Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1095414), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Первые два свойства заключалэтгя в том, что коэффициенты а», Ь» являются не только вегцественньгми, но и положительными величинами, ни одна из которых не равна ну.тго. Действительно, как известно из курса алгебры, полипом с вещественными коэффициентами может иметь только вещественные и комплексные попарно сопряженные корни р» = оь р»з = о» а-)ыь Поскольку они расположены в левой полуплоскости, о» = — ам где а» ) О.
Если полипом степени т имеет т! вещественных корней, то количество комплексных корней равно т» = т — т! = 2д. При этом полинам раскладывается на множители: Ю Р!(р) = а,„Ц (р — р») = а„,] Ц (р + а»)]] Ц (р + и» + »=! » ! »=! + 1ь»»)(р + ໠— )ь»»)], или Р!(р) = а„,!] Ц (р + а»)1 Ц((р + а»)' + ь»»], (10.3) »=! » ! Аналогично, Г»(Р) = Ь.~ Х (Р+ а»)~Ц((р+ а,)'+ ы»], (10.4) »=- ! »=! где и, и г — количество вещественных и попарно сопряженных корней. Раскрытие произведений (10.3), (10.4) дает полиномы с отличными от нуля положительными коэффициентами а», Ь», если положительны а„, и Ь».
Отрицательный же знак одного из коэффициентов а„„Ь„приведет к отрицательному элементу а„,р1Ь„или а.,/Ь„при делении полннома Р!(р) на полинам Р»(р). Рассмотренные свойства позволяют определить по внешним признакам,,является ли реализуемой функция ('10.1). Например, являются нереализуемыми следующие функции: ) тр' + !Зр' + 5!р' — эр + б ~( ) 4р' + 2р' + ! б»д + 4р» + 2р + ! ' . 1 2р + р + ! Третье свойство полиномов Гурвица и функции ('10.1) заключается в том, что они являются положительными вещественнь»ми функциями (ПВФ). Так называются функции Р(р), удовлетворяющие условиям 1т р = О- 1гп Р(р) = О, Ке р ) 0- Ке Р(р) ) О.
Первое из этих условий является признаком вещественности, а второе — признаком положительности функции, Свойства ПВФ используются в некоторых практических приложениях. Читателю предоставляется возможность самостоятельно доказать, что функция (10.!) обладает свойствами ПВФ. 2. Реализация 1.СМ-двухполюсникав. Достаточность рассмотренных необходил»ых условий физической реализуемости означает возможность реализации 1 СИ-двухполюсника с заданным сопротивлением (10.1). Функция (10.1), удовлетворяющая УФР, может быть реализована не в любой схеме двухполюсника.
Однако для их достаточности должен существовать двухполюс- 456 Ь, 1/Р) Уггр) Угур ! ~г Уз Р) с„ а)г !г) г У ср) г) Рис. )О.!. Схема реэлизэпии ЬС)г.лиухпалюсиики ник хотя бы одного вида, который имеет заданное сопротивление (1ОЛ).
В некоторых случаях возможна, например, реализация в виде двухполюсника, построение которого показано на рис. ! 0.1. Пусть лг = л + 1. Тогда, разделив г"!(р) на Ег(р), представим функцию (10.1) в виде т(„) 7, ! а Р" +а — ~Р +- +а!Р+а! (10 5) Ь„р* + и., р" ' + ... + Ь, р + Ье ' где а! = и,/Ь„ — некоторая индуктивность. Индуктивное сопротивление ! !р получено в результате деления старших членов полиномов Ь!(р) и Рг~р). Такую операцию будем называть прямыл! делением. Произведем егце раз прямое деление числителя на знаменатель во втором слагаемом сопротивления (10.5): 2(р) = (.!)7 + г! + й(р) = 1.!р + г, + 1/У,(р), (!0.6) где т! = а.'/Ь„и У ( ) ! Ь вЂ” ~р +Ь вЂ” ~р +.. +Ь|р+Ье (10 7) ах(Р) а'„' |р" +а'„' хр" х+...+аур+ао Здесь прямым делением получено ие индуктивное, а диссипативное сопротивление т!.
Возможны также случаи, когда' диссипативное и другие сопротивления выделяются делением младших членов аналогичной дроби. Такую операцию будем называть обратным делеьиеле. Подобные случаи рассмотрены ниже применительно к синтезу реактивных и )7С-двухполюсников. Сопротивлению (10.6) соответствует схема двухполюсника, показанная на рис.
!ОЛ, о. Если проводимость (! 0.7) удовлетворяет тем же исходным условиям, что и сопротивление (10.1), то можно дважды произвести прямое деление числителя на знаменатель дроби (!0.7). В результате преобразования получаем Уг(р) = Сер + !/Йг + Ух(р) = Сер + 6г+ 1/Хл(р), (10.8) где Сг = Ь„/а'„' !,1/)7е = Ь„' !/а'„' ! = бг и ь" .--+ь, "- +., + гр+ьг (10'О) 457 Проводимость (10.8), реализуется схемой, представленной на рис. 10.1, б.
Объединив ее с двухполюсником, изображенным на рис. 10.1, а, получим схему реализации сопротивления (!О.б), показанную на рис. 10.1, в. Сопротивление (10.9) имеет ту же структуру, что и сопротивление (10.!). Исходное условие также остается прежним — степень числителя превышает на единицу степень знаменателя. Поэтому весь процесс преобразования можно повторить для сопротивления (10.9), как зто было сделано для сопротивления (10.1), в соответствии с формулами (10.8) — (10.9).
Преобразования повторяют до тех пор, пока степень последнего делителя не снизится до нулевой. При этом получается схема реализации двухполюсника, показанная на рис. 10.1, г. Она заканчивается либо тЕ-, либо )сС-двухполюсником в зависимости от исходных степеней тп и п. Такая схема синтезированного (СК-двукполюсника является простейшей и может быть названи канонической схемой цепочечного или лестничного вида. В соответствии с выражениями (! 0.8) — (10.9) сопротивление лестничного двухполюсника (рис.
10.1, г) представляется в виде х(р) = Ь~р+~~ + Сзр+ 65+ !.,р+.,+ С4р+ 64+ йьр+ ть +... Это выражение называется цепной дробью и записывается условно следующим образом: г(р) — ) р + + + + с'р+ " + с,р+ о, + Сбр+ ьь+ ... В общем случае такая цепная дробь имеет вид ! т2(Р) + — ! (10 10) х~й + — ! т(р) +— Я5(р) + Проводимость лестничных двухполюсников также описывается цепными дробями аналогично сопротивлению (10.!0). Таким образом, в ряде случаев возможна реализация двукполюсников путем разложения в цепную дробь дробно-рациональной функции !'!0.1) или обратной ей функции. Реализация заданной функции (10.1) может достигаться в лестничном двухполюснике и при других сопротивлениях его плеч по сравнению с канонической схемой (рис. 10.1, г).
При этом величины У,(р) в цепной дроби (10.10) могут описывать, например, проводимости )кС-двухполюсников вида, как на рис. 3.32, в. г. Возможны и другие модификации проводимостей Уь(р) и сопротивлений Уь(р) в цепной дроби (10.10). 458 Реализация заданной функции сопротивления (10.1) может достигаться не только в виде цепных схем. Например, в некоторых случаях возможна реализация по алгоритму, который соответствует разложению функции (1О.1) на сумму простейших слагаемых с учетом значения полинома (!0.4): (!0А!) Здесь все коэффициенты Ам Вр положительны по услови|о положительности коэффициентов ам Ьр функции (10.1). Два первых слагаемых в сумме (10.11) представляют сопротивление В~-двухполюсника такого вида, как в продольных плечах канонической схемы рис.
! 0.1, г. Слагаемые под знаком первой суммы (!0.11) представляют сопротивления ВС-двухполюсников такого вида, как в поперечных плечах канонической схемы рис. 10.1, г. Слагаемые же под знаком второй суммы (10.11) описывают сопротивления параллельных контуров (рис.
10.2, а). Нетрудно подсчитать, что эти контуры имеют коэффициенты затуханчя ар =(гр((.р+ 1/ргрС4)/2 и собственные частоты ьрр = -р рР— 4 ж р,= .,ррТ+7,РР„..=рр,РТг, — р *,, сные частоты контуров. В целом реализующая схема с сопротивлением (10.11) состоит из последовательно соединенных двухполюсников перечисленных видов.
Если на сумму простейших слагаемых разложить не сопротивление, а проводимость двухполюсника, то вместо параллельных контуров (рис. 10.2, а) получались бы последовательные контуры (рис. 10.2, б). Соответственно изменились бы и остальные двухполюсники. При этом все указанные двухполюсники должны быть соединены параллельно, что и дает новую схему реализации. В общем случае реализующие ЕСр(-двухполюсники со смешанным соединением элементов имеют более сложные схемы по сравне- 44 нию с описанными. Перечисленные двухполюсники могут входить и в состав Сх плеч лестничной реализующей схемы.
Приведенные здесь примеры не являются доказательством достаточности лх условий физической реализуемости, а а! лишь иллюстрируют некоторые методики реализации функции (10.1), удовлет- р гх воряющей УФР. 3. Реактансные функции. Сопротивление и проводимость 4.С-двухполюсни- Л ков, как и ЕС)(-двухполюсников, описы- ВаЮтСЯ ПВФ.
ОДНаКО 1-С-ДВУХПОЛЮСНИ- Рис. !Озк Вапчаатм схем ки имеют реактивное (чисто мнимое) ьсл-х урзчхроскчкчз 459 сопротивление. Поэтому для них аппроксимирующая функция (1О.!) должна быть изменена, Реактивные сопротивления и проводимости, являясь частным случаем передаточных функций (6.2), равны их мнимой части !Та(ь») = )Х(ь») = 1/)В(ь»). Поэтому такие сопротивления и проводимости обладают свойством (6.8) нечетной симметрии.
Следовательно, для реактивных двухполюсников выражение (10.1) надо изменить так, чтобы оно стало нечетной функцией. Для этого числитель Е,(р) надо сделать нечетным полиномом, а знаменатель Га(р) — четным полиномом (или наоборот). Тогда получится четыре разновидности функции (!0.1): а»„р"» + ак. чрк" и + ..+ аа ь„ч,р»" + ь,,р»'-' + .. + ь,р ' (10. 13) Эти функции называются реактансными. Их коэффициенты а», Ь» по-прежнему являются вещественными положительными величинами, но корни их числителя и знаменателя лежат на мнимой оси р = )ь», поскольку полиномы (10.3), (10.4) являются четными или нечетными только при всех а» = О.
На зги корни накладываются два ограничения, соблюдение которых обеспечивает физическую реализуемость реактансных функций. Во-первых, все нули р» = )рм» и полюсы р~ = )кч реактансной функции должны быть простыми. Во-вторых, зти нули и полюсы должны чередоваться друг с другом, т. е, должны чередоваться частоты ь»», ьч последовательных и параллельных резонансов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
