Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1095414), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Если при этом н йп = О, то получаются также нули на бесконечности (рис. 10.6, г). 465 а> "» ~ф »г) »11 г) Рис. !0.7. Послсдоватсльно-параллсльныс схемы роалволпии ЯС-двух- полмасвков 6. Реализация АС-двухполюсников. Сопротивление (10.1) ВС-двухполюсников может реализоваться в различных схемах, показанных на рис. 10.7, а — г. Им соответствуют характеристики, приведенные на рис. 10.6, а — г, где обозначены значения Ьо и т, от которых зависит способ реализации функции (10.1).
Прн т = и (см. рис. 10.6, а, в) прямым делением выделяют целую часть дроби (10.1). Полученная целая часть определяет значение )со (левые схемы на рис. 10.7, а, в). При Ьо =- 0 (см. рис. 10.6, г, в) производят обратное деление числителя на знаменатель функции (10.1) или дроби, оставшейся после выделения целой части Л(р). При этом образуется слагаемое 1/Сор, определяющее значение емкости Со (левые схемы на рис. 10.7, г, в).
Прн Ьо Ф 0 и т = и — 1 (см. рис. 10.6, б) функцию (10.1) раскладывают на сумму простейших дробей вида 2»(р) = В»/(1 + + В»р), нз которых определяют параметры Я» и С» = В»)1»» я-х двухполюсников в левой схеме на рис. 10.7, б. Так же раскладывают правильные дроби, оставшиеся после прямого и обратного делений при»п = п и Ьо = О. Для синтеза схем, показанных в правой части рис. 10.7, преобразуют функцию проводимости У(р), обратную функции (10.1). При т = и — 1 (см. рис. 10.6, б, г) прямым делением выделяют целую часть дроби У(р).
Эта целая часть Сор определяет значение емкости'Со (правые схемы на рис. 10.7, б, г). Если Ьо Ф 0 (см. рис. 10.6, а, б), то производят обратное деление числителя на знаменатель функции У(р) или дроби, оставшейся после выделения целой части У(р). При этом получается слагаемое, определяющее проводимость бо (правые схемы на рис. 10.7, а, б). Прн т = и н Ьо= О (см. рнс. 10.6, в) сначала выносят за скобку множитель р, затем полученную правильную дробь раскладывают на сумму простейших дробей.
После их умножения на вынесен- ооб Рис. 10.З. Лестничные схемы резлизапнн )7С-двухполюсииков ный множитель р получают дроби вида у»(р) = С»р/(1 + А»р), определяющие параметры С» н )7» = А»/С» я-х двухполюсннков в правой схеме на рис. 10.7, в. Такие же операции производят с функциями, полученными после прямого и обратного деленияпрнп»=п — 1 иЬоФО Реализация функции сопротивления (10.1), а также обратной ей функции проводимости возможна для )7С-двухполюсников н с помощью цепных дробей вида (10.10). Прн этом производится прямое или обратное деление числителя на знаменатель для всех составляюшнх сопротивления и проводимости цепной дроби, как описано выше.
Такая реализация приводит к )7С-двухполюсникам лестничного вида, показанным на рис. 10.8. Схемы, изображенные на рнс. 10.8, а — г, имеют прежние характеристики, показанные соответственно на рис. 10.6, а — г. Лестничные )7С-двухполюсники эквивалентны соответствующим двухполюсникам со смешанным соединением элементов (см. рис.
10.7, а — г). ! 10.3. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ Как и при синтезе двухполюсников, важиымн частными случаями являются задачи синтеза реактивных и ЛС-четырехполюсннков. Последние задачи относится к синтезу, активных четырехполюсииков. Поэтому уиазанные задачи рассматриваются отдельно. !. Задача аппроксимации. Условия физическй реализуемости передаточных функций четырехполюсника (6.9) однозначно определяются их свойствами. Если знаменатель передаточной функции является полиномом Гурвица, то она физически реализуема.
Если из цепи выделеньс фазовые контуры с нулями в правой полуплоскости, то оставшийся четырехполюсник является минимально-фазовым (см. Е б.!.4). Его передаточная функция имеет в числителе также полинам Гурвица. Это является вторым условием физической реализуемости 1»ередаточных функций четырехполюсников минимально-фазового типа. 467 Вид частотных и фазовых характеристик четырехполюсннка определяется соответственно модулем и аргументом (6.3) его передаточной функции. Прн синтезе четырехполюсника по рабочим параметрам задаются рабочей передаточной функцией (8.23) или ее модулем (8.24) и аргументом (8.27).
Рассмотрение характеристики рабочего затухания (8.26) в децибелах упрощается при использовании квадрата рабочего ослабления (8.24), т. е. функции Н„'(р). Соответственно при синтезе четырехполюсников принято задавать не частотную характеристику Т(р), а характеристику квадратичного ослабления (4.3), называемую 'амплитудно-квадратичнои или квадратичной частотной характеристикой (АКХ): став Рис. !0.9. Коридор дчьустичых значи ний ГВП четырчхпьлюсьвкь 4бз Н (р) = Цт'(р), (16.26) Зта характеристика может описываться полиномом, кзк, например, в случае последовательного контура с коэффициентом передачи (4.8) и полиномиальной передаточной функцией Н = 1/К.
Четырехполюсники с полиномиальными характеристиками (!0.20) также называются полиномиальными. В технике связи широко используются, например, полиномиальные фильтры, к числу которых относятся, в частности, фильтры типа р. При синтезе четырехполььсников форма частотной хзрактерестики может задаваться однозначно (в пределах ее физической реализуемости).
Так же однозначно можно задавать необходимую форму фазовой характеристики. Однако невозможно одновременно и независимо задавать однозначно обе указанные характеристики для минимально-фазовой цепи, поскольку они связаны друг с другом уравнением 1'б.23). При необходимости одновременного предъявления некоторых требований и к частотной н к фазовой характеристикам четырехполюсника, как, например, в амплитудно-фазовых корректорах, форма этих характеристик не задается. В этом случае задают границы их допустимых значений, подобно ограничению рабочего затухания в фильтрах, показанному на рис. 9.1, з.
Вместо допустимых значений фазовой характеристики для фильтров'часто задают границы коридора, за пределы которого не должна выходить частотная характеристика группового времени прохождения, как показано на рис. 10.9. При предъявлении техниче- ских требований в указанной ! ! форме должна быть найдена ап- . проксимирующая передаточная со мзх функция четырехполюсника, $ гт хйп удовлетворяюшая этим требованиям и условиям физической О реализуемости. Модуль н аргумент такой передаточной функции удовлетворяют уравнению (6.23) . Поиск передаточной функции удобно производить на ЭВМ.
Например, в случае полиномиального фильтра подбирают коэффициенты а» полинома Гурвица, при которых его модуль и аргумент удовлетворяют заданным требованиям. Проверка же соблюдения этих требований производится путем численного расчета на ЭВМ частотной и фазовой характеристик фильтра при каждом новом выбранном значении коэффициентов а,. Существуют специальные алгоритмы поиска этих коэффициентов, обеспечивающие быстрое их схождение к необходимой величине. При структурном синтезе производится подбор не коэффициентов поли- нома Гурвица, а непосредственно параметров элементов заданной схемы четырехполюсника. Если в аппроксимационной задаче найдена частотная характеристика (6.20), то для последующего решения задачи реализации следует определить передаточную функцию Н(р). Такое определение основано на представлении функции (6.20) в виде произведения сопряженных множителеи: и'(р) = Н(р)Н( — р).
(!0.2!) После определения на ЭВМ корней р, этой функции выбирают из ннх корни в левой полуплоскости р. С их помощью находят числитель (10.3) и знаменатель (10.4) передаточной функции (!0.20). 2. Оптимальные передаточные функции. При синтезе четырехполюсников часто задают требования общего характера, при соблюдении которых четырехполюсник и его передаточную функцию можно считать в определенном смысле оптимальными. При этом указанные требования являются критериями оптимальности. Например, при синтезе фильтров критерием оптимальности может являться требование обеспечения максимально возможной избирательности при заданном количестве элементов фильтра.
Фильтры, оптимальные по этому критерию, имеют так называемые чебышевские частотные характеристики и называются чебььшевскими фильтрами. Рассмотрим оптимальные по избирательности полиномнальные фильтры. Пусть заданы полнномы Р„(О) степени и со старшим коэффициентом а„= 1, которые имеют только вещественные корни, расположенные в интервале ( — 1, !).
Такие полиномы пригодны для аппроксимации характеристик ФНЧ с нормированной граничной частотой Я, = 1, где О = ь»/ьь = !'/!', (см. рис. 9.1, а). П. Л. Чебышев нашел полнномы Р„(Я)с:Р„(»г), которые нпименее отклоняются от нуля в интервале ( — 1, 1) . Это отклонение одина- ново для всех экстремумов полиномов Р„(й) и их значений на границах интервала ( — 1, !). На рис. !О.!О, а показан произвольный полинам Рь(О) и полинам Рь(О)~Р»(О). Чтобы такие полиномы можно было использовать для описания характеристики фильтра, их надо нормировать, разделив нй величину максимального отклонения в интервале ( — 1, !). При этом нормиро- ванные полиномы Чебышева имеют вид Ри(11) = сов(п агссоз Я) = -2- ](!! + -уЫ вЂ” 1)" + (!! — уЫ вЂ” 1):"].
1 (! 0.22) Значения этих полииомов приведены в табл. П.23. Пример нормировки полиномов, графики которых изображены на рис. 10.10, а, приведен на рис. 10.10, б. Так как полинам Чебышева имеет наименьшее иэ воэмоокных максимильное отклонение 2" ', то при делении на эту величину нормированные полиномы ('т'0.22) наиболее отклоняются ог нуля эа пределами интервала ( — 1, !] по сравнению с другими нормированными полиномами Р (Я).
Это наглядно видно из рис. 10.!О, б. Е~ 0% -аг нс Р,П 7!7 с,~ 7 !Р Рис. !О.!Ц Построение илромеристики звтутвнии чеби- шевсиото ФНЧ При.соответствующем изменении масштаба полиномов (!0.22) н переносе начала отсчета получается следующая аппроксима. ция АКХ: Я(П) = 0,5[3 + Рви(Я] = 1 +Рьн(О)) 1 + ирй(Я, (10.23) где е — коэффициент пропорциональности, определяющий неравномерность АКХ в полосе пропускання, а переход от первого ко второму равенству сделан с учетом формулы соз 2х = 2 соз' х — !. Нетрудно убедиться, что это уравнение при 1! ) 0 описывает характеристику ФНЧ с неравномерностью затухания в полосе пропускания Ла = ЗдБ.
Действительно, Н',„ = Н'(0) = 1 (10!у Н,'ш = 0) и Н,„',. = Н'(!) = 2 (10!д Н,.',„= ЗдБ). В соответствии с рис. !0.10, б на рис. 10.10, в построена ха. рактеристика Нее(й) чебышевского ФНЧ, а на рис. !0.10, г — его характеристика затухания (М = 3). Здесь же для сравнения показана характеристика чебышевского ФНЧ второго порядка (Ж = 2). 470 При использовании характеристики (10.23) в случае реактивных ФНЧ величина Лг равна количеству реактивных элементов в фильтре, т. е. его порядку. Соответствующее аналитическое преобразование частоты дает прн этом н другие фильтры.
В частности, полученные таким образом ПФ имеют У резонансных контуров. Их избирательность, подсчитанная по уравнению (!0.23), приведена в табл. П. 24. Ее сравнение с данными табл. П.З— П.!8 подтверждает вывод о предельно возможной избирательности чебышевских фильтров. Из сравнения характеристик на рис. !О.!О, г видно, что при увеличении порядка М чебышевского фильтра затухание в полосе задерживания становится больше, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
