Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1095414), страница 98
Текст из файла (страница 98)
избирательность фильтра возрастает. Избирательность чебышевских фильтров может быть повышена также за счет введения полюсов затухания, как в фильтрах типа т (см. рис. 9.8, г). Характеристики таких чебышевских фильтров описываются последним равенством (!0.23), в котором Рт(!1) является не полнномом, а дробью Чебышева. В полосе пропускания фильтра эта дробь по-прежнему обеспечивает свойство нзоэкстремальности характеристики затухания, т. е.
равенство всех максимумов и равенство всех минимумов затухания (рис. 10.11, а). Полюс же затухания в полосе задерживания определяется корнем знаменателя дроби Чебышева, равным частоте !4 . В схеме чебышевского фильтра такой полюс, как н в фильтре типа гп (см. рис. 9.7, в, г), обеспечивается либо контуром йа, С (рнс. ! 0.12, а), либо контуром !., С! (рнс. 10.12, б), настРоенным на частотУ оз = ьа ыт.
Прн повышении степени знаменателя дроби Чебышева возрастает и количество полюсов затухания. На рис. !0.11, б пока- см!'л визги вмгл аллхг / У! 42г !2 Я 7 ~'!'ч" "г ° ~ Г! Рис. 10.11. Характеристики фильтров с полюсами затухания а) Рис. 10.12.
Схемы фильтроа с полюсами затухания 47! зана характеристика чебышевского фильтра с двумя полюсами затухания. Она может быть получена в фильтре, содержащем два резонансных контура (.ь С, и (.м Сэ (рис. 10.!2, в), настроенных соответственно на частоты полюсов ьп, ь7» В чебышевских фильтрах с полюсамн затухания избирательность получается еще выше, чем в полнномиальных чебышевских фильтрах. В фильтрах высокого порядка при определенных условиях это приводит к экономии в количестве элементов фильтра.
Предельное повышение избирательности в рассмотренном случае достигается особым расположением полюсов затухания, при котором характеристика затухания обладает свойствам изоэкстремальности также в полосе задерживания. Это свойство означает равенство всех минимумов затухания в полосе задерживания !11„ о 1, как показано на рнс. 10.11, в, Такие изоэкстремальные характеристики описываются по-прежнему последним равенством (10.23), в котором дробь Чебышева надо заменить дробью Золотарева. Корни знаменателя этой дроби имеют не произвольные заданные значения, как в дроби Чебышева, а вполне определенные для фильтра А7-го порядка значения, обеспечивающие изоэкстремальность характеристики затухая я в полосе задерживания.,Фильтры с подобными характеристиками называются изозкстремальнсчми или золотаревскими фильтрами.
Их схемы имеют такой же вид, как и схемы чебышевских фильтров (рис. 10.12, в), но требуют специальной настройки контуров Вн С1и ЕмСь Повышение избирательности, достигаемое в чебышевских фильтрах, вступает в противоречие с требованием уменьшения искажений. В частности, чебышевские фильтры имеют относительно высокий уровень фазовых искажений. Минимизировать эти искажения можно, задавшись передаточной функцией с минимальным отклонением ее аргумента 0(ь7) от прямой линии.
Однако избирательность фильтра с такой передаточной функцией получается невысокой. Компромиссное решение достигается при аппроксимации АКХ (10.20) полиномами Баттерворта В»„(Я) = — ьг'": Н„'(!!) = 1 + В»„(!2) = 1 + 1!'". (10.24) Батте рв ортов ские характеристики называются . также максимально-гладкими или максимально-плоскими. Их характерной особенностью является равенство нулю всех производных по !г вплоть до (2п — 1)-й производной в точке !! =О. Прн этом в полосе пропускания характеристика (10.24) максимальна «прижимается» к оси частот по сравнению с любыми другими полиномиальными характеристиками.
В этом смысле ее можно считать оптимальной. При таком ее свойстве обеспечивается малый уровень частотных и фазовых искажений в баттервортовских фильтрах с максимально-плоской характеристикой (10.24). Для сравнения на рис. 10.13 показаны характеристики группового 472 времени прохождения чебышевского с„р (а) и баттервортовского ('б) фильтров. 1 Однако избирательность последних относительно невелика (см. табл. П.25) .
3, Графа-аналитические методы ап- Ю прокспмации. Характеристики синтезируемых четырехполюсников могут задаваться графически. В этом случае нх р 1 )Р НадО ОПИСатЬ аНаЛИтИЧЕСКИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ Ряс )ОЛЗ. Хзрактерясти. ПОСЛЕдУЮщсй ЗадаЧИ рЕаЛИЗацИИ. Су. еа ГВГ) чебмшевскаго Ш) щсетнуЮт раЗЛИЧНЫЕ МЕтадЫ аннрОКСИ- и баттегвогтопскогб [б) мации заданных графических характеристик. Среди них отметим три метода— по Чебышеву, по Тейлору и по минимуму квадратичной (средней квадратичной) ошибки.
Обозначим через Р„(!1) = [Ьы Ьь ..., Ь„[ множество значений заданной частотной характеристики в интервале [ — 1, 1[. Тогда наилучшее по Чебышеву приближение функции [„(Р) к заданной характеристике обеспечивается при соблюдемии равенства 1„(1)) — Р,(!г) = 2' ' "Р„(()). (10.25) Здесь Р„(!1) определяется соотношением (10.22), а в целом правая часть уравнения (!0.25) представляет собой полинам Чебышева, наименее отклоняющийся от нуля в интервале [ — 1, ! [. Это обстоятельство и определяет наилучшее приближение аппроксимирующей функции в смысле ее минимального отклонения от заданной характеристики в заданном интервале. Из уравнения (! 0.25) определяется и + ! коэффициент аппроксимирующей функции [.(!2) по заданным значениям Р„(!1) н Р„(1г).
При аппроксимации по Тейлору в интервале [О, бь[ исходят из следующего уравнения: [.(-) — Р»( ) = В.(-), (10.26) где [„(»я) — аппроксимирующая функция степени и; Р.(ю)— аппроксимируемая функция, для которой известны значения в точках бэ = 0 и бэ = бь, а также и — 1 производная в точке ы = 0; В.(чэ) = ю" — полипом Баттерворта. Из уравнения (10.26) определяется и + ! коэффициент передаточной функции (!0.20).
При аппроксимации по Тейлору могут использоваться поли- номы В, нечетной степени и = 2т + 1 вместо полиномов четной: степени п = 2т. Необходимость в этом может возникнуть при -аппроксимации не частотной характеристики, а самой передаточной функции Н(р). Существуют также варианты аппроксимации по Чебышеву с нечетными степенями полииомов. При аппроксимации по минимуму квадратичной ошибки рассматривается функционал » 52 ~» [[( ) Р( )[2 3 3 ! лтз где 1(ооо) — значении полиномиальной или дробно-рациональной аппроксимирующей функции на и частотах заданного диапазона ]ыь оо.]; о!' — весовой множитель, который обычно выбирают равным единице, если,нет специфических соображений по его выбору.
Аппроксимирующая функция 1(ы) должна содержать пг ( и неизвестных коэффициентов, которые выбирают таким образом, чтобы функционал 6' стал минимальным. Этот выбор может осуществляться на ЭВМ с помощью специальной стандартной программы. Следует заметить, что при пг = и задача сводится к определению искомых и коэффициентов путем решения системы из п линейных уравнений, обеспечивающих значение б'=О. 4. Реализация пассивных четырехполюсников с потерями. Задача реализации заданной передаточной функции четырехполюсника решается рядом различных методов.
Один из них основан на использовании четырехполюсников постоянного характеристического сопротивления (см. рис. 9.50, а). Рассмотрим этот метод. При заданной рабочей передаточной функции (8.23) ее можно представить в виде произведения простейших сомножителей: а Н,(р) = и Н„(р). (10.27) о=~ Здесь каждый из сомножителей дроби определяется в соответствии с выражениями (10.3), (10.4). Наложим условие, чтобы каждый сомножитель Ноо(р) функции (10.27) описывал передаточную функцию четырехполюсника постоянного характеристического сопротивления Яо. Тогда согласно формуле (9.8! ) Ног(р) = 1 + 24(р)/)7о Отсюда определяется искомое сопротивление Яо(р) = )7о[Ноо(р) — 1]. (10.28) Согласно формулам (10.27) и (10.28) синтезированный четырехполюсник состоит из цепочечно соединенных элементарных четырехполюсников такого вида, как на рис.
0.50, а. В этих элементарных четырехполюсниках сопротивления 71 заменены различными сопротивлениями 2,, а весь четырехполюсник нагружен с обеих сторон на сопротивления йо. Сами же двухполюсники с сопротивлениями (10.28) синтезируются известным образом (см. $10.1.2). Другой метод реализации может быть применен в рамка" структурного синтеза, когда схема реализуемой цепи задана, Тогда полиномиальнан или дробно-рационалоная передаточная функция цепи Т(р) может быть определена в обсцем виде. Коэффициенты А,,(ч = — 1, 2, ..., и) этой передаточной функции зависят от неизвестных параметров цепи Еь Сь (гм количество которых равно количеству коэффициентов п функции Т !'р).
Эта функция по условию задачи должна равняться заданной аппроксимирую- 474 щей функции г„(р), имеющей то же количество и известных коэффициентов а„. Приравняв коэффициенты Л„ и а„ прн одинаковых степенях р, получим систему нз п уравнений относительно неизвестных параметров Е;, С,, И,. Решив эту систему, найдем искомые параметры синтезируемой цепи. Такой способ решения задачи синтеза называется методом уравнивания коэффициентов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
