Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1095414), страница 32
Текст из файла (страница 32)
$ 3.7 3), 141 с параллельной ему ветвью графа цепи, и отрицательным — ' при их встречной ориентации. Проиллюстрируем описанный матричный способ на примере цепи рис. 3.53, а. Ее ориентированный граф изображен на рис. 3.53, б, где пунктиром показана ветвь с источником тока 7. При выбранных главных контурах по контурным токам Ль !2 (см.
рис. 3.53, а) получаем матрицу (А,.) = (о ...), причем /! — ! вот 25 О о О (Л ) = ~~ "', (Е'") = (Е1Е200)", (У") = (000 — 7) . 9 о 0 Е, Отсюда находим айопо 1а (~ — 1 о о) О 0 о Л о 1 =(--, х,+Д2 — х~ — е5 2,+г.+ай)' (Р) =(,' , '', ',) (6Е,00)'=(',, "), .г, о о о о 1~ — 1оо~ ох.,о о а ='хо ~31/ о ог о о О ОО2. Окончательно получаем матричное уравнение (3.187): ( — д., е +л,,+25)(/:) (Е,— Л,1) При анализе процессов в цепях можно использовать решение уравнений (3.185) или (3.187) в общем виде.,При этом ток в 1-м контуре определяется следующим образом: 1~= — Х Аиды (3.! 88) Лг 4 — 1 где Ьг = ~ Ум ~ — определитель матрицы контурных сопротивлений, называемый также определителем контурных сопротивлений или определителем сопротивлений (цепи); Лм=( — 1) +'Ми — алгебраическое дополнение элемента Лм определителя (матрицы) контурных сопротивлений; Мм — минор определителя сопротивлений, полученный из него вычеркиванием Й-й строки и 1-го столбца; Ех =Й + с(' — суммарная контурная э.
д. с. в Й-м контуре. Следует отметить одно важное свойство определителя сопротивлений. В силу равенства сопротивлений связи Хи =Ям этот 142 определитель симметричен относительно своей главной диагонали. и, Поэтому равны и алгебраические ~/ дополнения'~ указанных элементов определител)т, т. е. Лм = Аг» Е $ //=//с-//Н=Е //=/)»'Е 5. Нйетод) узловых напряжений. В этом метдде подлежат определению неизвестные узловые напряже- 1/» // ния. Для их о)зределения составляют Н уравнения (3.'9) относительно токов и) д/ ветвей /», ко/орые выражают через узловые напряжения согласно закону Ома (3.19). Количество уравнений (3.9), составляемых по первому закону Кирхгофа, равно пг = п, и определяется по формуле (2.59) или (2.60).
Однако здесь требуется уточнение. Если между некоторыми Й-м и 1-м узлами включен идеальный источник напряжения с (рис. 3.54, а),'то при найденном'узловом напряжении (/» становится известным н узловое напряжение (/г = (/»+ с. Аналогично по найденному У~ определяется ()» = Й вЂ” Й. Поэтому количество неизвестных узловых напряжений уменьшается на число п, идеальных источников напряжения, включенных между узламн цепи. Соответственно должно быть уменьшено и количество составляемых уравнений, определяемое по формулам (2.59), (2.60): ш пу (пе + !) л! — пт (пе + пи).
(3.189) Если ветвь с источником содержит также сопротивление Л = = 1/У (рис. 3.54, б), то для составления уравнений (3.9) целесообразно наметить «промежуточный узел» с «узловым» напряжением (/ = (/» + св. Тогда удобно определить ток ветви / = = у(О,— (.'/)= у((/,— //,— Е). Рис. 3.54. Включение источника между узлами цспн Рассмотрим для примера цепь, изображенную на рис.
3,55. Для нее согласно первой формуле (3.189) надо составить два уравнения. Выбрав в заземленной точке базисный узел О, намечаем узловые напряжения (/1 и (/з, подлежашие определению, и известное узловое напряжение Еы Затем намечаем «узловые» напряжения — Ез и Й, + сз в «промежуточных узлах».
Наконец, произвольно размечаем токи ветвей /ы !з, /з, /,, !з. с г * Этот «узел» является устраиимой вершиной на графе пепи, Рис. 3.55. Схема пепи, иллюстри. рующая метод узловых напряжений 143 ' Выражаем токи ветвей через узловые напряжения: 1~ = У~ (Р ~ — О,), 1» = У» ((! ~ — ( — Е,)) = У, (У, + Е,), »» =Ъ(Й + Е» — О»), »» = «»((!~ — О»), 6 = У»Оь Для узлов с неизвестными узловыми напряжениями О,, О» составляем уравнения по первому закону Кирхгофа; !! + 1» + «4 = О, 13 »4 + ~5 = », или — Ую(6 — О~) + У»(О~ + Е») + 1»(О ~ — Ог) = О, =Уз(6 + Ез — 'О») — У»(О~ — Ог) + У»О» = 1. После раскрытия скобок и приведения подобных членов полу- чаем (« ~ + У» + У»)(! ~ — «4 О» = У ~Е~ — У»он — У,О~+(У»+ У + Уз)О»=.(+ У Е, + УЕ. (3190) Полученные уравнения имеют вполне определенную структуру.
Как и в методе контурных токов, этой структуре соответствует определенный алгоритм, по которому должны составляться уравнения,для н = п~ узловых напряжений произвольной цепи. Для произвольного й-го узла 6 Х УиО~ = Л» (й = 1, 2, ..., а). 1=! (3.19!) Здесь Ум= Уи — взаимные проводимости й-го и 1-го узлов, которые всегда входят в уравнение (3.19!) с отрицательным знаком, каково бы ни было выбранное направление токов. В первом уравнении (3.190) Хм = — У4, во втором Ум = — Уь При й =! в уравнении (3.19!) вместо взаимной проводимости фигурирует собственная проводимость У» й-го узла. Эта проводимость складывается из проводимостей всех ветвей, сходящихся в А-м узле.
В первом уравнении (3.190) Ун =Х, + У»+ У», а во втором уравнении У»»= Уз+ У4+ У». Собственная и взаимные проводимости узлов объединяются под общим названием узловых проводимостей. Ток !» в уравнении (3.191), .называемый узловым задающим током, складывается из трех составляющих. Первая составляющая этого тока представляет собой сумму всех задающих токов ветвей, сходящихся в А-м узле. В первом уравнении (3.!90) эта составляющая равна нулю, а во втором — У.
Вторая составляющая тока Л» представляет собой сумму произведений взаимной проводимости на э. д. с. источника, включенного в ветви с этой взаимной проводимостью. Знак такого произведения положителен, если э. д. с. направлена в сторону рассматриваемого узла. В первом уравнении (3.190) вторая составляющая равна — Х»Е», а во втором уравнении — У»Е». !44 Третья составляющая тока 14 представляет собой сумму про- изведений взаимной проводимости на известное узловое напря- жение смежного узла, т. е.
на э. д.с. идеального источника на-. пряжения,'подключенного к этому узлу. Знак такого произведе- ния положителен, если э. д. с. направлена в сторону узла. В пер- вом уравнейии (3.190) третья составляющая равна У~К а во втором уравйении — Узб. Эта третья составляющая учитывается достаточно просто только в тех случаях, когда все ветви с идеальными источниками напряжения подключены к базисному узлу. В противном случае во избежание усложнения алгоритма освобождаются от ветвей с идеальными источниками напряжения, применив метод перено- са и расщепления таких источников, описанный в $3.7.2.
При твердом усвоении введенных здесь понятий можно при- обрести навыки в непосредственном составлении уравнений (3.191) без предварительного выражения токов ветвей через' узловые напряжения. Это существенно упрощает использование метода узловых напряжений. Сами же уравнения (3.19!) реша- ются достаточно просто.
6. Матричный метод узловых напряжений. Метод узловых напряжений, как и метод контурных токов, можно использовать при решении задач на ЭВМ. При этом предварительно устраняют все ветви с идеальными источниками напряжения и уравнения (3.!91) представляют в матричной форме: (у,,)(иг) =(Р)+(1 ). Здесь (У„) — матрица узловых проводимостей, равная У~~ Уп .. Уп (Ум) = У„~ У„, .. У..
(О') =10~ 05 ... (7„)' — матрица-столбец узловых напряжений; (Р) =(Л Л ... Л)' — матрица узловых задающих токов; ((ч) =(!(г Й ... Йу — матрица эквивалентных узловых задаю- щих токов, Матрицы узловых проводимостей и узловых задающих токов могут быть определены через узловую матрицу: (Ум) = (Аг) (У') (Аг)', (7') = — (Аг) (1'), (7'") = — (Ат) (У') (Е'), где у,оо...оо (У)= и у, о...о о о оо...оу, — диагональная матрица проводимостей ветвей; Уь У5 ...
Ук— проводимости ветвей, пронумерованные соответственно номерам столбцов узловой матрицы (номерам ветвей); М =л, — количество ветвей в цепи (без ветвей с источниками тока); (1')= 145 = (1А ... 1к)' — матрица-столбец задающих токов (такая же, как в матричном методе контурных токов, $3.8.4); (Р) =(ВЕЛ .. ...Рэ)' — матрица-столбец э. д, с. ветвей (такая же, как в матричном методе контурных тонов, $ 3.6.4), Проиллюстрируем описанный матричный способ на примере цепи, изображенной на рис.
3.53, а. По графу этой цепи (см. рис. 3.53, б) составляем узловую матрицу (А„) = ( — — ! ох о о' — ! !1' а также задаем матрицы Отсюда находим с г,о о о — ! о а г, о о — ! о уг,+у+у —.Х ~ о от о ! — ! =( — г, г+г)' ооог, о о ') ~ =(~) (1")=-(' ~-'") — l, о о о 8 Х о о Е, (гй+г6) ого о ( о о от, о ( — "') ( о о — !!) х(', Окончательно получаем искомое матричное уравнение (- — — ) (,:)=(- г~ + г2+ гЗ гз '1 (с ~ ) ! ~!6 + ~282) -г, г.+ г,l ~и.,l ~ ! Решение уравнений (3.)9!) может быть записано также в общем виде, аналогично решению (3,!88) уравнений (ЗЛ85), (3.(87).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
