Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1095414), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Докажем необходимость этих условий физической реализуемости. Разложим на сумму простейших слагаемых, например, функцию (! 0.12) первого вида. Предположим при этом, что некоторый я-й полюс является не простым, а кратным. При второй кратности этого корни указанное разложение имеет вид п»р А»»,р А,,р (10.14) + (р»+»»1)» + а»+ >» ! "' +» ! „2 Все слагаемые этого выражения являются сопротивлениями некоторых двухполюсников, соединенных последовательно. Однако в слагаемом с коэффициентом В» степени числители и знаменателя отличаются на три единицы.
Этого не может быть по первому условию физической реализуемости (см. $10.1.!). Следовательно, предположение о допустимости кратных полюсов сопротивлении (кратиых нулей проводимости) является неверным. Аналогично доказывается недопустимость кратных полюсов проводимости (кратных нулей сопротивления). Рассмотрим второе условие физической реализуемости реактансной функции. При отсутствии кратных полюсов разложение (10.14) принимает вид 2(р) = Аор + Х Ра, (!015) Продифференцируем это равенство: Подставив сюда значения р = )ог и 7(р) = )Х(от), получаем окончательно „г+ бм г)г Таким образом, полученная производная положительна на всех частотах.
Это н означает, что реактансные функции описывают сопротивления с чередующимися нулями и полюсами, как показано на рис. 10.3. Здесь изображены характеристики четырех (10.! 6) а) о) Рис. !О.З. Частотные характеристики сопротивлении реактивных лвухиолмсников типов реактивных сопротивлений, соответствующих четырем разновидностям реактансных функций (!О.!2), (!О.!3). Их нули и полюсы на конечных ненулевых частотах соответствуют последовательным и параллельным резонансам в реактивном двухполюснике. В $8.5.5 отмечалось чередование корней четной и нечетной частей полиномов Гурвица г(р) = г"„„(р) + Р„,г„(р).
Поэтому проверка УФР для числителя и знаменателя функции Г!О,!) может осуществляться для образованных из них реактансных функций. дб! 4. Реализация реактищ!ых двухполюсннков Реактивные двухполюсннкн могут быть реализованы тем же методом, что !'С)гдвухполюсники. Для этого надо аналогичным образом предста'вить реактансные функции (10,12), (10.13) в виде цепных дро. бей (10.10). Тогда, например, для реактансной функции (10.12) первого вида находим дробь Ьп+ С,Р 1 1- Р + ". + — 1 Сир +— (10. 17) Коэффициенты этой цепной дроби определяют параметры цепочечной схемы, реализующей заданное сопротивление. Можно иначе реализовать ту же реактансную функцию (10.12) первого вида.
Для этого следует разложить в цепную дробь не сопротивление 2!(р), а проводимость У!(р) = 1/л!(р), применив обратное деление числителей иа знаменатели. Тогда получаем 1 у!(р) = ~, ~.зр + ..+ —,' 1 а.р + —, Б 4 ил (10.18) Эквивалентные схемы, имеющие сопротивление (10.!7) и обратную ему проводимость (10.18), показаны на рис. 10.4, а.
Эти схемы имеют одинаковую характеристику сопротивления (рнс. 10.3, а). Аналогично получаются и другие эквивалентные схемы, представленные на рис. 10.4, б — г, которыс имеют характеристики, изображенные соответственно на рис. 10.3, б — г. ! / ие из суй./ и74 у С, Са Сае )х С С, Сга 4Ф ! ! 1! Сз Сгеч Ег ! '3 и! "т т ~Е~"Б'Х Е вЂ” -( '1 Т !хм ~-~1з!л "11 1 Т-„" Рис.
!оин Кйнснииеские сиены Кауара Цепочечные (цепные, лестничные) реализующие схемы реактивных двухполюсников (рис. 10А) называются каноническими схемами Коуара., Для реактивных двухполюсников существует еще один метод реализации заданных реактансных функций. Согласно уравнению (1О.!5) двухполюсиик представляется в виде последовательного соединения параллельных контуров без потерь с, сопротивлениями ! ! !',(р) с,р+ !/с,р ' Здесь С» = 1/А», /» = А»/о»»~ — параметры я-го контура, который является частным случаем двухполюсннка, изображенного на рис. !0.2, а при г» = 0 и /тв» =- о. Если для той же реактансной функции разложить па сумму простейших слагаемых не сопротивление, а обратную ему проводимость, то получится другая схема, эквивалентная первой.
Она состоит из последовательных контуров, соединенных параллельно. Полученные таким образом двухполюсники со смешанным соединением элементов называются каноническими схемами Фостера. Они показаны для разных типов характеристик (рис. !0.3, а — г) соответственно на рис. 10.5, а — г.
Из сопоставления реактансных функций (!0.12), (!О.!3) с характеристиками соответствующих сопротивлений (см. рис. 10.3) и схемами рис.'!ОА, 10.5 иидно, что в любой из канонических схем количество элементов на единицу превышает число резонансов. савв, ~ Д г! вв! ! ! о ~ .Л-. ~:г г) Рнс. !цб. канонические схемы Фостера ебЗ 5. Входные функции 1сС-двухполюсников. Для )рС-двухполюсников входная функция (1О.!) имеет шесть особенностей, которые предопределяют ее реализуемость. Первые четыре особенности обусловлены отсутствием индуктивностей в )хС-двухполюсннке, а остальные две — пренебрежением потерями в конденсаторах, как это обычно делается в АИС-четырехполюсниках.
Для установления отмеченных особенностей рассмотрим сопротивление (1О.!) в форме (!0.11): (10.19) 41) = Ро + Х +'„ е =-! Здесь отсутствует первое слагаемое суммы (10.11), которое соответствует индуктивному сопротивлению. Слагаемые под знаком второй суммы выражения (10.11), описывающие сопротивления резонансных контуров, также отброшены. При этом соответственно изменен верхний предел суммирования в сумме (10.19). Все особенности функции (!0.1), о которых говорилось выше, устанавливаются по ее представлению в форме (10.19).
Рассмотрим эти особенности. П е р в а я о с о б е н н о с т ьс степень числителя функции (10.1) не может пргваииаго степени ге знаменателя, так что т = п или гп = и — !. Это видно из соотношения (10.19), если его слагаемые привести к общему знаменателю, Вторая ос о бе н ность: всг полюсы и нули сопротивления (10.1) являются вещественносми, т. е.
располагаются на вещественной осн комплексной плоскости р(о, )ы) (разумеется, на отрицательной полуоси). Утверждение о расположении полюсов сопротивления (нулей проводимости) следует непосредственно нз соотношения (10.19). Что касается расположения нулей сопротивления (полюсов проводимости), то оно подтверждается аналогичаым рассмотрением проводимости йС-двухполюсника.
Третья особенность: все полюсы и нули сопротивления ('10.1) лвллготся простыми. Это доказывается методом от противного. Если предположить существование, например, двукратного полюса, то одно из слагаемых в сумме (10.19) надо заменить другим: 7а(р) = Аа,у(р + аз) . Здесь степени числителя н знаменателя отличаются на две единицы, что противоречит первому условию физической реализуемости (см. $ !0.1.1). Аналогично доказывается невозможность кратных полюсов проводимости (кратных нулей сопротивления). Четвертая особенность: нули и полюсы сопротивления (1О.1) на оси о чередуются друг с другом. Для подтверждения этого положения рассмотрим характер зависимости Л(о)*.
* Вещестаенгисза поаюсоп р, = ое позпозпег апазцзпроаата функции Л(о) пра р=о, что прогце раздельного анализа частотных зазпспыостра й! 1=- == Кс Яре) а Л(ы) = Пп тра) 464 Приняв р = в, продифференцируем сумму (!0.19): вг() ", л, оо, (и + а„)' Поскольку эта производная отрицательна при любых а, искомая зависимость (10.19) прн р = в может иметь только такой вид, как на рис. !0.6, а. Из этого графика уточняется также порядок чередования нулей н полюсов сопротивления. Первым (ближайшим к о = 0) может быть только полюс сопротивления, а последним — нуль сопротивления. П я та я ос о бени остен возможно существование двух нулей сопротивления (10.1) в бесконечности (в =- -4- сю ).
Эта особенность присуща )тС-двухполюсникам только в случае пренебрежения потерями в конденсаторе на бесконечно' большой частоте. При этом в схеме замещения конденсатора, представленной па рис. 3.32, в, следует принять г' = О, перейдя к его основной эквивалентной схеме (см. рис. 3.32, а). Тогда в сопротивлении (!О.!9) можно принять оп = О.. При этом из графика рис. !0.6, а получается другой график, показанный на рис. !0.6, б. у) г) Рис. !О 6. Хапактеииетнки еопротнвлепия кС-лвткполюснкков ! Из него наглядно видно появление нулей сопротивления в беско.
нечностн. Ш е с т а я о с о б е н н о с т ви возможно существование полюса сопротивления (10.1) на нуле Тп =0). Эта особенность присуща 1(С-двухполюсникам, содержащим идеальные емкости на любых частотах. Для них в схемах замещения конденсатора (см. рис. 3.32, в, г) г'=г"=0 н тс'=тс"=оо. Тогда в сумме (! 0.19) следует принять один из корней ае = Ап/114 = А41оо = О, что и подтверждает существование полюса сопротивления на нуле (рис. 10.6, в). Эту особенность можно сформулировать иначе: функция (10.!) имеет коэффициент по=0, если 1!С- двухполюсник содержит последовательно включенную идеальную емкость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
