Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1095414), страница 31
Текст из файла (страница 31)
3.52, б при двух переменных состоя-' ния и! и иг существует три независимых уравнения — одно по первому закону и два по второму закону Кирхгофа. Из уравне- ниЯ ДлЯ контУРа Сг, )сг опРеДелЯют ток гг= — иг. ПРи этом 1 яг остается два уравнения для двух переменных состояния; Ои! ди! 1 ди! — С! — + Сг — + — и, = 1', Я!С! — + и!+ иг =е, ш ш лг е! или в нормальной форме аи! !1и! 1 Г. 1 — (е — и! — иг), — = — р+ — (е — и,)+ ш а,с, ш с, ( я, + ( — — — ) иг~.
Возможен, наконец, случай, когда некоторые из независимых уравнений не содержат производных переменных состояния. Следует продифференцировать такие уравнения и остальные действия производить по общей схеме. Так, для цепи с переменными состояния и!, иг, показанной на рис. 3.52, в, получаются два независимых уравнения по законам Кирхгофа: Ои! лиг 1 1 — С! +СΠ— — и!+ — иг=1', и!+иг=е. М ш, й! й! Продифференцировав второе уравнение и решив полученную систему.из двух уравнений относительно производных, получим 137 дифференциальные уравнения в нормальной форме: ьи, ! / Еь .
! 1 — !Сг — — 1 — — и!+ — и!), ж и+и 1, с! я я1 Еь, — ~С! — +1+ — и! — — и8). с~+ сг уу п~ % Решение подобных уравнений возможно не только на цифровых, но и на аналоговых ЭВМ. В ряде случаев такие уравнения решают аналитически (см.
$6.2.2). 3. Метод контурных токов. В методе контурных токов подлежат определению неизвестные контурные токи. При этом реальные токи ветвей могут быть найдены алгебраическим суммированием соответствующих контурных токов (см. $2.3.9). Для определения контурных токов составляют уравнения по второму закону Кирхгофа. Независимые контуры, для которых составляют эти уравнения, выбирают по тем же правилам, что и е методе токов ветвей -(см.
$3.6.1). Количество контуров определяется прежними формулами (3.181). Перед составлением уравнений размечают контурные токи. Направление их выбирают произвольно. Однако удобно (особенно для планарных схем) выбирать для всех контурных токов одинаковые направления, например по ходу часовой стрелки. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа каждый из контуров следует обходить по выбранному направлению соответствующего контурного тока. Как и в методе токов ветвей, уравнения по методу контурных токов составляют в виде равенств (3.180), где фигурируют токи ветвей.
Следовательно, в составляемые уравнения надо сразу подставлять алгебраическую сумму контурных токов, образующих соответствующий ток ветви. Следует подчеркнуть одну особенность составления уравнений по методу контурных токов. Как и в методе токов ветвей, в этом случае не составляют уравнения для контуров, содержащих ветви с источниками тока, а сами эти ветви мысленно размыкают.
Однако е методе контурных токов перед мысленным размыканием укаэанных ветвей намечают вспомогательные контуры, по которым замыкаются задающие токи; будем называть ик контурными задающими токами. Как и для прочих контурных токов, эти контуры выбирают произвольно, но направление каждого контурного задающего тока должно задаваться в соответствии с направлением задающего тока источника. Хотя для вспомогательных контуров уравнения не составляют, в уравнениях для остальных независимых контуров токи ветвей выражают через алгебраическую сумму контурных токов, включающую и соответствующие контурные задающие тони.
Рассмотрим для примера цепь, показанную на рис.3.53, а. По первой формуле (3.181) определяем, что необходимо соста' вить два уравнения вида (3.180). Для этого надо выбрать два !88 ® б) Рис. Здэ. Схема пепи и ее граф, иллюстрирующие метод контурных токов После раскрытия скобок и приведения подобных членов получаем (7! + Уз) 1! — 7т1г = Е! — Еь — 7~1~ + (7т + 7з + Л~)1~ = Ез — 7»1, Полученные уравнения имеют вполне определенную структуру, которой соответствует простой алгоритм.
Для произвольной цепи, содержащей и = ип независимых контуров, этот алгоритм выражается следующей системой уравнений, заменяющих уравнения (3.180): и ~7»»1,=Е»+Е»', и=1, 2, ..., и, (3. 185) (3. 184) где » -!- а -!- м » Яы1 = =7ы= Х 7»., Й= У Е»„Е»'= ,'Р Лл.1.,(3.186) ° =о —.- ! тт» ы» й — номер рассматриваемого контура; 1 — нумерация и независимых контуров с контурными токами 1!, ги — количество вспомогательных контуров с контурными задающими токами 1„; 7.,г= в заметим, что ток ! можно замкнуть и по контуру Е с», с», ет иин по контуру Е с», Я!, й!. Однако выбранный контур Е с» соответствует пранилу выбора контуров по внутренним ичеаиам и приводит к более простым уравнениим. 139 контура, разомкнув мысленно ветвь с источником тока.
Однако предварительно намечаем контурный задающий ток 1з = 1в. Затем выбираем контуры, окружающие две внутренние ячейки, н намечаем контурные токи 1,, 1,. При этом через сопротивление 7т в направлении тока 1! проходит ток ветви 1, — 1з а через сопротивление 7» в направлении тока 1, — ток ветви ут + 1. Составляем два уравнения (3.180), обходя выбранные контуры по намеченному направлению контурных токов: Я,1 +Л,(1 — 1,)= Š— Ез, 7,(1в — 1)+ Лз1.+ Х (!+ 1) = Е . =Л,» — сопротивление, входящее в состав я-го и бго контуров, которое называется сопротивлением связи (са= О, если отсутствует сопротивление, общее для я-го н Ого контуров); 2»»вЂ” собственное сопротивление й-го контура, равное сумме всех сопротивлений связи этого контура и сопротивления Я»з, принадлежащего только й-му контуру; Е» — суммарная э.
д. с., действующая в й-м контуре, которая называется контурной з. д. с.; Е»,— э. д. с. источников, входящих в состав я-го и т-го контуров (включая вспомогательные контуры), причем значение Е», = = Е», 1, = » относится к источнику напряжения, принадлежащего только я-му контуру; Е»' — эквивалентная контурная э. д. с. в й-м контуре, складывающаяся из падений напряжения, создаваемых задающими токами з'„на сопротивлениях связи этого контура со вспомогательными контурами. Сопротивления связи и собственные сопротивления контуров объединяются под общим названием контурных сопротивлений. Сопротивления связи 2»» в уравнениях (3.185) имеют отрицательный знак, если контурные токи 1» и I» проходят через эти сопротивления в противоположных направлениях, что всегда имеет место в планарных схемах при выборе одинакового направления всех контурных токов, например по ходу часовой стрелки.
При этих же условиях сопротивления связи 2», в последнем равенстве (3386) имеют положительный знак. Указанные знаки меняются на противоположные, если з» н 1~ (!» и з.) проходят через соответствующие сопротивления связи в одном направлении. Собственные сопротивления контуров 7»», как и их составляющие Я», в первом равенстве ((3.186), всегда имеют положительный знак. Задающие напряжения Е»„во втором равенстве (3.186), которые являются составляющими э.
д. с. Е», имеют положительный знак, если их направления совпадают с направлением контурного тока 6~, н отрицательный — в противном случае. Э. д. с, Еы = О, если ветвь с сопротивлением связи 2». не содержит источника напряжения, и с»» = О, если ветвь с сопротивлением Е»з ие содержит источника напряжения. Поясним смысл введенных обозначений на рассмотренном примере (см. рис. 3.53, а). В первом уравнении (3.184) собственное сопротивлениеД„= Е~ + Уз, сопротивление связи со вторым контуром У~~ = — Я~ и контурная э. д. с. Е~ = Е~ — Ез, т. е.
Е~~ = = 6 и 6~ = — Хз. Прн этом Я~» = О и й = О. Во втором уравнении (3.184) собственное сопротивление 2»з = с»+ 7»+.2„сопротивления связи Уд = — сз и Лзз = — 2~, контурная э.д. с. Ез = Ез~ = Ез (при Езз = О) н эквивалентная контурная э. д. с. Ез' = з зз»з = — 24»'. При твердом усвоении введенных здесь понятий можно приобрести навыки в непосредственном составлении уравнений (3.185), что упрощает решение задач методом контурных токов., Например, уравнения (3.185) можно составить непосредственно, 1»О минуя этап составления уравнений относительно токов ветвей.
Сами же уравнения (3.184) решаются достаточно просто. 4. Матричный метод контурных токов. Метод контурных токов можно использовать и при решении задач на ЭВМ. При этом уравнения (3.185) составляют машинным способом, для чего их представляют' в матричной форме: (Яи)(1') = (Е') + (Ел). (3.187) Здесь (Яа1) — матрица контурных сопротивлений, равная гн г„...г,. г„х„...х,. г.,х., х„.
(е' ) = фут ... т'„)' — матрица-столбец контурных токов; (Е') = = (Е(Е,'.„ЕД вЂ” матрица-столбец контурных э. д. с.; (Ем) = =(с('Ет' .. Е„")' — матрица-столбец эквивалентных контурных э. д. с. Матрица контурных сопротивлений может быть определена через матрицу главных контуров. При этом главные контуры могут формироваться не по дереву и его хордам, а по описанному правилу оконтуривания внутренних неперекрывающихся ячеек графа цепи при размыкании ее ветвей, содержащих источники тока.
В любом случае справедлива формула (Уи) = (А-) Я') (А-)', где х, Оо...оо Ол0...00 о о о...ох, — диагональная матрица сопротйвлений ветвей; Еь Ет, ..., Ул— сопротивления ветвей, пронумерованные по номерам столбцов матрицы главных контуров, т. е. по номерам ветвей; 1и'=л,— количество ветвей в цепи (без ветвей с источниками тока). Матрицы контурных э.
д. с. также определяют через матрицу главных контуров: (Е) =(А„„)(Й ), (Йм) =(А„„)(Д)(1), где (Е') = (Е~Еа ... Ел)') — матрица-столбец э. д. с. ветвей, промаркированных по номерам ветвей, причем э. д. с. Е» считается положительной, если она ориентирована одинаково с й-й ветвью; (Р) = (АУа ... тн)' — матрица-столбец задающих токов. Здесь задающие токи ла маркируют по номерам й-х ветвей, параллельно которым подключены источники этих токов*. Знак тока 1а берут положительным, если он ориентирован одинаково * Если цепь содержит источники тока, не имеющие параллельных ветвей, то предварительно осу~цествлиют расшепление и перенос таких источников (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
