Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1095414), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Например, к прямым методам относится метод делителей напряжения н тока, согласна которому расчет производится по формулам (3.59) — (3.62), (3.67) — (3.74) и (3.89), (3.96). Расчет входных сопротивлений в 43.2 производился также прямыми методами. При этом, однако, могут обьеднняться одноименные элементы цепи, соединенные параллельно нлн последовательно.
Определение параметра полученного в этом случае эквивалентного элемента производится по формулам (2.38), (2.39) и (2.45). Прн использовании метода комплексных амплитуд возможно также объединение разноименных элементов с определением суммарных реактивных н комплексных сопротивлений н проводимостей по формулам (3.26). Существуют различные прямые методы расчета цепей. Нх различают по виду неизвестных величин, подлежащих определению, — токов ветвей, узЛовых напряжений н др.
При расчете цепей прямыми методами в общем случае определяют мгновенные значения напри|кемпа и токов произвольной формы. Ниже, однако, рассматриваются преимущественно гармонические напряженин и токи. Для них исполь- 133 зуют комплексные действующие значения гармонических колебаний 0 н Е Для резистивных цепей получаемые ври этом соотношения пригодны и в случае постоянных напряжений»г н токов д В указанных соотношениях следует лишь произвести замену 0 тт,! 5 7 я, у -гб. Расчеты постоянных напряжений и токов в цепях, содержащих реактивные элемеятыг рассматриваются далее в отдельном параграфе. 1. Метод токов ветвей.
В методе токов ветвей подлежат определению неизвестнь»е токи ветвей. Метод пригоден для произвольной цепи с и, ветвями. Для определения и, неизвестных величин составляют п, уравнений. Из них в соответствии с формулой (2.59) или (2.60) и» = = и, уравнений составляют по первому закону Кирхгофа для узлов цепи. Эти уравнения имеют вид (2.36) или (3.9). Недостаюшие уравнения составляют для главных контуров по второму закону Кирхгофа (2.48) или (3.!О).
При этом напряжения и» выражают через подлежашие определению токи ветвей 1» по формулам (2.1), (2.6), (2.11) или используют закон Ома (3.19). Таким образом, уравнения (3.!О), например, принимают вид (3.! 80) где т — количество сопротивлений л» в контуре, Количество недостающих уравнений пп =и, должно определяться соотношением (2.61) либо (2.62). Однако здесь требуется уточнение. Если некоторое количество и, ветвей содержит источники тока, то токи этих ветвей являются известными и не подлежат определению. Соответственно должно быть сокращено количество уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа.
При этом вместо равенств (2.61) и (2.62) получаются формулы пп = и, +! — (щ + и,), ггп = и, + и„— (п„+ и,), (3.181) Исключению подлежат уравнения для тех главных контуров, которые содержат ветви с источниками тока, если эти ветви не входят в состав дерева графа цепи. Для этого дерево должно быть соответственно подобрано.
Однако такой способ целесообразен лишь при машинном составлении уравнений на ЭВМ. Практически для цепей с плоскими графами удобно составлять уравнения по второму закону Кирхгофа для тех главных контуров, которые ограничивают внутренние неперекрывакцциеся ячейки графа (см. $2.5.6). При этом для исключения лишних контуров нодо мысленно разомкнуть ветви„содержащие источники тока. Тогда следует рассматривать оставшиеся контуры, ограничив юшие оставшиеся внутренние ячейки.
Будем называть их независимо.ми контурами. Для примера рассмотрим цепь с четырьмя неизвестными токами (рис. 3.51, а). Размечаем предварительно неизвестные токи 1,, /т, .1,, 1,, ПРОИЗВОЛЬНО Задан ИХ ПОЛОжИтЕЛЬНЫЕ НаПраВЛЕНИя, По формул» (2.591 определяем, что необходимо составить два 13л уравнения (3.9) по первому закону Кирхгофа.
Составляем их для узлов а и б: !!+хз+хз=О, хз+хх=х. (3. 182) По первой формуле (3.181) опре-' деляем, что требуется составить два уравнения (3.180) по второму закону Кнрхгофа. Для этого мысленно размыкаем ветвь с источником тока. Остается два контура, ограничивающих внутренние ячейки. Выбрав направление обхода контуров по ходу часовой стрелки, составляем для ннх уравнения (3.180): Я,1, +Уз/з=Й, — 2А+ + Лз!з+ ЕА = 0 (3.183) е сз е1 1,тс зкЬт Рис. 3 й! Схемы испей, иллюст- рируюсиие метод толам еетвей Совместное решение системы из четырех уравнений (3.182), (3.183) позволяет определить четыре неизвестных тока ветвей. Возможно и машинное решение такой задачи на ЭВМ с использованием стандартной программы и операторов расчета комплексных чисел.
При этом само составление уравнений по методу токов ветвей осуществимо машинным спбсобом с помощью матриц главных сечений и главных контуров, как это описано в $ 2.6. Метод токаи ветвей позволяет рассчитывать цепи с индуктивными связями. При этом в уравнениях (3.180) под сопротивлениями Ел Понимают также сопротивления взаимонндукции Лзь Таким образом, для каждой индуктивности, связанной с т другими индуктивностями, в уравнениях (3.180) следует складывать падение напряжения на этой индуктивности ЛА и т напряжет ний взаимоиндукции Еи!з(! =' 1, 2, ..., пз).
Например, для цепи, изображенной на рис. 3.81, б, следует составить одно уравнение по первому закону Кирхгофа и два уравнения по второму закону Кирхгофа. Эти ураннения имеют следующий вид: — А + А+ хез = О, (т, + )ы~.,)з~ +)езМ~А — )езМ~зхез+ + (те + !езсз)зз + !изМ!зз1 — )изМзззз = о, (тз+ !езс з)гз— — !юМ~з!~ — 1сеМззххз — (гз+)ыхх.з)ххз — 1езМ~А + !езМзз~з = О. После приведения подобных членов эта система уравнений решается обычным образом. 2. Метод переменных состояния.
Переменными состояния цепи называют мгновенные значения напряжений на емкостях и . токов через индуктивности. В методе переменных состояния урав- 135 пения составляют именно относительно этих неиэвесгныХ величин, подлежащих определению. Хотя переменные состояния не включают в себя всех токов и напряжений цепи, они 'полностью определяют состояние цепи в любой момент времени, чем и обусловлено их название.
Такая роль переменных соцтояния объясняется двумя факторами. Вопервых, они однозначно определяют запас энергии в цепи в любой момент времени. Поэтому, в частности, если по каким-либо причинам входной сигнал перестает действовать, то процесс в цепи не прекрашается вследствие расходования запасенной энергии, что и определяется значениями переменных состояния. Во-вторых, по этим значениям могут быть определены любые другие напряжения и токи в цепи, с которыми переменные состояния связаны уравнениями Кирхгофа и законом Ома, Если каждая из ветвей содержит только по одному реактивному элементу, то количество подлежаших определению неизвестных переменных состояния равно числу ветвей. В этом случае уравнения относительно переменных состояния (уравнения состояния) составляют в том же количестве и по тем же правилам, что и в методе токов ветвей (для мгновенных значений напряжений и токов).
С, а) я, Л Рис. 3.5х. схемы делей, иллюстрирующие метод переменных состоянии !36 Если некоторые ветви содержат и индуктивность и емкость, то для них количество неизвестных величин удваивается. Недостаюшее при этом количество уравнений состояния составляют по первому равенству (2.6). Полученная система дифференциальных уравнений может быть решена численно на ЭВМ.
Для этого она должна быть предстпвлена в так называемой нормальной форме. Такая система дифференциальных уравнений содержит в левой части каждого уравнения первую производную одной из переменных состояния, а в правой части все остальные слагаемые (без производных). Для примера рассмотрим цепь, показанную на рис. 3.52, а.
Здесь неизвестными переменными состояния являются напряжения иь ит и ток йь По первому и второму законам Кирхгофа можно составить лишь по одному уравнению (при й = С~ -Я-): ол~ Ои~ — С~ — +се=/, Я~С~ — + ш ' ж + и~ + й —," + Щт + ит = е, Недостающим уравнением является равенство лиг гг = Сг —. О! Решив совместно полученные уравнения относительно произ- водных, получим систему уравнений в нормальной форме: Ои!' 1 — = — (!г — 1), ш с, ° лиг 1 гг О! С, О!! 1 О! = й (е+ гг!1 и! иг (гс! + Аг)!г1. Такая система уравнений решается на ЭВМ с помощью стан- дартной программы при заданных начальных условиях и!О= = и!(1) ( ! = О игО = игЯ ! ! = О гО = гг(1) ! ! = О.
Возможен случай, когда некоторые ветви не содержат реак- тивных элементов. Неизвестные токи этих ветвей не должны вхо- дить в систему уравнений для переменных состояния. При этом из уравнений (2.25) или (2.33), (2.1) определяют в общем виде указанные неизвестные токи и подставляют их в остальные урав- нения. Таким образом соответственно сокращается как число неизвестных, так и количество уравнений. Например, для цепи рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
