÷íîéôóíêöèåé îáðàòíûì z-ïðåîáðàçîâàíèåì (ñì. ôîðìóëó (19.30)):h(k) =12pjH ( z ) z k -1dz ,(19.66)z =1ò.å. h ( k ) = z -1 { H ( z ) } . Íåðåêóðñèâíîé öåïè ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé H1(z)ñîîòâåòñòâóåò h{ k } = {2; 0,5; 3}, ò.å.
ýòî ôèëüòð ñ êîíå÷íîé èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêîé.Èìïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà öåïè ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé H2(z) ðàññ÷èkòûâàåòñÿ ïî ôîðìóëå h(k) = 0,5 , ò.å. ýòî ðåêóðñèâíûé ôèëüòð ñ áåñêîíå÷íîéèìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêîé.Îòñ÷åòû èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêè ðåêóðñèâíîé öåïè ñ ïåðåäàòî÷íîéôóíêöèåé H3(z) áóäóò êîíå÷íûìè è ðàâíûìè 1 òîëüêî äëÿ k = 0, 1, 2, 3, 4, àäëÿ k 5 h(k) = 0. Çíà÷èò ýòîò ðåêóðñèâíûé ôèëüòð èìååò êîíå÷íóþ èìïóëüñíóþ õàðàêòåðèñòèêó.564Òðåáîâàíèÿ ê àíàëîãîâîìó ôèëüòðó-ïðîòîòèïó. Ñëåäóåò èìåòüâ âèäó, ÷òî ÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà àíàëîãîâîãî ôèëüòðà îïðåäåëåíà íà âñåé ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñè ÷àñòîò, â òî âðåìÿ êàê ó äèñêðåòíîãî ôèëüòðà îíà èìååò òîò æå ñìûñë òîëüêî äî ÷àñòîòû 0,5fä,çàòåì îíà ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿåòñÿ (ðèñ. 19.47).
ßñíî, ÷òî øêàëà÷àñòîò äèñêðåòíîãî ôèëüòðà îêàçûâàåòñÿ äåôîðìèðîâàííîé îòíîñèòåëüíî øêàëû ÷àñòîò àíàëîãîâîãî ôèëüòðà. Ñîîòâåòñòâèå ýòèõ øêàëëåãêî óñòàíîâèòü èç áèëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (19.64). Ïåðåïèøåì åãî â âèäå:z = ( g + p ) ( g - p ).(19.67)Îáîçíà÷èì, âî èçáåæàíèå ïóòàíèöû, íîðìèðîâàííóþ ÷àñòîòóäëÿ àíàëîãîâîãî ôèëüòðà-ïðîòîòèïà Wà, îáû÷íóþ (ò.å. íåíîðìèðîâàííóþ) ÷àñòîòó äëÿ äèñêðåòíîãî ôèëüòðà áóäåì, êàê è ðàíåå, îáîçíà÷àòü áóêâîé f, à íîðìèðîâàííóþ áóêâîé W.
Òåïåðü çàìåíèì â(19.67) êîìïëåêñíóþ ïåðåìåííóþ p íà jWà, à êîìïëåêñíóþ ïåðåìåííóþ z íà e j 2pf T = e j 2p W è óñòàíîâèì ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ÷àñòîòàìè f (èëè W) è Wà:e j 2 p f T = e j 2p Wj 2arctgg + jW a==eg - jW aWag.Îòñþäà ëåãêî ïîëó÷èòü, ÷òîp f T = pW = arctgWagèëèW a = g tg p f T = g tg pf= g tg pW .fä(19.68)Ïðè èçìåíåíèè ÷àñòîòû f îò 0 äî 0,5fä, èëè íîðìèðîâàííîé ÷àñòîòûW îò 0 äî 0,5, íîðìèðîâàííàÿ ÷àñòîòà Wà â øêàëå àíàëîãîâîãî ïðîòîòèïà áóäåò ïðîáåãàòü çíà÷åíèÿ îò 0 äî áåñêîíå÷íîñòè (ðèñ. 19.56).Âî ìíîãèõ ñïðàâî÷íèêàõ ïî ðàñ÷åòó ôèëüòðîâ ãðàíè÷íàÿ ÷àñòîòà ïîëîñû ïðîïóñêàíèÿ ïðèíèìàåòñÿ ðàâíîé Wàï = 1.
×òîáû ÷àñòîòà fï (èëè Wï) äèñêðåòíîãî ôèëüòðà ïåðåñ÷èòûâàëàñü â Wàï = 1(ðèñ. 19.56, á), èç (19.68) ÿñíî, ÷òî êîýôôèöèåíò g íóæíî âçÿòüðàâíûì:g =11=.tg p fïTtg pW ï(19.69)Ïðèìåð. Ðàññ÷èòàåì äèñêðåòíûé ÔÍ× ñ ïàðàìåòðàìè: fä = 8 êÃö; fï == 1 êÃö; fç = 3 êÃö; DA = 1,4 äÁ; Amin = 40 äÁ.Ïî ôîðìóëå (19.69) íàõîäèì g = 1 tg p × 0,125 = 2,414214 è ïî ôîðìóëå(19.68) îïðåäåëÿåì íîðìèðîâàííóþ ãðàíè÷íóþ ÷àñòîòó ïîëîñû íåïðîïóñêàíèÿWàç àíàëîãîâîãî Í×-ïðîòîòèïà:565Wàç = 2,414214 × tg p × 0,375 » 5,82 .Òåì ñàìûì, ïðîèçâåäåí ïåðåñ÷åò òðåáîâàíèé, ïðåäúÿâëåííûõ ê äèñêðåòíîìó ôèëüòðó (ðèñ. 19.56, à) â òðåáîâàíèÿ ê àíàëîãîâîìó Í×-ïðîòîòèïó(ðèñ. 19.56, á).Ðàñ÷åò àíàëîãîâîãî Í×-ïðîòîòèïà.
Èñõîäíûìè äàííûìè äëÿðàñ÷åòà ÿâëÿþòñÿ òðåáîâàíèÿ ê Í×-ïîòîòèïó (ðèñ. 19.56, á). Ïîíèì, ïîëüçóÿñü ëþáûì ñïðàâî÷íèêîì, ðàññ÷èòûâàþò ïåðåäàòî÷íóþôóíêöèþ ôèëüòðà-ïðîòîòèïà.Ïðèìåð. Äëÿ Wàç = 5,82, Amin = 40 äÁ è DA = 1,4 äÁ, (ïàðàìåòðû ÔÍ×,âçÿòûå èç ïðèìåðà), ïîëüçóÿñü ñïðàâî÷íèêîì Õðèñòèàíà Ý., Ýéçåíìàíà Å.«Òàáëèöû è ãðàôèêè ïî ðàñ÷åòó ôèëüòðîâ» Ì.: Ñâÿçü, 1975, íàõîäèì, ÷òîH(p) =1,732052.(p + 1,200937)(p + 1,200937p + 1,442249)2(19.70)Ðåàëèçàöèÿ ðåêóðñèâíîãî ôèëüòðà.
Äëÿ ïåðåõîäà îò àíàëîãîâîãî ôèëüòðà ê äèñêðåòíîìó âîñïîëüçóåìñÿ çàìåíîé ïåðåìåííûõ(19.64)1 - z -1p=g.-11+ z ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì H(z) â âèäå äðîáíî-ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíà.Ïðèìåð. Îò ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè (19.70) àíàëîãîâîãî ôèëüòðà-ïðîòîòèïà ïåðåéäåì ê ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè H(z) äèñêðåòíîãî ôèëüòðà.Ïîäñòàâèì â âûðàæåíèå (19.70) çíà÷åíèå1 - z -1.p = 2,4142141 + z -1Ïîëó÷èì1 + z -1H ( z ) = 1,732052´3,615151 - 1,213278 z -1´( 1 + z -1 ) 210,1699 - 8,77236 z -1 + 4,371362z -2.Äèñêðåòíûé ôèëüòð ìîæíî ðåàëèçîâàòü â âèäå êàñêàäíîãî ñîåäèíåíèÿ òèïîâûõ çâåíüåâ 1-ãî è 2-ãî ïîðÿäêà.
Äëÿ ýòîãî ôóíêöèþ H(z) ïåðåïèøåì â âèäå:0,2766 + 0,2766 z -1 0,09833 + 0,19666 z -1 + 0,09833 z -2.H ( z ) = 1,732052´1 - 0,33561z -11 - 0,86258 z -1 + 0,42983z -2Ñõåìà ôèëüòðà, èìåþùåãî òàêóþ ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ, ïðèâåäåíà íàðèñ. 19.57. Àìïëèòóäíî-÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà A ( W ) = 20 lg H ( W ) , ðàññ÷èòàííàÿ íà îñíîâàíèè ôîðìóë äëÿ À×Õ òèïîâûõ çâåíüåâ, ïîêàçàíà íàðèñ. 19.58 (êðèâàÿ 1).566x ( k)0,098330,2766+++0,2766y ( k)+T0,335611,732052_0,86258T0,196660,42983T0,09833Ðèñ. 19.57A( W ), äÁ_ 1,250__210201_ 30_ 4000,125 0,18750,2750,3750,5WÐèñ. 59.58Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ïðîèçâîäèòñÿ ðàñ÷åò ôèëüòðîâ ñî âñïëåñêàìè îñëàáëåíèÿ (íóëÿìè ïåðåäà÷è).Ïðèìåð.
Íàéäåì ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ äèñêðåòíîãî ôèëüòðà Í× ñ À×Õ,ðàâíîâîëíîâîé â ïîëîñå ïðîïóñêàíèÿ è ñî âñïëåñêîì îñëàáëåíèÿ â ïîëîñå çàäåðæèâàíèÿ. Ïàðàìåòðû ôèëüòðà: fä = 32 êÃö; fï = 6 êÃö; fç = 8,8 êÃö; DA == 1,5 äÁ; Amin = 30 äÁ.Îïðåäåëÿåì: W ï = 6 × 10 3 ( 32 × 10 3 ) = 0,1875 èWç = 8,8 × 10 3 ( 32 × 10 3 ) = 0,275 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
